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1、3.3二維正態(tài)分布,定義1 若二維隨機變量 的聯(lián)合概率密度為,稱上述的 為二維正態(tài)概率密度.,也就是說,二維正態(tài)分布的兩個邊緣分布仍然為正態(tài)分布,而且其邊緣分布不依賴于參數(shù) .因此可以斷定參數(shù) 描述了 與 之間的某種關系!,二維正態(tài)分布的5個參數(shù)的概率意義是：,,定理1 二維隨機向量(X，Y)服從正態(tài)分布，則X,不相關的。,與Y相互獨立的充分必要條件是：X與Y是,注意：一般地兩個隨機變量相互獨立，則這兩 個隨機變量是不相關的，反之不相關的隨機 變量未必相互獨立，而二維正態(tài)分布卻是： 兩個隨機變量相互獨立的充分必要條件是： 兩個隨機變量是不相關的。,,研究大量的隨機現(xiàn)象，常常采

2、用極限形式，由此導致對極限定理進行研究. 極限定理的內(nèi)容很廣泛，其中最重要的有兩種:,下面我們先介紹大數(shù)定律,3.4大數(shù)定律與中心極限定理,字母使用頻率,大量的隨機現(xiàn)象中平均結果的穩(wěn)定性,大數(shù)定律的客觀背景,大量拋擲硬幣 正面出現(xiàn)頻率,生產(chǎn)過程中的 廢品率,,闡明大量的隨機現(xiàn)象平均結果的穩(wěn)定性的一系,列定理統(tǒng)稱為大數(shù)定律。,一、大數(shù)定律,的概率幾乎等于1，即,則稱隨機變量序列 Xn 依概率收斂于,記作,幾個常見的大數(shù)定律,定理1（Chebyshev切比雪夫大數(shù)定律）,切比雪夫,證明切比雪夫大數(shù)定律主要的數(shù)學工具是切比雪夫不等式.,切比雪夫大數(shù)定律給出了 平均值穩(wěn)定性的科學描述,推論 設隨機變量

3、序列 Xn 獨立且都服從某,個分布，它們的數(shù)學期望及方差均存在，,即,注 一般地，我們要求出隨機變量 X 的數(shù)學期,來估計EX。當n充分大時，偏差不會太大。,機變量X的分布時求EX的方法，即用,知道EX，上述的推論告訴了我們,在不知隨,我們往往在不知隨機變量X的分布時，希望,望，必須知道隨機變量X的分布。但實際中，,這一點我們將會在數(shù)理統(tǒng)計中看到。,定理3 (伯努利大數(shù)定律) 設 是 重伯努利試,驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù),又A在每次試驗中出,即,有,注貝努里大數(shù)定律從理論上證明了頻率的穩(wěn)定性,下面給出的獨立同分布下的大數(shù)定律，不要求隨機變量的方差存在.,設隨機變量序列X1,X2, 獨立同分布，且數(shù)

4、學期望E (Xi )=, i=1,2,， 則對任給 0 ，,定理2（辛欽大數(shù)定律）,辛欽,注 （1）辛欽大數(shù)定律與定理1的推論的區(qū)別 在，辛欽大數(shù)定律與方差無關。,（3）貝努里大數(shù)定律是辛欽大數(shù)定律的特 例,而辛欽大數(shù)定律在應用中是非常重 要的。,（2） 由于證明辛欽大數(shù)定律要用特征函數(shù) 的知識，故證明略。,二、中心極限定理,,中心極限定理的客觀背景,在實際問題中，常常需要考慮許多隨機因素所產(chǎn)生總影響.,例如：炮彈射擊的落點與目標的偏差，就受著許多隨機因素的影響.,,空氣阻力所產(chǎn)生的誤差，,對我們來說重要的是這些隨機因素的總影響.,如瞄準時的誤差，,炮彈或炮身結構所引起的誤差

5、等.,觀察表明，如果一個量是由大量相互獨立的隨機因素的影響所造成，而每一個別因素在總影響中所起的作用不大. 則這種量一般都服從或近似服從正態(tài)分布.,自從高斯指出測量誤差服從正態(tài)分布之后，人們發(fā)現(xiàn)，正態(tài)分布在自然界中極為常見.,現(xiàn)在我們就來研究獨立隨機變量之和所特有的規(guī)律性問題.,在概率論中，習慣于把和的分布收斂于正態(tài)分布這一類定理都叫做中心極限定理.,下面給出的獨立同分布隨機變量序列的中心極限定理, 也稱列維一林德伯格（LevyLindberg）定理.,定理1（獨立同分布下的中心極限定理）,設 X1, X2, , Xn 是獨立同分布的隨機 變量序列，且E(Xi)= ，D(Xi)= ， i=1

6、,2,,n，則,注 1）證明所需要的知識已超出范圍，證明略。,獨立同分布，且它們的數(shù)學期,2）中 心極限 定理表明，若 隨 機 變 量 序 列,望及方差存在，則當n充分大時，其和的分布,,3）中心定理還表明：無論每一個隨機變量,服從什么分布，只要每一個隨機變量,標準正態(tài)分布）,例1 根據(jù)以往經(jīng)驗，某種電器元件的壽命服 從均值為100小時的指數(shù)分布. 現(xiàn)隨機地取 16只,設它們的壽命是相互獨立的. 求這16 只元件的壽命的總和大于1920小時的概率.,由題給條件知，諸Xi獨立，,16只元件的壽命的總和為,解: 設第i只元件的壽命為Xi , i=1,2, ,16,E(Xi)=100, D(X

7、i)=10000,依題意，所求為P(Y1920),由題給條件知,諸Xi獨立,,16只元件的壽命的總和為,解: 設第i只元件的壽命為Xi , i=1,2, ,16,E(Xi)=100,D(Xi)=10000,依題意，所求為P(Y1920),由于E(Y)=1600,,D(Y)=160000,P(Y1920)=1-P(Y1920),=1-(0.8),1-,=1-0.7881=0.2119,定理2 (棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理) 設 是 重伯努利試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù), 又A在每次試驗中出現(xiàn)的概率為 則對于任意的實數(shù) 有:,注 1）德莫佛拉普拉斯定理表明:二項分布,,以正態(tài)分布為極

8、限;,2) 棣莫佛拉普拉斯定理是中心極限定理,的特殊情況.,解 設 表示某一時刻機器開動的臺數(shù),則,設電廠至少要供應 個單位的電能,則由題意,有,由棣莫弗-拉普拉斯定理,有,查表得,應有,故至少須向該車間供應2261個單位的電能,才,能以95%的概率保證不致因供電不足而影響生產(chǎn).,看作是相互獨立同分布的隨機變量,而總重量,是獨立同分布的隨機變量之和.,是所求得箱數(shù),由條件可以把,由林德伯格-列維定理,即 必須滿足,即最多可以裝98箱。,例4 在保險公司里，有3000個同一年齡的人參 加人壽保險，在一年里，這些人死亡的概率 為0.1%，參加保險的人在一年的頭一天交付 保險金10元，死亡時，家屬可從保險公司領 取2000元賠償金。,（2）保險公司虧本的概率是多少？,（1）求保險公司一年中獲利不少于10000元的 概率；,概率論中的關鍵詞,隨機試驗，樣本空間，事件，頻率，概率， 等可能概型，條件概率，全概率公式，貝葉斯 公式，獨立性；,隨機變量，分布函數(shù)，分布律，概率密度，函數(shù)的分布，邊緣概率分布律，邊緣概率密度，獨立性;,數(shù)學期望,方差,協(xié)方差,相關系數(shù).,0-1分布，二項分布，泊松分布，均勻分布， 指數(shù)分布,正態(tài)分布;,