2022年中考數(shù)學(xué)三輪沖刺過關(guān)回歸教材重難點01 圓的有關(guān)計算問題-【查漏補缺】,查漏補缺,2022年中考數(shù)學(xué)三輪沖刺過關(guān)回歸教材重難點01,圓的有關(guān)計算問題-【查漏補缺】,2022,年中,數(shù)學(xué),三輪,沖刺,過關(guān),回歸,教材,難點,01,有關(guān),計算,問題,補缺 回歸教材重難點01 圓的有關(guān)計算問題 圓的有關(guān)計算是九年級《圓》的重點內(nèi)容，通過對圓有關(guān)的性質(zhì)定理的記憶與掌握，要求考生熟練的運用各種性質(zhì)定理解決計算問題，提升數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)，提高邏輯思維推斷能力。 本考點是中考五星高頻考點，在全國各地的中考試卷中均有出現(xiàn)，題目難度中等或中等偏下。 1.垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。? 推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。? 注意：垂徑定理中的五個元素——“過圓心”、“垂直弦”、“平分弦”、“平分優(yōu)弧”、“平分劣弧”，構(gòu)成知二推三. 2.圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角都相等，且都等于它所對的圓心角的一半． 推論1：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，的圓周角所對的?。ɑ蛳遥┦前雸A（或直徑）． 推論2：圓內(nèi)接四邊形的對角互補． 3．弦切角定理：弦切角：頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角. 弦切角就是切線與弦所夾的角． 弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧對的圓周角． 4.圓冪定理 ①相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦被交點分成的兩條線段長的乘積相等． ②切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項． ③割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等． 5.正圓的計算 設(shè)的半徑為，圓心角所對弧長為， ①弧長公式： ②扇形面積公式： ③圓柱體表面積公式： ④圓錐體表面積公式：（為母線） 第1頁/共6頁 1．（2021·青海西寧·中考真題）如圖，的內(nèi)切圓與分別相切于點D，E，F(xiàn)，連接，，，，，則陰影部分的面積為（ ） A． B． C． D． 2．（2021·遼寧沈陽·中考真題）如圖，是的內(nèi)接三角形，，，連接，，則的長是（???????） A． B． C． D． 3．（2021·遼寧錦州·中考真題）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為⊙O的直徑，D為⊙O上一點（位于AB下方），CD交AB于點E，若∠BDC＝45°，BC＝6，CE＝2DE，則CE的長為（???????） A．2 B．4 C．3 D．4 4．（2021·四川巴中·中考真題）如圖，AB是⊙O的弦，且AB＝6，點C是弧AB中點，點D是優(yōu)弧AB上的一點，∠ADC＝30°，則圓心O到弦AB的距離等于（　?。? 第2頁/共6頁 A． B． C． D． 5．（2021·山東德州·模擬預(yù)測）如圖，在半徑為3的⊙O中，AB是直徑，AC是弦，D是弧AC的中點，AC與BD交于點E．若E是BD的中點，則AC的長是（　?。? A． B． C． D． 6．（2021·山東臨沂·二模）如圖，等腰直角△ABC中，AC＝AB＝4，以AB為直徑的半圓O交斜邊BC于點D，則陰影部分的面積為（???????）（結(jié)果保留π） A．12﹣2π B．16﹣2π C．24﹣4π D．8 7．（2021·陜西西安·模擬預(yù)測）如圖，點A、B、C是⊙O上的三點，且四邊形ABCO是平行四邊形，OF⊥OC交⊙O于點F，則∠BAF等于（　?。? A．22.5° B．20° C．15° D．12.5° 第3頁/共6頁 8．（2021·廣東·雷州市第八中學(xué)二模）如圖，A、D是⊙上的兩點，BC是直徑，若∠D = 35°，則∠OCA的度數(shù)是（　?。? A．35° B．55° C．65° D．70° 9．（2021·廣東陽江·二模）如圖，AB為⊙O的直徑，C、D為⊙O上兩點，∠BDC=30°，BC =3，則AB的長度為（????????）????? A．6 B．3 C．9 D．12 10．（2021·山東青島·中考真題）如圖，正方形內(nèi)接于，，分別與相切于點和點，的延長線與的延長線交于點．已知，則圖中陰影部分的面積為___________． 11．（2021·青海西寧·中考真題）如圖，是的直徑，弦于點E，，，則的半徑_______． 第4頁/共6頁 12．（2021·河南南陽·三模）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝3，在AB上有一點O，以點O為圓心，OA長為半徑的半圓與邊BC相切于點D，交AC邊于點E，則圖中陰影部分的面積為____． 13．（2022·安徽·由南翔學(xué)校合并一模）如圖，AB是半圓O的直徑，四邊形CDMN和DEFG都是正方形，其中C，D，E在AB上，F(xiàn)、N在半圓上．若則正方形CDMN的面積與正方形DEFG的面積之和是16，則AB的長為______． 14．（2021·江蘇揚州·三模）如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，點D為半圓AB的中點，CD交AB于點E，若AC＝8，BC＝6，則BE的長為 _____． 第5頁/共6頁 第6頁/共6頁 回歸教材重難點01 圓的有關(guān)計算問題 圓的有關(guān)計算是九年級《圓》的重點內(nèi)容，通過對圓有關(guān)的性質(zhì)定理的記憶與掌握，要求考生熟練的運用各種性質(zhì)定理解決計算問題，提升數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)，提高邏輯思維推斷能力。 本考點是中考五星高頻考點，在全國各地的中考試卷中均有出現(xiàn)，題目難度中等或中等偏下。 1.垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條?。? 推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。? 注意：垂徑定理中的五個元素——“過圓心”、“垂直弦”、“平分弦”、“平分優(yōu)弧”、“平分劣弧”，構(gòu)成知二推三. 2.圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角都相等，且都等于它所對的圓心角的一半． 推論1：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，的圓周角所對的?。ɑ蛳遥┦前雸A（或直徑）． 推論2：圓內(nèi)接四邊形的對角互補． 3．弦切角定理：弦切角：頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角. 弦切角就是切線與弦所夾的角． 弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧對的圓周角． 4.圓冪定理 ①相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦被交點分成的兩條線段長的乘積相等． ②切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項． ③割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等． 5.正圓的計算 設(shè)的半徑為，圓心角所對弧長為， ①弧長公式： ②扇形面積公式： ③圓柱體表面積公式： ④圓錐體表面積公式：（為母線） 第1頁/共14頁 1．（2021·青海西寧·中考真題）如圖，的內(nèi)切圓與分別相切于點D，E，F(xiàn)，連接，，，，，則陰影部分的面積為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】連接OD，由題意，先利用勾股定理求出AB的長度，設(shè)半徑為r，然后求出內(nèi)切圓的半徑，再利用正方形的面積減去扇形的面積，即可得到答案． 【詳解】解：連接OD，如圖： 在中，，，， 由勾股定理，則， 設(shè)半徑為r，則，∴，∴四邊形CEOF是正方形； 由切線長定理，則，， ∵，∴，解得：，∴； ∴陰影部分的面積為：； 故選：C． 【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)切圓，切線的性質(zhì)，切線長定理，求扇形的面積，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識，正確的進行解題． 第2頁/共14頁 2．（2021·遼寧沈陽·中考真題）如圖，是的內(nèi)接三角形，，，連接，，則的長是（???????） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】過點作于，根據(jù)垂徑定理求出，根據(jù)圓周角定理求出，根據(jù)正弦的定義求出，根據(jù)弧長公式計算求解． 【詳解】解：過點作于，則， 由圓周角定理得：，， ，，故選：． 【點睛】本題考查的是三角形的外接圓與外心，掌握垂徑定理、圓周角定理、弧長公式是解題的關(guān)鍵． 3．（2021·遼寧錦州·中考真題）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為⊙O的直徑，D為⊙O上一點（位于AB下方），CD交AB于點E，若∠BDC＝45°，BC＝6，CE＝2DE，則CE的長為（???????） A．2 B．4 C．3 D．4 第3頁/共14頁 【答案】D 【分析】連接CO，過點D作DG⊥AB于點G，連接AD，因為CE＝2DE，構(gòu)造△DGE∽△COE，求出DG＝3，設(shè)GE＝x，則OE＝2x，DG＝3，則AG＝6﹣3x，BG＝6＋3x，再利用△AGD∽△ADB，列出方程即可解決． 【詳解】解：連接CO，過點D作DG⊥AB于點G，連接AD， ∵∠BDC＝45°，∴∠CAO＝∠CDB＝45°， ∵AB為⊙O的直徑， ∴∠ACB＝∠ADB＝90°， ∴∠CAB＝∠CBA＝45°， ∵BC＝6，∴AB＝BC＝12， ∵OA＝OB，∴CO⊥AB，∴∠COA＝∠DGE＝90°， ∵∠DEG＝∠CEO，∴△DGE∽△COE， ∴＝， ∵CE＝2DE， 設(shè)GE＝x，則OE＝2x，DG＝3， ∴AG＝6﹣3x，BG＝6＋3x， ∵∠ADB＝∠AGD＝90°，∠DAG＝∠BAD， ∴△AGD∽△ADB，∴DG2＝AG?BG，∴9＝（6﹣3x）（6＋3x）， ∵x＞0，∴x＝，∴OE＝2， 在Rt△OCE中，由勾股定理得： CE＝， 故選：D． 【點睛】本題主要考查了圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，作輔助線構(gòu)造出△DGE∽△COE是解題關(guān)鍵 第4頁/共14頁 4．（2021·四川巴中·中考真題）如圖，AB是⊙O的弦，且AB＝6，點C是弧AB中點，點D是優(yōu)弧AB上的一點，∠ADC＝30°，則圓心O到弦AB的距離等于（　?。? A． B． C． D． 【答案】C 【分析】連接OA，AC，OC，OC交AB于E，先根據(jù)垂徑定理求出AE=3，然后證明三角形OAC是等邊三角形，從而可以得到∠OAE=30°，再利用三線合一定理求解即可. 【詳解】如圖所示，連接OA，AC，OC，OC交AB于E， ∵C是弧AB的中點，AB=6，∴OC⊥AB，AE=BE=3， ∵∠ADC=30°，∴∠AOC=2∠ADC=60°， 又∵OA=OC，∴△OAC是等邊三角形， ∵OC⊥AB,∴，,∴ ∴∴圓心O到弦AB的距離為，故選C. 【點睛】本題主要考查了圓周角與圓心角的關(guān)系，等邊三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，垂徑定理，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進行求解. 5．（2021·山東德州·模擬預(yù)測）如圖，在半徑為3的⊙O中，AB是直徑，AC是弦，D是弧AC的中點，AC與BD交于點E．若E是BD的中點，則AC的長是（　?。? A． B． C． D． 【答案】D 第5頁/共14頁 【分析】連接OD交AC于F，如圖，根據(jù)垂徑定理得到OD⊥AC，則AF＝CF，根據(jù)圓周角定理得到∠C＝90°，所以O(shè)D∥BC，接著證明△BCE≌△DFE得到BC＝DF，則OFBC，所以O(shè)FOD＝1，然后利用勾股定理計算出AF，從而得到AC的長． 【詳解】連接OD交AC于F，如圖，∵D是弧AC的中點，∴OD⊥AC，∴AF＝CF， ∵AB是直徑，∴∠C＝90°，∴OD∥BC，∴∠D＝∠CBE， 在△BCE和△DFE中， ,∴△BCE≌△DFE（ASA），∴BC＝DF， ∵OFBC，∴OFDF，∴OFOD＝1， 在Rt△OAF中，AF2，∴AC＝2AF＝4． 故選：D． 【點睛】本題考查圓中垂徑定理、圓周角定理等知識，解決問題的關(guān)鍵是連接OD，利用垂徑定理構(gòu)造直角三角形． 6．（2021·山東臨沂·二模）如圖，等腰直角△ABC中，AC＝AB＝4，以AB為直徑的半圓O交斜邊BC于點D，則陰影部分的面積為（???????）（結(jié)果保留π） A．12﹣2π B．16﹣2π C．24﹣4π D．8 【答案】A 第6頁/共14頁 【分析】連接AD，因為△ABC是等腰直角三角形，故∠ABD=45°，再由AB是圓的直徑得出∠ADB=90°，故△ABD也是等腰直角三角形，所以AD=BD，S陰影=S△ABC-S△ABD-S弓形AD由此可得出結(jié)論． 【詳解】連接AD，OD， ∵等腰直角△ABC中，∴∠ABD＝45°． ∵AB是圓的直徑，∴∠ADB＝90°，∴△ABD也是等腰直角三角形，∴AD=BD， ∵AB＝4，∴AD＝BD＝4， ∴S陰影＝S△ABC﹣S△ABD﹣S弓形AD＝S△ABC﹣S△ABD﹣（S扇形AOD﹣S△ABD） ＝×4×4﹣×4×4﹣+××4×4＝16﹣2π﹣4＝12﹣2π． 故選：A． 【點睛】本題考查的是扇形面積的計算，圓周角定理，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出三角形及扇形是解答此題的關(guān)鍵． 7．（2021·陜西西安·模擬預(yù)測）如圖，點A、B、C是⊙O上的三點，且四邊形ABCO是平行四邊形，OF⊥OC交⊙O于點F，則∠BAF等于（　?。? A．22.5° B．20° C．15° D．12.5° 【答案】C 【分析】連接OB，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到OC=AB，證明△OAB是等邊三角形，推出∠AOB=60°，利用垂徑定理得到∠BOF=∠AOF=30°，再根據(jù)圓周角定理求出∠BAF． 第7頁/共14頁 【詳解】連接OB， ∵四邊形ABCO是平行四邊形，∴OC=AB， ∵OA=OB=OC，∴OA=OB=AB，∴△OAB是等邊三角形，∴∠AOB=60°， ∵OF⊥OC，OC，∴OF⊥AB，∴∠BOF=∠AOF=30°，∴∠BAF=∠BOF=15°，故選：C． ． 【點睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定及性質(zhì)，垂徑定理，圓周角定理，熟記垂徑定理是解題的關(guān)鍵． 8．（2021·廣東·雷州市第八中學(xué)二模）如圖，A、D是⊙上的兩點，BC是直徑，若∠D = 35°，則∠OCA的度數(shù)是（　?。? A．35° B．55° C．65° D．70° 【答案】B 【分析】根據(jù)圓周角定理可得∠BAC=90°，∠B=∠D=25°，進而解答即可． 【詳解】解：∵AB是⊙O的直徑， ∴∠BAC=90°， ∵∠D=35°， ∴∠B=35°， ∴∠OCA=90°-∠B=90°-35°=55°， 故選：B． 【點睛】本題考查了圓周角定理，正確理解圓周角定理是關(guān)鍵． 第8頁/共14頁 9．（2021·廣東陽江·二模）如圖，AB為⊙O的直徑，C、D為⊙O上兩點，∠BDC=30°，BC =3，則AB的長度為（????????）????? A．6 B．3 C．9 D．12 【答案】A 【分析】連接AC，根據(jù)圓周角定理可得∠ACB=90°，∠BAC=∠BDC=30°，再根據(jù)在直角三角形中30°角所對直角邊等于斜邊的一半，即可求得． 【詳解】解：如圖：連接AC， ∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=90°， ∵∠BDC=30°，∴∠BAC=∠BDC=30°， ∴AB=2BC=6． 故選：A． 【點睛】本題考查了圓周角定理，直角三角形中30°角的性質(zhì)，作出輔助線是解決本題的關(guān)鍵． 10．（2021·山東青島·中考真題）如圖，正方形內(nèi)接于，，分別與相切于點和點，的延長線與的延長線交于點．已知，則圖中陰影部分的面積為___________． 【答案】 【分析】連接AC，OD，根據(jù)已知條件得到AC是⊙O的直徑，∠AOD 第9頁/共14頁 =90°，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠PAO=∠PDO=90°，得到△CDE是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到PE=，根據(jù)梯形和圓的面積公式即可得到答案． 【詳解】連接AC，OD， ∵四邊形BCD是正方形，∴∠B=90°， ∴AC是⊙O的直徑，∠AOD=90°， ∵PA，PD分別與⊙O相切于點A和點D，∴∠PAO=∠PDO=90°，∴四邊形AODP是矩形， ∵OA=OD，∴矩形AODP是正方形， ∴∠P=90°，AP=AO，AC∥PE，∴∠E=∠ACB=45°，∴△CDE是等腰直角三角形， ∵AB=2，∴AC=2AO=2，DE=CD=2，∴AP=PD=AO=，∴PE=3， ∴圖中陰影部分的面積 故答案為：5-π． 【點睛】本題考查了正多邊形與圓，正方形的性質(zhì)，切線的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵． 11．（2021·青海西寧·中考真題）如圖，是的直徑，弦于點E，，，則的半徑_______． 【答案】 【分析】設(shè)半徑為r，則，得到，由垂徑定理得到 第10頁/共14頁 ，再根據(jù)勾股定理，即可求出答案． 【詳解】解：由題意，設(shè)半徑為r，則， ∵，∴， ∵是的直徑，弦于點E，∴點E是CD的中點， ∵，∴， 在直角△OCE中，由勾股定理得， 即，解得：． 故答案為：． 【點睛】本題考查了垂徑定理，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握垂徑定理和勾股定理進行解題． 12．（2021·河南南陽·三模）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝3，在AB上有一點O，以點O為圓心，OA長為半徑的半圓與邊BC相切于點D，交AC邊于點E，則圖中陰影部分的面積為____． 【答案】 【分析】先利用三角函數(shù)定義可知∠B＝30°，得∠CAB＝60°，證明△AOE是等邊三角形，利用切線的性質(zhì)得直角△BOD，利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到OB＝2OD＝4，最后根據(jù)面積差可得答案． 【詳解】解：如圖， ∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝3，∴tan∠B＝＝＝， ∴∠B＝30°，∠CAB＝60°，∴AB＝2AC＝6， ∵OA＝OE，∴△AOE是等邊三角形，∴∠AOE＝60°，∴∠EOF＝120°， ∵OA為半徑的半圓與BC邊相切于點D，∴OD⊥AC，∴∠BDO＝90°， 第11頁/共14頁 ∴OB＝2OD＝2OA＝4，∴OA＝2， ∴等邊三角形AOE中，OA邊的高為， ∴S陰影＝S△ACB﹣S△AOE﹣S扇形OEF＝﹣﹣＝﹣﹣π ＝﹣π． 故答案為：﹣π． 【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)、扇形的面積計算，知道切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．也考查了含30度的直角三角形的性質(zhì)． 13．（2022·安徽·由南翔學(xué)校合并一模）如圖，AB是半圓O的直徑，四邊形CDMN和DEFG都是正方形，其中C，D，E在AB上，F(xiàn)、N在半圓上．若則正方形CDMN的面積與正方形DEFG的面積之和是16，則AB的長為______． 【答案】8 【分析】連接ON，OF，則x2+（x+DO）2=r2，y2+（y-DO）2=r2，整理可得x2+y2=r2，根據(jù)正方形CDMN的面積與正方形DEFG的面積之和為16可以求出圓的半徑，即可得出圓的直徑． 【詳解】連接ON，OF，如圖所示： 設(shè)CN=x，EF=y，圓的半徑為r，根據(jù)題意可得：①，②， ①-②化簡得：， ∵，∴，即，∴，或（舍去）， ∴圓的直徑． 故答案為：8． 【點睛】本題考查了勾股定理在直角三角形中的運用，考查了正方形各邊長相等、各內(nèi)角為直角的性質(zhì)，本題中化簡求得x2+y2=r2是解題的關(guān)鍵． 第12頁/共14頁 14．（2021·江蘇揚州·三模）如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，點D為半圓AB的中點，CD交AB于點E，若AC＝8，BC＝6，則BE的長為 _____． 【答案】 【分析】連接OD，作CH⊥AB于H，如圖，利用圓周角定理得到∠ACB=90°，則根據(jù)勾股定理可計算出AB=10，利用面積法計算出CH=，再利用勾股定理計算出BH=，接著證明△CHE∽△DOE，根據(jù)相似的性質(zhì)得到OE=EH，從而得到EH+EH+=5，求得EH后計算EH+BH即可． 【詳解】連接OD，作CH⊥AB于H，如圖， ∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴AB=， ∵CH?AB=AC?BC，∴CH=， 在Rt△BCH中，BH=， ∵點D為半圓AB的中點，∴OD⊥AB，∴ODCH，∴△CHE∽△DOE， ∴EH：OE=CH：OD=：5=24：25， ∴OE=EH， ∵EH+EH+=5，∴EH=，∴BE=EH+BH=+=．故答案為： 【點睛】本題考查了圓周角定理，勾股定理和相似三角形的判定與性質(zhì)．熟練的運用以上知識是解本題的關(guān)鍵. 第13頁/共14頁 第14頁/共14頁