2022年中考數學三輪沖刺過關回歸教材重難點08 反比例函數與一次函數綜合問題-【查漏補缺】,查漏補缺,2022年中考數學三輪沖刺過關回歸教材重難點08,反比例函數與一次函數綜合問題-【查漏補缺】,2022,年中,數學,三輪,沖刺,過關,回歸,教材,難點,08,反比例,函數,一次,綜合,問題,補缺 回歸教材重難點08 反比例函數與一次函數綜合問題 反比例函數與一次函數綜合問題是初中《反比例函數》章節(jié)的重點內容，考查的相對比較綜合，把反比例函數與一次函數結合起來，以不等式、方程組等為核心。在中考數學中，主要是以解答題形式出現。通過熟練運用的方程、不等式與函數三者之間的關系，提升數學學科素養(yǎng)，提高邏輯思維推斷能力。 本考點是中考五星高頻考點，在全國各地的中考試卷中均有出現，題目難度較大，甚至有些地方將其作為選填題的壓軸題。 1.反比例函數中的有關面積問題 如圖，過點、作軸的垂線，垂足分別為、，則根據的幾何意義可得，，而，所以，此方法的好處，在于方便，快捷，不易出錯 2.待定系數法求反比例函數解析式 反比例函數y=kx（k≠0）系數k的幾何意義：從反比例函數y=kx（k≠0）圖象上任意一點向x軸和y軸作垂線，垂線與坐標軸所圍成的矩形面積為|k|． 反比例函數y=kx（k≠0）系數k的幾何意義：從反比例函數y=kx（k≠0）圖象上任意一點向x軸和y軸作垂線，垂線與坐標軸所圍成的矩形面積為|k|． 1．（2021·湖南湘潭·中考真題）如圖，點在反比例函數的圖象上，軸，且交y軸于點C，交反比例函數于點B，已知． 第1頁/共20頁 （1）求直線的解析式； （2）求反比例函數的解析式； （3）點D為反比例函數上一動點，連接交y軸于點E，當E為中點時，求的面積． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）先求解的坐標，再把的坐標代入正比例函數，解方程即可得到答案； （2）利用 先求解的坐標，再利用待定系數法求解解析式即可； （3）設 而為的中點，利用中點坐標公式求解的坐標，再利用，計算即可得到答案. 【詳解】解：（1） 點在反比例函數的圖象上， 則 設直線為： 則 所以直線為： （2） 軸， ． 所以反比例函數為： （3）設 而為的中點， 【點睛】本題考查的利用待定系數法求解一次函數與反比例函數的解析式，圖形與坐標，中點坐標公式，熟練應用以上知識解題是關鍵. 2．（2021·遼寧鞍山·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數的圖象分別與x軸、y軸交于A，B兩點，與反比例函數的圖象在第二象限交于C，兩點，交x軸于點E，若． （1）求一次函數和反比例函數的表達式． 第2頁/共20頁 （2）求四邊形OCDE的面積． 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）先利用待定系數法求反比例函數解析式，然后結合相似三角形的判定和性質求得C點坐標，再利用待定系數法求函數關系式； （2）根據一次函數圖象上點的坐標特征并結合待定系數法求得A點和E點坐標，然后用的面積減去的面積求解． 【詳解】解：（1）將代入中，， 反比例函數的解析式為； 過點D作軸，過點C作軸， ，，，， 將代入中，，解得：，C點坐標為， 將，代入中，可得，解得：，一次函數的解析式為； （2）設直線OC的解析式為，將代入，得：，解得：， 直線OC的解析式為， 由，設直線DE的解析式為， 將代入可得：，解得：， 第3頁/共20頁 直線DE的解析式為， 當時，，解得：，E點坐標為，， 在中，當時，，解得：，A點坐標為，，， ． 【點睛】本題考查反比例函數與一次函數的應用，相似三角形的判定和性質，掌握一次函數及反比例函數圖象上點的坐標特征，利用待定系數法求函數解析式是解題關鍵． 3．（2021·山東淄博·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，直線與雙曲線相交于兩點． （1）求對應的函數表達式； （2）過點作軸交軸于點，求的面積； （3）根據函數圖象，直接寫出關于的不等式的解集． 【答案】（1），；（2）；（3）或 【分析】（1）由題意先求出，然后得到點B的坐標，進而問題可求解； （2）由（1）可得以PB為底，點A到PB的距離為高，即為點A、B之間的縱坐標之差的絕對值，進而問題可求解； （3）根據函數圖象可直接進行求解． 【詳解】（1）把點代入反比例函數解析式得：，∴， ∵點B在反比例函數圖象上，∴，解得：，∴， 把點A、B作代入直線解析式得：，解得：，∴； 第4頁/共20頁 （2）由（1）可得：，， ∵軸，∴，∴點A到PB的距離為，∴； （3）由（1）及圖象可得：當時，x的取值范圍為或． 【點睛】本題主要考查反比例函數與一次函數的綜合，熟練掌握反比例函數與一次函數的圖象與性質是解題的關鍵． 4．（2021·山東濟寧·中考真題）如圖，中，，，點，點，反比例函數的圖象經過點A． （1）求反比例函數的解析式； （2）將直線向上平移個單位后經過反比例函數，圖象上的點，求，的值． 【答案】（1）；（2）， 【分析】（1）作軸，可知，得出點坐標，待定系數法求出解析式即可， （2）將點代入（1）中解析式和直線的解析式中，分別求出，的值即可． 【詳解】（1）如圖，作軸，則 第5頁/共20頁 ，， 點，點，∴OD=OC+CD=6， 代入中，． （2）在上， 設直線OA解析式為， 直線向上平移個單位后的解析式為： 圖象經過（1，12），，解得：，，． 【點睛】本題考查了待定系數法求反比例函數解析式，正比例函數解析式，函數圖像的平移，三角形全等的性質與判定，解題的關鍵是掌握一次函數與反比例函數的相關性質和數形結合思想． 5．（2021·山東泰安·中考真題）如圖，點P為函數與函數圖象的交點，點P的縱坐標為4，軸，垂足為點B． 第6頁/共20頁 （1）求m的值； （2）點M是函數圖象上一動點，過點M作于點D，若，求點M的坐標． 【答案】（1）24；（2）M點的坐標為 【分析】(1)根據交點坐標的意義，求得點P的橫坐標，利用k=xy計算m即可； （2）利用分類思想，根據正切的定義，建立等式求解即可. 【詳解】（1）∵點P縱坐標為4， ∴，解得，∴，∴． （2）∵，∴， 設，則，當M點在P點右側， ∴M點的坐標為，∴（6+2t）（4-t）=24，解得：，（舍去）， 當時，，∴M點的坐標為， 當M點在P點的左側，∴M點的坐標為，∴（6-2t）（4+t）=24， 解得：，，均舍去． 綜上，M點的坐標為． 【點睛】本題考查了一次函數與反比例函數的交點問題，反比例函數解析式的確定，三角函數，一元二次方程的解法，熟練掌握函數圖像交點的意義，靈活運用三角函數的定義，構造一元二次方程并準確解答是解題的關鍵． 6．（2022·重慶·模擬預測）如圖，一次函數的圖像與反比例函數的圖像相交于點A（3，1），B（﹣1，n）兩點． 第7頁/共20頁 (1)分別求出一次函數和反比例函數的解析式； (2)根據圖像，直接寫出滿足的x的取值范圍； (3)連接BO并延長交雙曲線于點C，連接AC，求的面積． 【答案】(1)反比例函數的解析式是，一次函數的解析式是；(2)或；(3)8 【分析】（1）把點A的坐標代入反比例函數的解析式，即可求出反比例函數的解析式，再把點B的坐標代入反比例函數的解析式可求出B的坐標，把點A、B的坐標代入一次函數即可求出函數的解析式； （2）根據函數的圖像和A、B的坐標即可得出答案； （3）過C點作軸，交直線AB于D，求出D的坐標，即可求得CD，然后根據即可求出答案． 【詳解】(1)解：∵點A（3，1），B（﹣1，n）兩點在反比例函數圖像上 ∴把A（3，1）代入得：，∴反比例函數的解析式是， 又∵B（﹣1，n）代入反比例函數得：，∴B的坐標是（﹣1，﹣3）， 把A、B的坐標代入一次函數得：，解得：，，∴一次函數的解析式是． (2)解：從圖像可知：的x的取值范圍是當或． (3)解：過C點作軸，交直線AB于D，∵B（﹣1，﹣3），B、C關于原點對稱，∴C（1，3）， 把代入得，，∴D（1，﹣1），∴，∴． 第8頁/共20頁 【點睛】本題考查一次函數和反比例函數的交點問題，用待定系數法求一次函數的解析式，三角形的面積等知識點的綜合運用，主要考查學生的計算能力和觀察圖形的能力．數形結合思想的運用是解題的關鍵． 7．（2021·山東泰安·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數在圖象與反比例函數y（k＜0）的圖象在第二象限交于點A（﹣3，m），B（n，2）兩點． (1)當m＝1時，求一次函數的解析式． (2)若點E在x軸上，滿足∠AEB＝90°，且AE＝2﹣m，分別連接OA，OB，求△OAB的面積． 【答案】(1)yx+3；(2) 【分析】（1）將點A坐標代入反比例函數解析式中求出k，進而得出點B坐標，最后用待定系數法求出直線AB的解析式； （2）先判斷出BF＝AE，進而得出△AEG≌Rt△BFG（AAS），得出AG＝BG，EG＝FG，即BE＝BG+EG＝AG+FG＝AF，再求出mn，進而得出BF＝2n，MN＝n+3，即BE＝AF＝n+3，再判斷出△AME∽△ENB，根據相似三角形的性質得出MEBN，最后用勾股定理求出m，根據梯形的面積公式即可得出結論． 【詳解】(1)解：當m＝1時，點A（﹣3，1）， ∵點A在反比例函數y的圖象上，∴k＝﹣3×1＝﹣3， ∴反比例函數的解析式為y； ∵點B（n，2）在反比例函數y圖象上，∴2n＝﹣3，∴n， 設直線AB的解析式為y＝ax+b，則，∴，∴直線AB的解析式為yx+3； (2)如圖，過點A作AM⊥x軸于M，過點B作BN⊥x軸于N，過點A作AF⊥BN于F，交BE于G， 第9頁/共20頁 則四邊形AMNF是矩形，∴FN＝AM，AF＝MN， ∵A（﹣3，m），B（n，2），∴BF＝2﹣m， ∵AE＝2﹣m，∴BF＝AE， 在△AEG和△BFG中，，∴△AEG≌△BFG（AAS），∴AG＝BG，EG＝FG， ∴BE＝BG+EG＝AG+FG＝AF， ∵點A（﹣3，m），B（n，2）在反比例函數y的圖象上，∴k＝﹣3m＝2n，∴mn， ∴BF＝BN﹣FN＝BN﹣AM＝2﹣m＝2n，MN＝n﹣（﹣3）＝n+3，∴BE＝AF＝n+3， ∵∠AEM+∠MAE＝90°，∠AEM+∠BEN＝90°，∴∠MAE＝∠NEB， ∵∠AME＝∠ENB＝90°，∴△AME∽△ENB，∴，∴MEBN， 在Rt△AME中，AM＝m，AE＝2﹣m，根據勾股定理得，AM2+ME2＝AE2，∴m2+（）2＝（2﹣m）2， ∴m，∴k＝﹣3m，∴2n，∴n，∴A（﹣3，），B（，2）， ∴AM，OM＝3，BN＝2，ON，∴MN， ∴△OAB的面積＝S四邊形AMNB+S△BNO﹣S△AOM＝S四邊形AMNB（AM+BN）?MN（2）． 【點睛】本題考查反比例函數和一次函數的綜合應用,解決問題的關鍵是利用好交點的坐標． 8．（2022·江西南昌·一模）如圖，反比例函數y1＝（x＞0）與直線y2＝ax+b的圖象相交于A，B兩點，其中點B（3，3），且AB＝2BC． 第10頁/共20頁 (1)求反比例函數解析式．(2)求直線AB解析式．(3)請根據圖象，直接寫出當y1＜y2時，x的取值范圍． 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）將B點坐標代入反比例函數解析式，求出k的值即可； （2）過點A、D分別作x軸的垂線，垂足分別為D，E．由此即易證，得出．再根據，即得出．結合B點坐標，即可求出A點縱坐標，將A點縱坐標代入反比例函數解析式，即求出A點橫坐標．最后結合A、B兩點坐標利用待定系數法即可求出直線AB的解析式； （3）根據當時，反比例函數圖象在一次函數圖象下方，結合圖象即可寫出x的取值范圍． 【詳解】(1)將B點坐標代入反比例函數解析式得：，解得：．　故反比例函數解析式為：； (2)如圖，過點A、D分別作x軸的垂線，垂足分別為D，E． 根據作圖易證，∴． ∵，∴，即． ∵，∴， 第11頁/共20頁 將代入，即得出，解得：，即A(1，9)．　 將A(1，9)和B(3，3)代入，得：，解得：，∴直線AB的解析式為； (3)當時，即反比例函數圖象在一次函數圖象下方即可， 由圖象可知當時反比例函數圖象在一次函數圖象下方，∴當時，． 【點睛】本題考查一次函數和反比例函數的綜合，利用待定系數法求函數解析式，相似三角形的判定和性質．掌握利用待定系數法求函數解析式是解題關鍵． 9．（2021·山東青島·一模）如圖，直線y1＝k1x+b與雙曲線y2＝在第一象限內交于A、B兩點，已知A（1，m），B（2，1）． (1)分別求出直線和雙曲線的解析式； (2)設點P是線段AB上的一個動點，過點P作PD⊥x軸于點D，E是y軸上一點，當△PED的面積最大時，請直接寫出此時P點的坐標為 　 ?。? 【答案】(1)y1＝﹣x+3，；(2) 【分析】（1）依據反比例函數圖象上點的坐標特征，即可得到m和的值，再根據待定系數法即可得出直線AB的解析式； （2）設點P(x，﹣x+3），用含x的代數式表示出△PED的面積，即可求解． 【詳解】(1)解：∵點B(2，1)在雙曲線上，∴＝2×1＝2，∴雙曲線的解析式為， ∵A（1，m）在雙曲線，∴m＝2，∴A(1，2）． ∵直線AB：y1＝k1x+b過A（1，2）、B（2，1）兩點，則，解得， ∴直線AB的解析式為y＝﹣x+3； (2)解：設點P(x，﹣x+3），且1≤x≤2， 第12頁/共20頁 △PED的面積＝PD?OD＝x(﹣x+3)＝﹣(x﹣)2+， 當x＝時，△PED的面積取得最大值，此時點P的坐標為(，）， 故答案為：(，）． 【點睛】本題是反比例函數的綜合題，主要考查了一次函數和反比例函數的圖象與性質，二次函數的最值以及三角形的面積公式，求出直線AB的解析式是解題的關鍵. 10．（2021·江蘇常州·二模）如圖，在平面直角坐標系中，正六邊形ABCDEF的對稱中心P在反比例函數y＝（k＞0，x＞0）的圖象上，CD在x軸上，點B在y軸上，已知CD＝2． (1)點A是否在該反比例函數的圖象上？請說明理由； (2)若該反比例函數圖象與DE交于點Q，求點Q的橫坐標． 【答案】(1)點A在反比例函數圖象上，理由見解析；(2)Q點的橫坐標為 【分析】（1）過點P作x軸垂線PG，連接BP，可得BP＝2，G是CD的中點，所以P（2，）； （2）易求D（3，0），E（4，），待定系數法求出DE的解析式為y＝x﹣3，聯(lián)立反比例函數與一次函數即可求點Q． 【詳解】(1)解：點A在該反比例函數的圖象上，理由如下：過點P作x軸垂線PG，連接BP， ∵P是正六邊形ABCDEF的對稱中心，CD＝2，∴BP＝2，G是CD的中點， ∴PG=BO=BC＝，∴P（2，）， ∵P在反比例函數y＝（k＞0，x＞0）的圖象上，∴k＝2，∴y＝， 由正六邊形的性質，A（1，2），∴點A在反比例函數圖象上； (2)解：由（1）得D（3，0），E（4，）， 設DE的解析式為y＝mx+b，∴，∴，∴y＝x﹣3， 第13頁/共20頁 由方程，解得x＝（負數舍去），∴Q點橫坐標為． ． 【點睛】本題考查反比例函數的圖象及性質，正六邊形的性質；將正六邊形的邊角關系與反比例函數上點的坐標結合是解題的關鍵． 11．（2021·廣東清遠·二模）如圖，一次函數y1＝k1x+4與反比例函數的圖象交于點A(2,m)和B(-6,-2)，與y軸交于點C． (1)求一次函數與反比例函數的表達式； (2)過點A作AD⊥x軸于點D，點P是反比例函數在第一象限的圖象上一點，設直線OP與線段AD交于點E，當S四邊形ODAC:S△ODE＝4:1時，求點P的坐標； (3)點M是y軸上的一個動點，當△MBC為直角三角形時，直接寫出點M的坐標． 【答案】(1)y=x+4，；(2)；(3)(0,?2)或(0,?8) 【分析】(1)根據點B的坐標，利用待定系數法即可求出k1、k2的值； (2)根據一次函數圖象上點的坐標特征求出點A、C的坐標，根據梯形的面積公式求出S四邊形ODAC的值，進而即可得出S△ODE的值，結合三角形的面積公式即可得出點E的坐標，利用待定系數法即可求出直線OP的解析式，再聯(lián)立直線OP與雙曲線的解析式成方程組，通過解方程組求出點P的坐標； (3)分∠CMB=90°或∠CBM=90°兩種情況考慮，當∠CMB=90°時，根據點B的坐標即可找出點M 第14頁/共20頁 的坐標；當∠CBM=90°時，由直線AB的解析式可得出△BCM為等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質結合點A、B的坐標即可得出點M的坐標，綜上即可得出結論． 【詳解】(1)解：將點B(?6,?2)代入y1=k1x+4，?2=?6k1+4，解得：k1=1，故一次函數的解析式為；y=x+4 將點B(?6,?2)代入①，，解得：k2=12， 故反比例函數的解析式為； (2)解：依照題意，畫出圖形，如圖2所示． 當x=2時，m=2+4=6，∴點A的坐標為(2,6)； 當x=0時，y1=x+4=4，∴點C的坐標為(0,4)， ∵，S四邊形ODAC:S△ODE＝4:1， ∴，∴DE=2.5，即點EE的坐標為(2,2.5)， 設直線OP的解析式為y=kx， 將點E(2,2.5)代入y=kx，得2.5=2k，解得：，∴直線OP的解析式為， ，解得：，， ∵點P在第一象限，∴點P的坐標為； (3)解：依照題意畫出圖形，如圖3所示． 第15頁/共20頁 當∠CMB=90°時，軸，∴點M的坐標為(0,?2)； 當時， ∵B(-6,-2)，C(0,4)，，∴∠BCM=45°， ∴△BCM為等腰直角三角形，BC=BM，∴，∴點M的坐標為(0,?8)， 綜上所述：當△MBC為直角三角形時，點M的坐標為(0,?2)或(0,?8)． 【點睛】本題考查了待定系數法求出一次及反比例函數解析式、一次函數圖象上點的坐標特征、梯形(三角形)的面積公式，等腰直角三角形的判定與性質，解題的關鍵是根據題意畫出圖形，作出輔助線． 12．（2021·四川眉山·一模）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數y＝kx+b（k≠0）與反比例函數y（m≠0）的圖象相交于A，B兩點，過點A作AD⊥x軸于點D，AO＝5，OD：AD＝3：4，B點的坐標為（﹣6，n） (1)求一次函數和反比例函數的表達式； (2)求△AOB的面積； (3)P是y軸上一點，且△AOP是等腰三角形，請直接寫出所有符合條件的P點坐標． 【答案】(1)yx+2，y；；(2)△AOB的面積； 第16頁/共20頁 (3)P點坐標為：（0，8）或（0，5）或（0，﹣5）或（0，） 【分析】（1）設OD=3a，AD=4a，則AO=5a=5，解得：a=1，故點A（3，4），故反比例函數的表達式為：y=，故B（-6，2），將點A、B的坐標代入一次函數表達式，即可求解； （2）△AOB的面積S=×OM×（xA-xB）=×2×（3+6）=9； （3）分AP=AO、AO=PO、AP=PO三種情況，分別求解即可． 【詳解】(1) AO＝5，OD：AD＝3：4， 設：OD＝3a，AD＝4a，則AD＝5a＝5，解得：a＝1， 故點A（3，4），則m＝3×4＝12，故反比例函數的表達式為：y，故B（﹣6，﹣2）， 將點A、B的坐標代入一次函數表達式y(tǒng)＝kx+b得：，解得：， 故一次函數的表達式為：yx+2； (2)解：設一次函數yx+2交y軸于點M（0，2）， ∵點A（3，4），B（﹣6，﹣2）， ∴△AOB的面積SOM×（xA﹣xB）2×（3+6）＝9； (3)解：設點P（0，m），而點A、O的坐標分別為：（3，4）、（0，0）， AP2＝9+（m﹣4）2，AO2＝25，PO2＝m2， 當AP＝AO時，9+（m﹣4）2＝25，解得：m＝8或0（舍去0）； 當AO＝PO時，同理可得：m＝±5； 當AP＝PO時，同理可得：m； 綜上，P點坐標為：（0，8）或（0，5）或（0，﹣5）或（0，）． 第17頁/共20頁 【點睛】本題考查了反比例函數與一次函數綜合，等腰三角形的判定與性質，利用形數結合解決此類問題，是非常有效的方法． 13．（2021·廣東云浮·一模）如圖，反比例函數圖像和一次函數經過和． (1)求一次函數解析式： (2)一次函數與x軸交于點B，與y軸交于點A，求證：． 【答案】(1)；(2)見解析 【分析】(1)把兩點的坐標分別代入兩解析式，即可求得a的值，再利用待定系數法確定一次函數的關系式即可； (2)求出A、B兩點坐標，再根據坐標特征可證得，即可證得結論． 【詳解】(1)解：∵(1,6)和(2,a)經過反比例函數，∴，解得 ，∴N(2,3)， 又∵一次函數經過M(1,6)和N(2,3)，∴ 得到，∴一次函數解析式為； (2)解：如圖：過M作MC⊥y軸，垂足為點C；過點N作ND⊥x軸，垂足為點D； ∴ 在一次函數解析式中，令x=0，得y=9；令y=0，得x=3，即A(0,9)，B(3,0),∴AO=9，BO=3, ∵M(1,6)和N(2,3)，∴CO=6，MC=1,DO=2,ND=3, 第18頁/共20頁 ∴AC=AO-CO=9-6=3，BD=BO-DO=3-2=1,∴AC=ND=3，MC=BD=1, 在△APM和△NQB中， ，∴，∴． 【點睛】本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，待定系數法求函數關系式，全等三角形的判定與性質，把點的坐標代入函數關系式是常用的方法，將坐標轉化為線段的長是解決問題的關鍵． 第19頁/共20頁 第20頁/共20頁