2022年中考數(shù)學(xué)三輪沖刺過(guò)關(guān)回歸教材重難點(diǎn)05 解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用-【查漏補(bǔ)缺】,查漏補(bǔ)缺,2022年中考數(shù)學(xué)三輪沖刺過(guò)關(guān)回歸教材重難點(diǎn)05,解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用-【查漏補(bǔ)缺】,2022,年中,數(shù)學(xué),三輪,沖刺,過(guò)關(guān),回歸,教材,難點(diǎn),05,直角三角形,實(shí)際,應(yīng)用,補(bǔ)缺 回歸教材重難點(diǎn)05 解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用 解三角形的實(shí)際應(yīng)用是初中《直角三角形的邊角關(guān)系》章節(jié)的重點(diǎn)內(nèi)容，其中主要在解直角三角形中考查的頻率比較高。在中考數(shù)學(xué)中，主要是以實(shí)際應(yīng)用的考法出現(xiàn)。通過(guò)熟練的掌握正弦、余弦、正切的意義，提升數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)，提高邏輯思維推斷能力。 本考點(diǎn)是中考五星高頻考點(diǎn)，在全國(guó)各地的中考試卷中均有出現(xiàn)，題目難度中等。 1.銳角三角函數(shù)的定義：銳角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,都叫做角A的銳角三角函數(shù)。 正弦（sin）等于對(duì)邊比斜邊， 余弦（cos）等于鄰邊比斜邊 正切（tan）等于對(duì)邊比鄰邊. 2.特殊角的三角函數(shù)值的計(jì)算 3.解直角三角形的應(yīng)用（坡度坡腳問(wèn)題） （1）坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比，又叫做坡比，它是一個(gè)比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常寫(xiě)成i=1：m的形式． （2）把坡面與水平面的夾角α叫做坡角，坡度i與坡角α之間的關(guān)系為：i=h/l=tanα． （3）在解決坡度的有關(guān)問(wèn)題中，一般通過(guò)作高構(gòu)成直角三角形，坡角即是一銳角，坡度實(shí)際就是一銳角的正切值，水平寬度或鉛直高度都是直角邊，實(shí)質(zhì)也是解直角三角形問(wèn)題． 1．（2021·山東青島·中考真題）某校數(shù)學(xué)社團(tuán)開(kāi)展“探索生活中的數(shù)學(xué)”研學(xué)活動(dòng)，準(zhǔn)備測(cè)量一棟大樓的高度．如圖所示，其中觀景平臺(tái)斜坡的長(zhǎng)是20米，坡角為，斜坡底部與大樓底端的距離為74米，與地面垂直的路燈的高度是3米，從樓頂測(cè)得路燈項(xiàng)端處的俯角是．試求大樓的高度． 第1頁(yè)/共6頁(yè) （參考數(shù)據(jù)：，，，，，） 2．（2021·四川內(nèi)江·中考真題）在一次課外活動(dòng)中，某數(shù)學(xué)興趣小組測(cè)量一棵樹(shù)的高度．如圖所示，測(cè)得斜坡的坡度，坡底的長(zhǎng)為8米，在處測(cè)得樹(shù)頂部的仰角為，在處測(cè)得樹(shù)頂部的仰角為，求樹(shù)高．（結(jié)果保留根號(hào)） 3．（2021·甘肅蘭州·中考真題）避雷針是用來(lái)保護(hù)建筑物、高大樹(shù)木等避免雷擊的裝置．如圖，小陶同學(xué)要測(cè)量垂直于地面的大樓頂部避雷針的長(zhǎng)度（，，三點(diǎn)共線），在水平地面點(diǎn)測(cè)得，，點(diǎn)與大樓底部點(diǎn)的距離，求避雷針的長(zhǎng)度．（結(jié)果精確到．參考數(shù)據(jù)：，，，，，） 第2頁(yè)/共6頁(yè) 4．（2021·遼寧盤(pán)錦·中考真題）如圖，小華遙控?zé)o人機(jī)從點(diǎn)A處飛行到對(duì)面大廈MN的頂端M，無(wú)人機(jī)飛行方向與水平方向的夾角為37°，小華在點(diǎn)A測(cè)得大廈底部N的俯角為31°，兩樓之間一棵樹(shù)EF的頂點(diǎn)E恰好在視線AN上，已知樹(shù)的高度為6米，且，樓AB，MN，樹(shù)EF均垂直于地面，問(wèn)：無(wú)人機(jī)飛行的距離AM約是多少米？（結(jié)果保留整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：cos31°≈0.86， tan31°≈0.60， cos37°≈0.80， tan37°≈0.75） 5．（2021·江蘇淮安·中考真題）如圖，平地上一幢建筑物AB與鐵塔CD相距50m，在建筑物的頂部A處測(cè)得鐵塔頂部C的仰角為28°、鐵塔底部D的俯角為40°，求鐵塔CD的高度． （參考數(shù)據(jù)：sin28°≈0.47，cos28°≈0.8，tan28°≈0.53，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84） 6．（2022·重慶·模擬預(yù)測(cè)）如圖，重慶是著名的山城，為了測(cè)量坡度為的斜坡BC上的建筑物AB的高度，一個(gè)數(shù)學(xué)興趣小組站在山腳點(diǎn)C處沿水平方向走了6米到達(dá)點(diǎn)D，再沿斜坡DF行走26米到達(dá)點(diǎn)F，再向前走了20米到達(dá)一個(gè)比較好的測(cè)量點(diǎn)G，在G點(diǎn)測(cè)量得建筑物底部B的仰角為26.5°，建筑物頂部A的仰角為30°，已知斜坡DF的坡度為1：2.4，測(cè)量員的身高忽略不計(jì)，A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H在同一平面內(nèi)，AB⊥CD于點(diǎn)H，DE⊥FG于點(diǎn)E． (1)求點(diǎn)G到山腳C的水平距離； 第3頁(yè)/共6頁(yè) (2)求建筑物AB的高度．（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.89，tan26.5°≈0.50，） 7．（2021·河南·模擬預(yù)測(cè)）2021年4月4日，中國(guó)海軍組織遼寧艦航母編隊(duì)在臺(tái)灣周邊海域進(jìn)行訓(xùn)練．包括遼寧艦在內(nèi)的6艘解放軍軍艦沿沖繩本島與宮古島之間海域南下，向太平洋駛?cè)ィ⒃谠搮^(qū)域設(shè)立禁飛禁航區(qū)，如圖，該區(qū)域?yàn)椴灰?guī)則四邊形，點(diǎn)A在點(diǎn)B正西200km處，點(diǎn)D在點(diǎn)A正北方，且在點(diǎn)B的西偏北60°方向上，點(diǎn)C在點(diǎn)B的北偏東24°方向且距點(diǎn)B為300km，則這片禁飛禁航區(qū)的面積是多少？（參考數(shù)據(jù)；sin54°≈0.809，cos54°≈0.588，tan54°≈1.376，1.732） 8．（2021·海南·?？谑械谑闹袑W(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖，2020年5月5日，我國(guó)載人空間站工程研制的長(zhǎng)征五號(hào)運(yùn)載火箭在海南文昌首飛成功．運(yùn)載火箭從地面O處發(fā)射，當(dāng)火箭到達(dá)A時(shí)，地面D處的雷達(dá)站測(cè)得AD＝5000米，仰角為30°，3秒后，火箭直線上升到點(diǎn)B處，此時(shí)地面C處的雷達(dá)站測(cè)得B處的仰角為45°．若C、D兩處相距460米．（參考數(shù)據(jù)：） (1)求火箭從A到B處的平均速度（結(jié)果精確到米/秒）； (2)求地面C處的雷達(dá)站測(cè)得BC的距離． 9．（2021·山東青島·一模）如圖，為固定電線桿CM，其自身需植入地下1.5米，且由兩根互相垂直的拉線AC與BC協(xié)助固定．A、D、B在同一直線上． (1)若電線桿地面上部分CD高為h米，∠CAB＝α，請(qǐng)用h與α三角函數(shù)的代數(shù)式表示BC的長(zhǎng)度為 　 ??； (2)若∠CAB＝25°，電線桿CM為11.5米，求兩處固定點(diǎn)A、B之間的距離是多少？（結(jié)果精確到1米）（sin25°≈ 第4頁(yè)/共6頁(yè) ，cos25°≈，tan25°≈） 10．（2021·山東東營(yíng)·二模）小明與小華在一次數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)中，想要測(cè)量他們家對(duì)面商業(yè)大廈的高M(jìn)N，如圖所示，小明爬到居民樓窗臺(tái)B處，測(cè)得商業(yè)大廈頂部N的仰角∠1的度數(shù)為60°，由于樓下植物的遮擋，不能在B處測(cè)得商業(yè)大廈底部M的俯角的度數(shù)．于是，他倆又上了幾層樓來(lái)到窗臺(tái)C處測(cè)得大廈底部M的俯角∠2的度數(shù)為30°，已知A，B，C三點(diǎn)共線，CA⊥AM，NM⊥AM，AB＝18m，BC＝6m，試求商業(yè)大廈的高M(jìn)N． 11．（2021·江蘇·沭陽(yáng)縣懷文中學(xué)二模）脫貧攻堅(jiān)工作讓老百姓過(guò)上了幸福的生活．如圖①是政府給貧困戶新建的房屋，如圖②是房屋的側(cè)面示意圖，它是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是房屋的高AB所在的直線，為了測(cè)量房屋的高度，在地面上C點(diǎn)測(cè)得屋頂A的仰角為35°，此時(shí)地面上C點(diǎn)、屋檐上E點(diǎn)、屋頂上A點(diǎn)三點(diǎn)恰好共線，繼續(xù)向房屋方向走8m到達(dá)點(diǎn)D時(shí)，又測(cè)得屋檐E點(diǎn)的仰角為60°，房屋的頂層橫梁EF＝12m，EFCB，AB交EF于點(diǎn)G（點(diǎn)C，D，B在同一水平線上）．（參考數(shù)據(jù)：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，≈1.7） (1)求屋頂?shù)綑M梁的距離AG； (2)求房屋的高AB（結(jié)果精確到1m）． 第5頁(yè)/共6頁(yè) 第6頁(yè)/共6頁(yè) 回歸教材重難點(diǎn)05 解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用 解三角形的實(shí)際應(yīng)用是初中《直角三角形的邊角關(guān)系》章節(jié)的重點(diǎn)內(nèi)容，其中主要在解直角三角形中考查的頻率比較高。在中考數(shù)學(xué)中，主要是以實(shí)際應(yīng)用的考法出現(xiàn)。通過(guò)熟練的掌握正弦、余弦、正切的意義，提升數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)，提高邏輯思維推斷能力。 本考點(diǎn)是中考五星高頻考點(diǎn)，在全國(guó)各地的中考試卷中均有出現(xiàn)，題目難度中等。 1.銳角三角函數(shù)的定義：銳角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,都叫做角A的銳角三角函數(shù)。 正弦（sin）等于對(duì)邊比斜邊， 余弦（cos）等于鄰邊比斜邊 正切（tan）等于對(duì)邊比鄰邊. 2.特殊角的三角函數(shù)值的計(jì)算 3.解直角三角形的應(yīng)用（坡度坡腳問(wèn)題） （1）坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比，又叫做坡比，它是一個(gè)比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常寫(xiě)成i=1：m的形式． （2）把坡面與水平面的夾角α叫做坡角，坡度i與坡角α之間的關(guān)系為：i=h/l=tanα． （3）在解決坡度的有關(guān)問(wèn)題中，一般通過(guò)作高構(gòu)成直角三角形，坡角即是一銳角，坡度實(shí)際就是一銳角的正切值，水平寬度或鉛直高度都是直角邊，實(shí)質(zhì)也是解直角三角形問(wèn)題． 1．（2021·山東青島·中考真題）某校數(shù)學(xué)社團(tuán)開(kāi)展“探索生活中的數(shù)學(xué)”研學(xué)活動(dòng)，準(zhǔn)備測(cè)量一棟大樓的高度．如圖所示，其中觀景平臺(tái)斜坡的長(zhǎng)是20米，坡角為，斜坡底部與大樓底端的距離為74米，與地面垂直的路燈的高度是3米，從樓頂測(cè)得路燈項(xiàng)端處的俯角是．試求大樓的高度． 第1頁(yè)/共14頁(yè) （參考數(shù)據(jù)：，，，，，） 【答案】96米 【分析】延長(zhǎng)AE交CD延長(zhǎng)線于M，過(guò)A作AN⊥BC于N，則四邊形AMCN是矩形，得NC=AM，AN=MC，由銳角三角函數(shù)定義求出EM、DM的長(zhǎng)，得出AN的長(zhǎng)，然后由銳角三角函數(shù)求出BN的長(zhǎng)，即可求解． 【詳解】延長(zhǎng)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)， 由題意得，，∴四邊形為矩形，∴，. 在中，， ∴，，∴，， ∴，∴. 在中，，∴，∴， ∴，∴. 答：大樓的高度約為96米. 【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題，坡度坡角問(wèn)題，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵． 第2頁(yè)/共14頁(yè) 2．（2021·四川內(nèi)江·中考真題）在一次課外活動(dòng)中，某數(shù)學(xué)興趣小組測(cè)量一棵樹(shù)的高度．如圖所示，測(cè)得斜坡的坡度，坡底的長(zhǎng)為8米，在處測(cè)得樹(shù)頂部的仰角為，在處測(cè)得樹(shù)頂部的仰角為，求樹(shù)高．（結(jié)果保留根號(hào)） 【答案】米． 【分析】作BF⊥CD于點(diǎn)F，設(shè)DF=x米，在直角△DBF中利用三角函數(shù)用x表示出BF的長(zhǎng)，在直角△DCE中表示出CE的長(zhǎng)，然后根據(jù)BF-CE=AE即可列方程求得x的值，進(jìn)而求得CD的長(zhǎng)． 【詳解】解：作于點(diǎn)，設(shè)米， 在中，，則（米， ∵，且AE=8∴ ∴ 在直角中，米， 在直角中，，米． ，即．解得：， 則米． 答：的高度是米． 【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題，坡度坡角問(wèn)題，掌握仰角俯角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵． 第3頁(yè)/共14頁(yè) 3．（2021·甘肅蘭州·中考真題）避雷針是用來(lái)保護(hù)建筑物、高大樹(shù)木等避免雷擊的裝置．如圖，小陶同學(xué)要測(cè)量垂直于地面的大樓頂部避雷針的長(zhǎng)度（，，三點(diǎn)共線），在水平地面點(diǎn)測(cè)得，，點(diǎn)與大樓底部點(diǎn)的距離，求避雷針的長(zhǎng)度．（結(jié)果精確到．參考數(shù)據(jù)：，，，，，） 【答案】 【分析】根據(jù)，然后根據(jù)即可得出答案． 【詳解】解：∵，∴， ∵，，∴，即，解得：m， ∵，∴，即， 解得：m，∴m ． 【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，正確構(gòu)造直角三角形，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)換為解直角三角形的問(wèn)題是解答此題的關(guān)鍵． 4．（2021·遼寧盤(pán)錦·中考真題）如圖，小華遙控?zé)o人機(jī)從點(diǎn)A處飛行到對(duì)面大廈MN的頂端M，無(wú)人機(jī)飛行方向與水平方向的夾角為37°，小華在點(diǎn)A測(cè)得大廈底部N的俯角為31°，兩樓之間一棵樹(shù)EF的頂點(diǎn)E恰好在視線AN上，已知樹(shù)的高度為6米，且，樓AB，MN，樹(shù)EF均垂直于地面，問(wèn)：無(wú)人機(jī)飛行的距離AM約是多少米？（結(jié)果保留整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：cos31°≈0.86， tan31°≈0.60， cos37°≈0.80， tan37°≈0.75） 【答案】38米 第4頁(yè)/共14頁(yè) 【分析】過(guò)作于，易證，得，則，再由銳角三角函數(shù)求出，然后在中，由銳角三角函數(shù)定義求出的長(zhǎng)即可． 【詳解】解：過(guò)作于，如圖所示： 則，， ，， 由題意得：，，，，，，， ， 在中，，， 在中，，， 即無(wú)人機(jī)飛行的距離約是． 【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問(wèn)題，相似三角形的應(yīng)用等知識(shí)，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形，證明是解題的關(guān)鍵． 5．（2021·江蘇淮安·中考真題）如圖，平地上一幢建筑物AB與鐵塔CD相距50m，在建筑物的頂部A處測(cè)得鐵塔頂部C的仰角為28°、鐵塔底部D的俯角為40°，求鐵塔CD的高度． （參考數(shù)據(jù)：sin28°≈0.47，cos28°≈0.8，tan28°≈0.53，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84） 【答案】68.5m 第5頁(yè)/共14頁(yè) 【分析】過(guò)A作AE⊥CD，垂足為E．分別在Rt△AEC和Rt△AED中，由銳角三角函數(shù)定義求出CE和DE的長(zhǎng)，然后相加即可． 【詳解】解：如圖，過(guò)A作AE⊥CD，垂足為E． 則AE＝50m， 在Rt△AEC中，CE＝AE?tan28°≈50×0.53＝26.5（m）， 在Rt△AED中，DE＝AE?tan40°≈50×0.84＝42（m）， ∴CD＝CE＋DE≈26.5＋42＝68.5（m）． 答：鐵塔CD的高度約為68.5m． 【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用--仰角俯角問(wèn)題，求出CE、DE的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵． 6．（2022·重慶·模擬預(yù)測(cè)）如圖，重慶是著名的山城，為了測(cè)量坡度為的斜坡BC上的建筑物AB的高度，一個(gè)數(shù)學(xué)興趣小組站在山腳點(diǎn)C處沿水平方向走了6米到達(dá)點(diǎn)D，再沿斜坡DF行走26米到達(dá)點(diǎn)F，再向前走了20米到達(dá)一個(gè)比較好的測(cè)量點(diǎn)G，在G點(diǎn)測(cè)量得建筑物底部B的仰角為26.5°，建筑物頂部A的仰角為30°，已知斜坡DF的坡度為1：2.4，測(cè)量員的身高忽略不計(jì)，A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H在同一平面內(nèi)，AB⊥CD于點(diǎn)H，DE⊥FG于點(diǎn)E． (1)求點(diǎn)G到山腳C的水平距離； (2)求建筑物AB的高度．（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.89，tan26.5°≈0.50，） 第6頁(yè)/共14頁(yè) 【答案】(1)點(diǎn)G到山腳C的水平距離是50米；(2)建筑物AB的高度約是8.5米 【分析】(1)連接BG，分別過(guò)點(diǎn)H、C作HN⊥EG于點(diǎn)N，CM⊥EG于點(diǎn)M，根據(jù)坡比可得DE和EF的長(zhǎng)度，再由MG=ME+EF+FG來(lái)求解； (2)根據(jù)坡度比，由的正切得出BH的長(zhǎng)度，再根據(jù)的正切可得到AB的值． 【詳解】(1)解：如圖，連接BG，分別過(guò)點(diǎn)H、C作HN⊥EG于點(diǎn)N，CM⊥EG于點(diǎn)M， 由題意可得，CD＝6米，DF＝26米，F(xiàn)G＝20米． ∵HN⊥EG，CM⊥EG，斜坡DF的坡度為1：2.4，DF＝26米， ∴設(shè)DE＝x米，則EF＝2.4米， 由勾股定理可得x2+（2.4x）2＝262， 解得x＝10， ∴DE＝10米，EF＝24米． ∵M(jìn)E＝CD＝6米， ∴MG＝ME+EF+FG＝6+24+20＝50（米）， 答：點(diǎn)G到山腳C的水平距離是50米； (2)解：∵HN⊥EG，CM⊥EG， ∴HN＝CM＝DE＝10米， 設(shè)BH＝x．∵斜坡BC的坡度為，∴HC＝x米， ∴NG＝MN+MG＝HC+MG＝x+50，HN＝x+10． ∵∠BGN＝26.5°， ∴tan26.55°＝＝0.5，解得x＝45， 即BN＝45+10＝55（米），NG＝60+50＝110（米）． ∵∠AGN＝30°，∴tan30°＝，解得AB≈8.5， 第7頁(yè)/共14頁(yè) 答：建筑物AB的高度約是8.5米． 【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用——仰角俯角問(wèn)題，坡度坡角問(wèn)題．解題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)成直角三角形． 7．（2021·河南·模擬預(yù)測(cè)）2021年4月4日，中國(guó)海軍組織遼寧艦航母編隊(duì)在臺(tái)灣周邊海域進(jìn)行訓(xùn)練．包括遼寧艦在內(nèi)的6艘解放軍軍艦沿沖繩本島與宮古島之間海域南下，向太平洋駛?cè)ィ⒃谠搮^(qū)域設(shè)立禁飛禁航區(qū)，如圖，該區(qū)域?yàn)椴灰?guī)則四邊形，點(diǎn)A在點(diǎn)B正西200km處，點(diǎn)D在點(diǎn)A正北方，且在點(diǎn)B的西偏北60°方向上，點(diǎn)C在點(diǎn)B的北偏東24°方向且距點(diǎn)B為300km，則這片禁飛禁航區(qū)的面積是多少？（參考數(shù)據(jù)；sin54°≈0.809，cos54°≈0.588，tan54°≈1.376，1.732） 【答案】這片禁飛禁航區(qū)的面積約為83180km2 【分析】觀察圖形，禁航區(qū)的面積等于△ABD與△CDB面積之和．如圖，過(guò)C點(diǎn)作CE⊥BD于E，利用銳角三角函數(shù)分別解Rt△ABD和Rt△BCE，根據(jù)得到的邊長(zhǎng)求出三角形面積相加即可． 【詳解】解：如圖，過(guò)C點(diǎn)作CE⊥BD于E， 在Rt△ABD中，∠ABD＝60°，AB＝200km，∴∠BDA＝90°﹣∠ABD＝30°， ∴AD＝200（km），BD＝2AB＝400（km）， ∴S△ABDAB?AD200×20020000×1.732＝34640（km2）， 在Rt△BCE中，∠CBE＝24°+30°＝54°，∴CE＝CB?sin54°≈300×0.809＝242.7（km）， ∴S△CDBBD?CE400×242.7＝48540（km2）， ∴S四邊形ABCD＝S△ABD+S△BCD≈34640+48540＝83180（km2）， 即這片禁飛禁航區(qū)的面積約為83180km2． 第8頁(yè)/共14頁(yè) 【點(diǎn)睛】本題考查銳角三角函數(shù)解直角三角形、方位角、求不規(guī)則圖形面積等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)題目中描述的方位角得到圖中三角形相應(yīng)角的度數(shù)是解題的基礎(chǔ)，熟練掌握利用銳角三角函數(shù)解直角三角形的方法是解題的關(guān)鍵． 8．（2021·海南·?？谑械谑闹袑W(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖，2020年5月5日，我國(guó)載人空間站工程研制的長(zhǎng)征五號(hào)運(yùn)載火箭在海南文昌首飛成功．運(yùn)載火箭從地面O處發(fā)射，當(dāng)火箭到達(dá)A時(shí)，地面D處的雷達(dá)站測(cè)得AD＝5000米，仰角為30°，3秒后，火箭直線上升到點(diǎn)B處，此時(shí)地面C處的雷達(dá)站測(cè)得B處的仰角為45°．若C、D兩處相距460米．（參考數(shù)據(jù)：） (1)求火箭從A到B處的平均速度（結(jié)果精確到米/秒）； (2)求地面C處的雷達(dá)站測(cè)得BC的距離． 【答案】(1)457米/秒；(2)（2500460）米 【分析】（1）在兩個(gè)直角三角形中求出AO、BO，進(jìn)而計(jì)算出AB，最后求出速度即可； （2）根據(jù)線段的和差和等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論． 【詳解】(1)設(shè)AB＝x米，在Rt△AOD中，sin30°， ∴OD5000＝2500（米）， 在Rt△OBC中，tan45°1， 即x+2500＝2500460，解得：x≈1370， ∴火箭從A到B處的平均速度為457米/秒，答：火箭從A到B處的平均速度為457米/秒； (2)由（1）知，OD＝2500（米）， ∵CD＝460米，∴OC＝OD﹣CD＝（2500460）米， ∵∠OCB＝45°，∴OB＝OC＝（2500460）米， 第9頁(yè)/共14頁(yè) 故地面C處的雷達(dá)站測(cè)得BC的距離為（2500460）=（2500460）米． 【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是抽象出直角三角形，利用直角三角形解決問(wèn)題． 9．（2021·山東青島·一模）如圖，為固定電線桿CM，其自身需植入地下1.5米，且由兩根互相垂直的拉線AC與BC協(xié)助固定．A、D、B在同一直線上． (1)若電線桿地面上部分CD高為h米，∠CAB＝α，請(qǐng)用h與α三角函數(shù)的代數(shù)式表示BC的長(zhǎng)度為 　 　； (2)若∠CAB＝25°，電線桿CM為11.5米，求兩處固定點(diǎn)A、B之間的距離是多少？（結(jié)果精確到1米）（sin25°≈，cos25°≈，tan25°≈） 【答案】(1)；(2)27米 【分析】（1）證明∠BCD＝∠CAB，再根據(jù)求解即可；（2）分別求出AD，DB，可得結(jié)論． 【詳解】(1)解：∵CD⊥AB，∠ACB＝90°，∴∠ADC＝90°， ∴∠CAB+∠ACD＝90°，∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠BCD＝∠CAB＝α， 在Rt△BCD中，，∴．故答案為：． (2)解：∵CM＝11.5米，DM＝1.5米，∴CD＝10（米）， 在Rt△ADC中，，∴（米）， 在Rt△CDB中，，∴（米）， ∴（米）． 故兩處固定點(diǎn)A、B之間的距離是27米． 【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，靈活運(yùn)用解直角三角形的方法是解決本題的關(guān)鍵． 10．（2021·山東東營(yíng)·二模）小明與小華在一次數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)中，想要測(cè)量他們家對(duì)面商業(yè)大廈的高M(jìn)N，如圖所示，小明爬到居民樓窗臺(tái)B處，測(cè)得商業(yè)大廈頂部N的仰角∠1的度數(shù)為60°，由于樓下植物的遮擋，不能在B處測(cè)得商業(yè)大廈底部M的俯角的度數(shù)．于是，他倆又上了幾層樓來(lái)到窗臺(tái)C處測(cè)得大廈底部M 第10頁(yè)/共14頁(yè) 的俯角∠2的度數(shù)為30°，已知A，B，C三點(diǎn)共線，CA⊥AM，NM⊥AM，AB＝18m，BC＝6m，試求商業(yè)大廈的高M(jìn)N． 【答案】90m 【分析】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，可得四邊形和四邊形均為矩形，，再通過(guò)解直角三角形，即可求得． 【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)， ， ，， 四邊形和四邊形均為矩形， ，， 在中，，，， 在中，，， 由矩形性質(zhì)可知：， 第11頁(yè)/共14頁(yè) ． 答：商業(yè)大廈的高為． 【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用--仰角俯角問(wèn)題，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵． 11．（2021·江蘇·沭陽(yáng)縣懷文中學(xué)二模）脫貧攻堅(jiān)工作讓老百姓過(guò)上了幸福的生活．如圖①是政府給貧困戶新建的房屋，如圖②是房屋的側(cè)面示意圖，它是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是房屋的高AB所在的直線，為了測(cè)量房屋的高度，在地面上C點(diǎn)測(cè)得屋頂A的仰角為35°，此時(shí)地面上C點(diǎn)、屋檐上E點(diǎn)、屋頂上A點(diǎn)三點(diǎn)恰好共線，繼續(xù)向房屋方向走8m到達(dá)點(diǎn)D時(shí)，又測(cè)得屋檐E點(diǎn)的仰角為60°，房屋的頂層橫梁EF＝12m，EFCB，AB交EF于點(diǎn)G（點(diǎn)C，D，B在同一水平線上）．（參考數(shù)據(jù)：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，≈1.7） (1)求屋頂?shù)綑M梁的距離AG； (2)求房屋的高AB（結(jié)果精確到1m）． 【答案】(1)4.2m；(2)14m 【分析】（1）根據(jù)題意得到AG⊥EF，EG=EF，∠AEG=∠ACB=35°，解直角三角形即可得到結(jié)論； （2）過(guò)E作EH⊥CB于H，設(shè)EH=x，解直角三角形即可得到結(jié)論． 【詳解】（1）∵房屋的側(cè)面示意圖， 它是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是房屋的高AB所在的直線，EF∥BC，∴AG⊥EF，EG=EF，∠AEG=∠ACB=35°， 在Rt△AGE中，∠AGE=90°，∠AEG=35°， ∵tan∠AEG=tan35°= ，EG=6，∴AG=6×0.7=4.2（米）；答：屋頂?shù)綑M梁的距離AG約為4.2米； (2)過(guò)E作EH⊥CB于H， 第12頁(yè)/共14頁(yè) 設(shè)EH=x，在Rt△EDH中，∠EHD=90°，∠EDH=60°， ∵tan∠EDH= ，∴ ， 在Rt△ECH中，∠EHC=90°，∠ECH=35°， ∵ ，∴ ， ∵CH-DH=CD=8米， ∴，解得：x≈9.52（米）， ∴AB=AG+BG=9.52+4.2=13.72≈14（米）， 答：房屋的高AB約為14米． 【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，軸對(duì)稱圖形，解題的關(guān)鍵是借助仰角關(guān)系構(gòu)造直角三角形，并結(jié)合圖形利用三角函數(shù)解直角三角形． 第13頁(yè)/共14頁(yè) 第14頁(yè)/共14頁(yè)