2022年中考數(shù)學(xué)三輪沖刺過關(guān)回歸教材重難點(diǎn)02 二次函數(shù)圖像與系數(shù)abc之間關(guān)系-【查漏補(bǔ)缺】,查漏補(bǔ)缺,2022年中考數(shù)學(xué)三輪沖刺過關(guān)回歸教材重難點(diǎn)02,二次函數(shù)圖像與系數(shù)a,b,c之間關(guān)系-【查漏補(bǔ)缺】,2022,年中,數(shù)學(xué),三輪,沖刺,過關(guān),回歸,教材,難點(diǎn),02,二次,函數(shù),圖像,系數(shù),之間 回歸教材重難點(diǎn)02 二次函數(shù)圖像與系數(shù)a，b，c之間關(guān)系 二次函數(shù)圖像與系數(shù)a，b，c之間關(guān)系是九年級《二次函數(shù)》的重點(diǎn)內(nèi)容，通過對理解并掌握各個字母的意義，要求考生熟練的運(yùn)用根的判別式及韋達(dá)定理，并做到會讀圖、識圖。提升數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)，提高邏輯思維推斷能力。 本考點(diǎn)是中考五星高頻考點(diǎn)，在全國各地的中考試卷中均有出現(xiàn)，題目難度中等偏上或者較大，個別地方將其放在選填題的最后一道。 二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：對于二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0），二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小．當(dāng)a＞0時，拋物線向上開口；當(dāng)a＜0時，拋物線向下開口；一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置． 當(dāng)a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左； 當(dāng)a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右；常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點(diǎn)位置． 1．（2021·山東日照·中考真題）拋物線的對稱軸是直線，其圖象如圖所示．下列結(jié)論：①；②；③若和是拋物線上的兩點(diǎn)，則當(dāng)時，；④拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，則關(guān)于的方程無實(shí)數(shù)根．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（　?。? A．4 B．3 C．2 D．1 第1頁/共7頁 2．（2021·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）如圖，二次函數(shù)圖象的一部分與x軸的一個交點(diǎn)坐標(biāo)為，對稱軸為，結(jié)合圖象給出下列結(jié)論： ①； ②； ③關(guān)于x的一元二次方程的兩根分別為-3和1； ④若點(diǎn)，，均在二次函數(shù)圖象上，則； ⑤（m為任意實(shí)數(shù)）． 其中正確的結(jié)論有（???????） A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 3．（2021·湖北鄂州·中考真題）二次函數(shù)的圖象的一部分如圖所示．已知圖象經(jīng)過點(diǎn)，其對稱軸為直線．下列結(jié)論：①；②；③；④若拋物線經(jīng)過點(diǎn)，則關(guān)于的一元二次方程的兩根分別為，5，上述結(jié)論中正確結(jié)論的個數(shù)為（?????） A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 第2頁/共7頁 4．（2021·江蘇宿遷·中考真題）已知二次函數(shù)的圖像如圖所示，有下列結(jié)論：①；②＞0；③；④不等式＜0的解集為1≤＜3，正確的結(jié)論個數(shù)是（???????） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2021·山東東營·二模）如圖，已知拋物線y＝ax2＋bx＋c（a≠0）交x軸于點(diǎn)A（﹣1，0）和x軸正半軸于點(diǎn)B，且BO＝3AO交y軸正半軸于點(diǎn) C．有下列結(jié)論：①abc＞0；②2a＋b＝0；③x＝1時y有最大值﹣4a；④3a＋c＝0，其中，正確結(jié)論的個數(shù)是（???????） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（2021·四川·成都外國語學(xué)校二模）已知拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸是直線x＝1，其部分圖象如圖所示，下列說法中：①abc＜0；②4a﹣2b+c＜0；③若A（﹣，y1）、B（，y2）、C（﹣2，y3）是拋物線上的三點(diǎn)，則有y3＜y1＜y2；④若m，n（m＜n）為方程a（x﹣3）（x+1）﹣2＝0的兩個根，則﹣1＜m＜n＜3，以上說法正確的有（　?。? 第3頁/共7頁 A．①②③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③ 7．（2021·湖北恩施·模擬預(yù)測）如圖是二次函數(shù)圖象的一部分，拋物線與軸交點(diǎn)位于與之間，給出四個結(jié)論：①，②，③，④，⑤當(dāng)時，，當(dāng)時，，則，⑥關(guān)于一元二次方程，一定有兩個不等的實(shí)根，其中正確的有（?????） A．2個 B．3個 C．4個 D．5個 8．（2021·湖南師大附中博才實(shí)驗(yàn)中學(xué)二模）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，其對稱軸為直線，結(jié)合圖象分析下列結(jié)論：①；②；③當(dāng)時，隨的增大而增大；④一元二次方程的兩根分別為，；⑤若為方程的兩個根，則且，其中正確的結(jié)論有（???????）個． A．2 B．3 C．4 D．5 第4頁/共7頁 9．（2021·江蘇連云港·二模）如圖，已知二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線，下列結(jié)論： ①；②；③若為任意實(shí)數(shù)，則有； ④若圖象經(jīng)過點(diǎn)，方程的兩根為，，則． 其中正確的結(jié)論的個數(shù)是（???????） A．個 B．個 C．個 D．個 10．（2021·貴州遵義·中考真題）拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a＞0）經(jīng)過（0，0），（4，0）兩點(diǎn)．則下列四個結(jié)論正確的有 ___（填寫序號）． ①4a+b＝0； ②5a+3b+2c＞0； ③若該拋物線y＝ax2+bx+c與直線y＝﹣3有交點(diǎn)，則a的取值范圍是a； ④對于a的每一個確定值，如果一元二次方程ax2+bx+c﹣t＝0（t為常數(shù)，t≤0）的根為整數(shù)，則t的值只有3個． 11．（2021·貴州黔東南·中考真題）如圖，二次函數(shù)的函數(shù)圖像經(jīng)過點(diǎn)（1，2），且與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為、，其中 －1＜＜0，1＜＜2，下列結(jié)論：①；②；③；④當(dāng)時，；⑤ ，其中正確的有 ___________．（填寫正確的序號） 12．（2021·廣東佛山·二模）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與軸交于點(diǎn)A（﹣2，0）、B（1，0），拋物線對稱軸x＝﹣0.5與此拋物線交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)M，在直線上取點(diǎn)D，使MD＝MC，連接AC、BC、AD、BD，小明根據(jù)圖象寫出下列結(jié)論：①a﹣b＝0：②當(dāng)﹣2＜x＜1時，y＞0；③四邊形ACBD 第5頁/共7頁 是菱形；④9a﹣3b+c＞0；其中正確的是______（填序號）． 13．（2021·吉林·東北師大附中二模）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)，a≠0）的圖象如圖所示，下面四個結(jié)論，①abc＜0；②a+c＜b；③2a+b＝1；④a+b≥m（am+b），其中全部正確的是______ 第6頁/共7頁 第7頁/共7頁 回歸教材重難點(diǎn)02 二次函數(shù)圖像與系數(shù)a，b，c之間關(guān)系 二次函數(shù)圖像與系數(shù)a，b，c之間關(guān)系是九年級《二次函數(shù)》的重點(diǎn)內(nèi)容，通過對理解并掌握各個字母的意義，要求考生熟練的運(yùn)用根的判別式及韋達(dá)定理，并做到會讀圖、識圖。提升數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)，提高邏輯思維推斷能力。 本考點(diǎn)是中考五星高頻考點(diǎn)，在全國各地的中考試卷中均有出現(xiàn)，題目難度中等偏上或者較大，個別地方將其放在選填題的最后一道。 二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：對于二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0），二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大?。?dāng)a＞0時，拋物線向上開口；當(dāng)a＜0時，拋物線向下開口；一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置． 當(dāng)a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左； 當(dāng)a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右；常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點(diǎn)位置． 1．（2021·山東日照·中考真題）拋物線的對稱軸是直線，其圖象如圖所示．下列結(jié)論：①；②；③若和是拋物線上的兩點(diǎn)，則當(dāng)時，；④拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，則關(guān)于的方程無實(shí)數(shù)根．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 第1頁/共15頁 【分析】①由圖象開口方向，對稱軸位置，與軸交點(diǎn)位置判斷，，符號．②把分別代入函數(shù)解析式，結(jié)合圖象可得的結(jié)果符號為負(fù)．③由拋物線開口向上，距離對稱軸距離越遠(yuǎn)的點(diǎn)值越大．④由拋物線頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為可得，從而進(jìn)行判斷無實(shí)數(shù)根． 【詳解】①拋物線圖象開口向上，， 對稱軸在直線軸左側(cè)，，同號，， 拋物線與軸交點(diǎn)在軸下方，，，故①正確． ②， 當(dāng)時，由圖象可得， 當(dāng)時，，由圖象可得， ，即，故②正確． ③，， ，點(diǎn)，到對稱軸的距離大于點(diǎn)，到對稱軸的距離， ，故③錯誤． ④拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，， 無實(shí)數(shù)根．故④正確， 綜上所述，①②④正確， 故選：B． 【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)中，，與函數(shù)圖象的關(guān)系． 2．（2021·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）如圖，二次函數(shù)圖象的一部分與x軸的一個交點(diǎn)坐標(biāo)為，對稱軸為，結(jié)合圖象給出下列結(jié)論： ①； ②； ③關(guān)于x的一元二次方程的兩根分別為-3和1； ④若點(diǎn)，，均在二次函數(shù)圖象上，則； ⑤（m為任意實(shí)數(shù)）． 其中正確的結(jié)論有（???????） 第2頁/共15頁 A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 【答案】C 【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)逐項分析即可判斷． 【詳解】解：∵二次函數(shù)圖象的一部分與x軸的一個交點(diǎn)坐標(biāo)為， ∴當(dāng)x=1時，，故結(jié)論①正確； 根據(jù)函數(shù)圖像可知， 當(dāng)，即， 對稱軸為，即， 根據(jù)拋物線開口向上，得，∴，∴， 即，故結(jié)論②正確； 根據(jù)拋物線與x軸的一個交點(diǎn)為， 對稱軸為可知：拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)為(-3，0)， ∴關(guān)于x的一元二次方程的兩根分別為-3和1，故結(jié)論③正確； 根據(jù)函數(shù)圖像可知：，故結(jié)論④錯誤； 當(dāng)時，， ∴當(dāng)時，， 即，故結(jié)論⑤錯誤，綜上：①②③正確， 故選：C． 【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，正確理解二次函數(shù)與方程的關(guān)系． 第3頁/共15頁 3．（2021·湖北鄂州·中考真題）二次函數(shù)的圖象的一部分如圖所示．已知圖象經(jīng)過點(diǎn)，其對稱軸為直線．下列結(jié)論：①；②；③；④若拋物線經(jīng)過點(diǎn)，則關(guān)于的一元二次方程的兩根分別為，5，上述結(jié)論中正確結(jié)論的個數(shù)為（?????） A．1個 B．2個 C．3個 D．4個 【答案】C 【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行逐項判斷即可求解． 【詳解】解：①由圖象可知，a＜0，b＞0，c＞0， ∴abc＜0，故①正確； ②∵對稱軸為直線x= =1，且圖象與x軸交于點(diǎn)（﹣1，0）， ∴圖象與x軸的另一個交點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），b=﹣2a， ∴根據(jù)圖象，當(dāng)x=2時，y=4a+2b+c＞0，故②錯誤； ③根據(jù)圖象，當(dāng)x=﹣2時，y=4a﹣2b+c=4a+4a+c=8a+c＜0，故③正確； ④∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)， ∴根據(jù)拋物線的對稱性，拋物線也經(jīng)過點(diǎn)， ∴拋物線與直線y=n的交點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣3，n）和（5，n）， ∴一元二次方程的兩根分別為，5， 故④正確， 綜上，上述結(jié)論中正確結(jié)論有①③④， 故選：C． 【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與系數(shù)之間的關(guān)系是解答的關(guān)鍵． 4．（2021·江蘇宿遷·中考真題）已知二次函數(shù)的圖像如圖所示，有下列結(jié)論：①；② 第4頁/共15頁 ＞0；③；④不等式＜0的解集為1≤＜3，正確的結(jié)論個數(shù)是（???????） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根據(jù)拋物線的開口方向、于x軸的交點(diǎn)情況、對稱軸的知識可判①②③的正誤，再根據(jù)函數(shù)圖象的特征確定出函數(shù)的解析式，進(jìn)而確定不等式，最后求解不等式即可判定④． 【詳解】解：∵拋物線的開口向上，∴a＞0，故①正確； ∵拋物線與x軸沒有交點(diǎn)，∴＜0，故②錯誤 ∵由拋物線可知圖象過（1,1），且過點(diǎn)（3,3），，∴8a+2b=2 ∴4a+b=1，故③錯誤；由拋物線可知頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1,1），且過點(diǎn)（3,3） 則拋物線與直線y=x交于這兩點(diǎn)，∴＜0可化為， 根據(jù)圖象，解得：1＜x＜3，故④錯誤．故選A． 【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象的特征以及解不等式的相關(guān)知識，靈活運(yùn)用二次函數(shù)圖象的特征成為解答本題的關(guān)鍵． 5．（2021·山東東營·二模）如圖，已知拋物線y＝ax2＋bx＋c（a≠0）交x軸于點(diǎn)A（﹣1，0）和x軸正半軸于點(diǎn)B，且BO＝3AO交y軸正半軸于點(diǎn) C．有下列結(jié)論：①abc＞0；②2a＋b＝0；③x＝1時y有最大值﹣4a；④3a＋c＝0，其中，正確結(jié)論的個數(shù)是（???????） 第5頁/共15頁 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根據(jù)拋物線開口方向得到a＜0；對稱軸在y軸的右側(cè)，a與b異號，得到b＞0，又拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸上方，則c＞0，于是可判斷①錯誤；根據(jù)OB=3OA=3，確定點(diǎn)B的坐標(biāo)，可得拋物線的對稱軸為直線x=1，于是可判斷②正確；根據(jù)A（-1，0）和點(diǎn)B（3，0）確定拋物線的解析式，并化為頂點(diǎn)式，于是可判斷③正確；根據(jù)a-b+c=0和b=-a可判斷④正確． 【詳解】 解：①∵拋物線開口向下， ∴a＜0， 又∵對稱軸在y軸的右側(cè)， ∴x=-＞0，∴b＞0， 又∵拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸上方， ∴c＞0， ∴abc＜0，所以①錯誤； ②∵A（-1，0）， ∴OA=1， ∵OB=3OA， ∴OB=3，∴B（3，0）， ∴對稱軸為：直線x==1， 即-=1， ∴2a+b=0，所以②正確； ③∵拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）交x軸于點(diǎn)A（-1，0）和點(diǎn)B（3，0）， ∴y=a（x+1）（x-3）=a（x-1）2-4a， ∵a＜0，∴x=1時，y有最大值-4a，所以③正確； ④當(dāng)x=-1時，a-b+c=0， 由②知：b=-2a，∴a+2a+c=0，∴3a+c=0，所以④正確． 正確結(jié)論有②③④，共有3個．故選：C． 【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，與x軸的交點(diǎn)及二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a 第6頁/共15頁 ≠0）的圖象與系數(shù)的關(guān)系：當(dāng)a＜0，拋物線開口向下；拋物線的對稱軸為直線x=-；拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，c）；解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中考?？碱}型． 6．（2021·四川·成都外國語學(xué)校二模）已知拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸是直線x＝1，其部分圖象如圖所示，下列說法中：①abc＜0；②4a﹣2b+c＜0；③若A（﹣，y1）、B（，y2）、C（﹣2，y3）是拋物線上的三點(diǎn)，則有y3＜y1＜y2；④若m，n（m＜n）為方程a（x﹣3）（x+1）﹣2＝0的兩個根，則﹣1＜m＜n＜3，以上說法正確的有（　　） A．①②③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③ 【答案】A 【分析】利用拋物線開口向上得到a＜0，利用拋物線的對稱軸方程得b＝﹣2a＞0，利用拋物線與y軸的交點(diǎn)位置得到c＞0，則可對①進(jìn)行判斷；利用拋物線的對稱性得到拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，0），則x＝﹣2時，y＜0，可對②進(jìn)行判斷；利用二次函數(shù)的性質(zhì)和A、B、C點(diǎn)到直線x＝1的距離大小可對③進(jìn)行判斷；把m、n看作二次函數(shù)y＝a（x﹣3）（x+1）與直線y＝2的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，結(jié)合函數(shù)圖象可對④進(jìn)行判斷． 【詳解】∵拋物線開口向下，∴a＜0， ∵拋物線的對稱軸為直線，∴b＝﹣2a＞0， ∵拋物線與y軸的交點(diǎn)在y軸的正半軸，∴c＞0，∴abc＜0，故①正確； ∵拋物線的對稱軸為直線x＝1，拋物線與x軸的一個交點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）， ∴拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，0），∴x＝﹣2時，y＜0，∴4a﹣2b+c＜0，故②正確； ∵拋物線開口向下，點(diǎn)B（，y2）到直線x＝1的距離最近，點(diǎn)C（﹣2，y3）到直線x＝1的距離最遠(yuǎn)， ∴y3＜y1＜y2，故③正確； ∵m，n（m＜n）為方程a（x﹣3）（x+1）﹣2＝0的兩個根， ∴把m、n看作二次函數(shù)y＝a（x﹣3）（x+1）與直線y＝2的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，∴﹣1＜m＜n＜3， 第7頁/共15頁 故④正確．故選A． 【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，系數(shù)、式子的符號等知識．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運(yùn)用． 7．（2021·湖北恩施·模擬預(yù)測）如圖是二次函數(shù)圖象的一部分，拋物線與軸交點(diǎn)位于與之間，給出四個結(jié)論：①，②，③，④，⑤當(dāng)時，，當(dāng)時，，則，⑥關(guān)于一元二次方程，一定有兩個不等的實(shí)根，其中正確的有（?????） A．2個 B．3個 C．4個 D．5個 【答案】A 【分析】由拋物線開口方向，對稱軸位置，拋物線與y軸交點(diǎn)位置可判斷①，由拋物線對稱軸和拋物線經(jīng)過（﹣1，0）可得拋物線經(jīng)過（3，0），從而可得b，c與a的關(guān)系，進(jìn)而判斷②，由x＝﹣2時y＜0可判斷③，由x＝1時y取最大值可判斷④，由拋物線開口向下，對稱軸為直線x＝1可判斷⑤，將ax2+bx+c﹣5＝0化為只含系數(shù)a的方程，根據(jù)根與判別式的關(guān)系可判斷⑥． 【詳解】∵拋物線開口向下，∴a＜0，∵拋物線對稱軸為直線x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a＞0， ∵拋物線與y軸交點(diǎn)在x軸上方，∴c＞0，∴abc＜0，①正確． ∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，0），拋物線對稱軸為直線x＝1，∴拋物線經(jīng)過（3，0）， ∴a﹣b+c＝0，9a+3b+c＝0，∴10a+2b+2c＝0， ∵b＝﹣2a，∴a＝﹣，∴﹣5b+2b+2c＝﹣3b+2c＝0，∴b＝c，∴ c＝b ∵拋物線與y軸交點(diǎn)位于（0，2）與（0，3）之間，∴2＜c＜3，∴2＜b＜3，∴＜b＜2，②錯誤． ∵x＝﹣2時，y＜0，∴4a﹣2b+c＜0，③正確． ∵x＝1時，y取最大值，∴a+b+c≥am2+bm+c，∴a+b≥am2+bm，④錯誤． ∵拋物線開口向下，2.5﹣1＜1﹣（﹣2.5），∴y1＜y2，⑤錯誤． 第8頁/共15頁 ∵b＝c＝﹣2a，∴c＝﹣3a，a＝﹣c， ∵ 2＜c＜3，∴﹣1＜﹣c＜﹣，∴﹣1＜a＜﹣， 由ax2+bx+c﹣5＝0可得ax2﹣2ax﹣3a﹣5＝0， ∵﹣4＜4a＜﹣，1＜4a +5＜，∴Δ＝（﹣2a）2﹣4a（﹣3a﹣5）＝16a2+20a＝4a（4a+5）＜0， ∴方程ax2+bx+c﹣5＝0無實(shí)數(shù)根，⑥錯誤．故①③ 正確 故選：A． 【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)與方程及不等式的關(guān)系． 8．（2021·湖南師大附中博才實(shí)驗(yàn)中學(xué)二模）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，其對稱軸為直線，結(jié)合圖象分析下列結(jié)論：①；②；③當(dāng)時，隨的增大而增大；④一元二次方程的兩根分別為，；⑤若為方程的兩個根，則且，其中正確的結(jié)論有（???????）個． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根據(jù)題意和函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可以判斷各個小題中的結(jié)論是否正確，從而可以解答本題． 【詳解】解：由函數(shù)圖象可得，，，，則，故①正確； ，得， 時，，，， ，故②正確； 第9頁/共15頁 由圖象可知，當(dāng)時，隨的增大而增大，當(dāng)時，隨的增大而減小，故③錯誤； 拋物線與x軸交于點(diǎn)，其對稱軸為直線， 該拋物線與軸的另一個交點(diǎn)的坐標(biāo)為， 的兩個根為，，的兩個根為，， 一元二次方程的兩根分別為，，故④正確； 該函數(shù)與軸的兩個交點(diǎn)為，，該函數(shù)的解析式可以為， 當(dāng)時， 當(dāng)對應(yīng)的的值一個小于，一個大于2， 若，為方程的兩個根，則且，故⑤錯誤； 故選：B． 【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系、根與系數(shù)的關(guān)系、拋物線與軸的交點(diǎn)、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合的思想解答． 9．（2021·江蘇連云港·二模）如圖，已知二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線，下列結(jié)論： ①；②；③若為任意實(shí)數(shù)，則有； ④若圖象經(jīng)過點(diǎn)，方程的兩根為，，則． 其中正確的結(jié)論的個數(shù)是（???????） A．個 B．個 C．個 D．個 【答案】C 【分析】由圖象可知a＜0，c＞0，由對稱軸得b=2a＜0，則abc＞0，故①錯誤；當(dāng)x=1時，y=a+b+c=a+2a+c=3a+c＜0，得②正確；由x=-1時，y有最大值，得a-b+c≥am2+bm+c，得③錯誤；由題意得二次函數(shù)y=ax2+bx+c與直線y=-2的一個交點(diǎn)為（-3，-2），另一個交點(diǎn)為（1，-2），即x1=1，x2=-3，進(jìn)而得出④正確，即可得出結(jié)論． 第10頁/共15頁 【詳解】解：由圖象可知：a＜0，c＞0，，∴b=2a＜0，∴abc＞0，故①錯誤； 當(dāng)x=1時，y=a+b+c=a+2a+c=3a+c＜0，∴3a＜-c，故②正確； ∵x=-1時，y有最大值，∴a-b+c≥am2+bm+c（m為任意實(shí)數(shù)）， 即a-b≥am2+bm，即a-bm≥am2+b，故③錯誤； ∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）圖象經(jīng)過點(diǎn)（-3，-2），方程ax2+bx+c+2=0的兩根為x1，x2（|x1|＜|x2|）， ∴二次函數(shù)y=ax2+bx+c與直線y=-2的一個交點(diǎn)為（-3，-2）， ∵拋物線的對稱軸為直線x=-1，∴二次函數(shù)y=ax2+bx+c與直線y=-2的另一個交點(diǎn)為（1，-2）， 即x1=1，x2=-3，∴2x1-x2=2-（-3）=5，故④正確．所以正確的是②④； 故選：C． 【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小．當(dāng)a＞0時，拋物線向上開口；當(dāng)a＜0時，拋物線向下開口；一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置：當(dāng)a與b同號時，對稱軸在y軸左； 當(dāng)a與b異號時，對稱軸在y軸右．常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點(diǎn)：拋物線與y軸交于（0，c）． 10．（2021·貴州遵義·中考真題）拋物線y＝ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a＞0）經(jīng)過（0，0），（4，0）兩點(diǎn)．則下列四個結(jié)論正確的有 ___（填寫序號）． ①4a+b＝0； ②5a+3b+2c＞0； ③若該拋物線y＝ax2+bx+c與直線y＝﹣3有交點(diǎn)，則a的取值范圍是a； ④對于a的每一個確定值，如果一元二次方程ax2+bx+c﹣t＝0（t為常數(shù)，t≤0）的根為整數(shù)，則t的值只有3個． 【答案】①③④ 【分析】將（0，0），（4，0）代入拋物線表達(dá)式，求出其解析式，得到系數(shù)之間的關(guān)系，再分別討論每個問題. 【詳解】將（0，0），（4，0）代入拋物線表達(dá)式，得： ，解得： ， ∴拋物線解析式為 ． ① ，則，故①正確，符合題意； ② ，又a＞0， ∴ ，故②錯誤，不符合題意； ③若該拋物線y＝ax2+bx+c與直線y＝﹣3有交點(diǎn)，則有，即一元二次方程 第11頁/共15頁 有實(shí)數(shù)根，則 ， ∵a＞0，∴ ，解得： ，故③正確，符合題意； ④如圖， ∵一元二次方程ax2+bx+c﹣t＝0（t為常數(shù)，t≤0）的根為整數(shù)， 一元二次方程可化為 ，即拋物線與直線 （t為常數(shù)，t≤0）的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為整數(shù)，如圖，則橫坐標(biāo)可為0，1，2，3，4，有3個t滿足．故④正確，滿足題意． 故答案為：①③④ 【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、各項系數(shù)之間的關(guān)系、用根的判別式求取值范圍，借助數(shù)形結(jié)合思想解題是關(guān)鍵. 11．（2021·貴州黔東南·中考真題）如圖，二次函數(shù)的函數(shù)圖像經(jīng)過點(diǎn)（1，2），且與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為、，其中 －1＜＜0，1＜＜2，下列結(jié)論：①；②；③；④當(dāng)時，；⑤ ，其中正確的有 ___________．（填寫正確的序號） 【答案】②④⑤ 【分析】根據(jù)二次函數(shù)的開口方向、對稱軸、與x軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)以及過特殊點(diǎn)時系數(shù)a、b、c 第12頁/共15頁 滿足的關(guān)系等知識進(jìn)行綜合判斷即可． 【詳解】解：拋物線開口向下，a＜0，對稱軸在y軸的右側(cè)，a、b異號，因此b＞0，與y軸的交點(diǎn)在正半軸，c＞0，所以abc＜0，故①錯誤； 對稱軸在0～1之間，于是有0＜-＜1，又a＜0，所以2a+b＜0，故②正確； 當(dāng)x=-2時，y=4a-b+c＜0，故③錯誤； 當(dāng)x=m（1＜m＜2）時，y=am2+bm+c＜2，所以am2+bm＜2-c，故④正確； 當(dāng)x=-1時，y=a-b+c＜0，當(dāng)x=1時，y=a+b+c=2，所以-2b＜-2，即b＞1，故⑤正確； 綜上所述，正確的結(jié)論有：②④⑤， 故答案為：②④⑤． 【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，不等式的性質(zhì)等知識，掌握拋物線的所處的位置與系數(shù)a、b、c滿足的關(guān)系是正確判斷的前提． 12．（2021·廣東佛山·二模）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與軸交于點(diǎn)A（﹣2，0）、B（1，0），拋物線對稱軸x＝﹣0.5與此拋物線交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)M，在直線上取點(diǎn)D，使MD＝MC，連接AC、BC、AD、BD，小明根據(jù)圖象寫出下列結(jié)論：①a﹣b＝0：②當(dāng)﹣2＜x＜1時，y＞0；③四邊形ACBD是菱形；④9a﹣3b+c＞0；其中正確的是______（填序號）． 【答案】①②③ 【分析】由對稱軸x＝﹣，可得到a＝b，即可判斷①；根據(jù)圖象及二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)可直觀判斷②；由A、B關(guān)于對稱軸對稱，得AM＝BM，再結(jié)合已知條件可判斷③；當(dāng)x＝﹣3時，y＜0即可判斷④． 【詳解】解：∵該拋物線對稱軸為直線x＝，∴，即a＝b，∴a﹣b＝0，故①正確； ∵拋物線與x軸交于點(diǎn)A(-2，0)，B(1，0)，且開口向下，∴當(dāng)﹣2＜x＜1時，y＞0，故②正確； ∵點(diǎn)A、B關(guān)于對稱軸x＝﹣對稱，∴AM＝BM， 又MD＝MC，且CD⊥AB，∴四邊形ACBD為菱形，故③正確； 第13頁/共15頁 當(dāng)x＝-3時，y＜0，即y＝9a﹣3b+c＜0，故④錯誤．故答案為：①②③． 【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像及性質(zhì)，二次函數(shù)圖像與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握二次函數(shù)的圖形性質(zhì)是解決本類題的關(guān)鍵． 13．（2021·吉林·東北師大附中二模）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a、b、c為常數(shù)，a≠0）的圖象如圖所示，下面四個結(jié)論，①abc＜0；②a+c＜b；③2a+b＝1；④a+b≥m（am+b），其中全部正確的是______ 【答案】①②④． 【分析】根據(jù)拋物線開口確定a符號，根據(jù)對稱軸結(jié)合a確定b的符號，根據(jù)拋物線與y軸交點(diǎn)確定c的符號，即可判斷①正確；把x=-1代入拋物線解析式，結(jié)合圖象即可判斷②正確，根據(jù)拋物線對稱軸方程即可確定③錯誤，根據(jù)拋物線圖象得到當(dāng)x=1時，拋物線有最大值，即可判斷④正確． 【詳解】解：∵拋物線開口向下，∴a＜0， ∵對稱軸在y軸右側(cè)，∴a，b異號，b＞0， ∵拋物線與y軸交點(diǎn)在y軸正半軸，∴c＞0，∴abc＜0，故①正確； 由圖象得當(dāng)x＝-1時，y＝a-b+c＜0，∴a+c＜b，故②正確； ∵圖象對稱軸為直線x＝＝1， ∴﹣b＝2a，即2a+b＝0，故③錯誤； 由a+b≥m（am+b）得a+b+c≥am2+bm+c， ∵x＝1時函數(shù)值y＝a+b+c為最大值， 故④正確． 故答案為：①②④． 【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)關(guān)系，二次函數(shù)的性質(zhì)，熟知二次函數(shù)的性質(zhì)并根據(jù)圖象靈活應(yīng)用是解題關(guān)鍵． 第14頁/共15頁 第15頁/共15頁