2022年中考數(shù)學三輪沖刺過關回歸教材重難點11 二次函數(shù)與幾何的綜合應用-【查漏補缺】,查漏補缺,2022年中考數(shù)學三輪沖刺過關回歸教材重難點11,二次函數(shù)與幾何的綜合應用-【查漏補缺】,2022,年中,數(shù)學,三輪,沖刺,過關,回歸,教材,難點,11,二次,函數(shù),幾何,綜合,應用,補缺 回歸教材重難點11 二次函數(shù)與幾何的綜合應用 二次函數(shù)的綜合應用是初中《二次函數(shù)》章節(jié)的重點內(nèi)容，考查的相對比較綜合，把二次函數(shù)圖像與性質(zhì)結(jié)合起來，聯(lián)系幾何圖形的性質(zhì)綜合考查。在中考數(shù)學中，主要是以解答題形式出現(xiàn)。通過熟練二次函數(shù)性質(zhì)，提升數(shù)學學科素養(yǎng)，提高邏輯思維推斷能力。 本考點是中考五星高頻考點，在全國各地的中考試卷中均有出現(xiàn)，題目難度較大，甚至有些地方將其作為解答題的壓軸題。 1.幾何圖形存在性問題； 2.最值問題（長度、面積）； 3.證明定值問題； 4.相似問題 1．（2021·甘肅蘭州·中考真題）如圖1，二次函數(shù)的圖象交坐標軸于點，，點為軸上一動點． （1）求二次函數(shù)的表達式； （2）過點作軸分別交線段，拋物線于點，，連接．當時，求的面積； （3）如圖2，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)90得到線段． ①當點在拋物線上時，求點的坐標； 第1頁/共8頁 ②點在拋物線上，連接，當平分時，直接寫出點P的坐標． 2．（2021·遼寧沈陽·中考真題）如圖，平面直角坐標系中，O是坐標原點，拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），點B坐標是．拋物線與y軸交于點，點P是拋物線的頂點，連接． （1）求拋物線的函數(shù)表達式并直接寫出頂點P的坐標． （2）直線與拋物線對稱軸交于點D，點Q為直線上一動點． ①當?shù)拿娣e等于面積的2倍時，求點Q的坐標； ②在①的條件下，當點Q在x軸上方時，過點Q作直線l垂直于，直線交直線l于點F，點G在直線上，且時，請直接寫出的長． 第2頁/共8頁 3．（2021·四川德陽·中考真題）如圖，已知：拋物線y＝x2+bx+c與直線l交于點A（﹣1，0），C（2，﹣3），與x軸另一交點為B． （1）求拋物線的解析式； （2）在拋物線上找一點P，使△ACP的內(nèi)心在x軸上，求點P的坐標； （3）M是拋物線上一動點，過點M作x軸的垂線，垂足為N，連接BM．在（2）的條件下，是否存在點M，使∠MBN＝∠APC？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由． 4．（2021·貴州畢節(jié)·中考真題）如圖，拋物線與軸相交于A，B兩點，與y軸相交于點C，對稱軸為直線，項點為D，點B的坐標為． （1）填空：點A的坐標為_________，點D的坐標為_________，拋物線的解析式為_________； （2）當二次函數(shù)的自變量：滿足時，函數(shù)y的最小值為，求m的值； （3）P是拋物線對稱軸上一動點，是否存在點P，使是以AC為斜邊的直角三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由． 第3頁/共8頁 5．（2021·湖南湘西·中考真題）如圖，已知拋物線經(jīng)過，兩點，交軸于點． （1）求拋物線的解析式； （2）連接，求直線的解析式； （3）請在拋物線的對稱軸上找一點，使的值最小，求點的坐標，并求出此時的最小值； （4）點為軸上一動點，在拋物線上是否存在一點，使得以、、、四點為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由． 6．（2021·山東淄博·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于兩點，與軸交于點，連接． （1）若，求拋物線對應的函數(shù)表達式； （2）在（1）的條件下，點位于直線上方的拋物線上，當面積最大時，求點的坐標； （3）設直線與拋物線交于兩點，問是否存在點（在拋物線上）．點（在拋物線的對稱軸上），使得以為頂點的四邊形成為矩形？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由． 第4頁/共8頁 7．（2021·山東棗莊·一模）如圖1，直線y＝x﹣4與x軸交于點B，與y軸交于點A，拋物線經(jīng)過點B和點C（0，4），△ABO從點，開始沿射線AB方向以每秒個單位長度的速度平移，平移后的三角形記為△DEF（點A，B，O的對應點分別為點D，E，F(xiàn)），平移時間為t（0＜t＜4）秒，射線DF交x軸于點G，交拋物線于點M，連接ME． (1)求拋物線的解析式； (2)當tan∠EMF＝時，請求出t的值； (3)如圖2，點N在拋物線上，點N的橫坐標是點M的橫坐標的，連接OM，NF，OM與NF相交于點P，當NP＝FP時，請直接寫出t的值． 8．（2021·江蘇淮安·二模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于點A和點B（1，0），與y軸交于點C（0，﹣3）． (1)求拋物線的函數(shù)表達式． (2)若點P為第三象限內(nèi)拋物線上一動點，作PD⊥x軸于點D，交AC于點E，過點E作AC的垂線與拋物線的對稱軸和y軸分別交于點F、G，設點P的橫坐標為m． ①求PE+EG的最大值；②連接DF、DG，若∠FDG＝45°，求m的值． 第5頁/共8頁 9．（2022·浙江·嘉興一中一模）如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于點A（﹣2，0）和點B（8，0），與y軸交于點C，頂點為D，連接AC，BC，BC與拋物線的對稱軸l交于點E． (1)求拋物線的表達式； (2)點P是第一象限內(nèi)拋物線上的動點，連接PB，PC，當S△PBC＝S△ABC時，求點P的坐標； (3)點N是對稱軸l右側(cè)拋物線上的動點，在射線ED上是否存在點M，使得以點M，N，E為頂點的三角形與△OBC相似？若存在，求點M的坐標；若不存在，請說明理由． 10．（2022·重慶·模擬預測）如圖1，二次函數(shù)與x軸交于點A（﹣2，0）、點B（點A在點B左側(cè)），與y軸交于點C（0，3），． (1)求二次函數(shù)解析式； (2)如圖2，點P是直線BC上方拋物線上一點，PD∥y軸交BC于D，PE∥BC交x軸于點E，求PD+BE 第6頁/共8頁 的最大值及此時點P的坐標； (3)在（2）的條件下，當PD+BE取最大值時，連接PC，將繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)至；將原拋物線沿射線CA方向平移個單位長度得到新拋物線，點M在新拋物線的對稱軸上，點N為平面內(nèi)任意一點，當以點M，N，，D′為頂點的四邊形是矩形時，請直接寫出點N的坐標． 11．（2022·重慶·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線的圖像開口向上，對稱軸為直線，與x軸交于A、B兩點，其中B點的坐標為（，0），與y軸交于點C，且OB＝OC，連接AC． (1)求該拋物線的解析式； (2)如圖1，P為直線AC下方拋物線上一點，過點P作PE⊥x軸交直線AC于點E，過點A作AF⊥AC交直線PE于點F，若，求點P的坐標； (3)如圖2，點D是拋物線y的頂點，將拋物線y沿著射線AC平移得到，為拋物線的頂點，過作⊥x軸于點M．在平移過程中，是否存在以D、、M為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，直接寫出的坐標；若不存在，請說明理由． 第7頁/共8頁 第8頁/共8頁 回歸教材重難點11 二次函數(shù)與幾何的綜合應用 二次函數(shù)的綜合應用是初中《二次函數(shù)》章節(jié)的重點內(nèi)容，考查的相對比較綜合，把二次函數(shù)圖像與性質(zhì)結(jié)合起來，聯(lián)系幾何圖形的性質(zhì)綜合考查。在中考數(shù)學中，主要是以解答題形式出現(xiàn)。通過熟練二次函數(shù)性質(zhì)，提升數(shù)學學科素養(yǎng)，提高邏輯思維推斷能力。 本考點是中考五星高頻考點，在全國各地的中考試卷中均有出現(xiàn)，題目難度較大，甚至有些地方將其作為解答題的壓軸題。 1.幾何圖形存在性問題； 2.最值問題（長度、面積）； 3.證明定值問題； 4.相似問題 1．（2021·甘肅蘭州·中考真題）如圖1，二次函數(shù)的圖象交坐標軸于點，，點為軸上一動點． （1）求二次函數(shù)的表達式； （2）過點作軸分別交線段，拋物線于點，，連接．當時，求的面積； （3）如圖2，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)90得到線段． ①當點在拋物線上時，求點的坐標； 第1頁/共34頁 ②點在拋物線上，連接，當平分時，直接寫出點P的坐標． 【答案】（1）；（2）；（3）①或；②或． 【分析】（1）根據(jù)點的坐標以及已知條件，將的坐標代入即可求得的值，進而求得拋物線的解析式； （2）依題意根據(jù)（1）的解析式求得的坐標，進而求得，據(jù)此求得，根據(jù)進而求得的坐標，根據(jù)即可求得的面積； （3）①過作軸，分點在軸上方和下方兩種情況討論，證明，設，將點的坐標代入（1）中拋物線解析式中即可求得點的坐標情形2，方法同情形1； ②分當不平行于軸和軸兩種情況討論，當當不平行于軸時，過點作交于點,過點作于點，證明進而可得的坐標，當軸時，結(jié)合已知條件即可求得的坐標． 【詳解】（1）二次函數(shù)的圖象經(jīng)過，，解得 ， （2）由，令，解得， ，當時， ，,則 ； （3）如圖，當點在軸下方時，過點作于點， 由，令， 解得 第2頁/共34頁 ， ， 將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)90得到線段， ，， 設， 點在拋物線上， 解得（舍） 當點在軸上方時，如圖， 過點作于點，設 同理可得 第3頁/共34頁 點在拋物線上， 解得（舍去）， 綜上所述，或； ②當不平行于軸時，過點作交于點,過點作于點，如圖， 平分，， ， , ， 當不平行于軸時，重合， 第4頁/共34頁 ， 當軸時，如圖， 此時 則 綜上所述，當平方時，點的坐標為或． 【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)與坐標軸交點，正切的定義，三角形全等的性質(zhì)與判定，分類討論是解題的關鍵． 2．（2021·遼寧沈陽·中考真題）如圖，平面直角坐標系中，O是坐標原點，拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），點B坐標是．拋物線與y軸交于點，點P是拋物線的頂點，連接． （1）求拋物線的函數(shù)表達式并直接寫出頂點P的坐標． （2）直線與拋物線對稱軸交于點D，點Q為直線上一動點． ①當?shù)拿娣e等于面積的2倍時，求點Q的坐標； ②在①的條件下，當點Q在x軸上方時，過點Q作直線l垂直于，直線交直線l于點F，點G在直線上，且時，請直接寫出的長． 第5頁/共34頁 【答案】（1），頂點坐標為（1，4）；（2）（2，1）或；②或． 【分析】（1）將和代入利用系數(shù)法求函數(shù)解析式，然后將一般式化為頂點式求頂點坐標； （2）①求出的面積，設利用求得； ②利用列出方程，求出點的坐標，根據(jù)聯(lián)立直線和的關系式，求出的坐標，從而求得． 【詳解】解（1）由題意得，，，，． （2）①如圖1， 作于， ，， 直線， ，可設， 第6頁/共34頁 ， ， ， 或． 或． ②如圖2， 設， 由得，， 化簡，得， ，， ，，， 作于， ， ， ， 即：， ， ，， 第7頁/共34頁 設直線是：， ，解得 ， 由，解得 ， ， ， 綜上，的長為或． 【點睛】本題考查了二次函數(shù)，一次函數(shù)圖象和性質(zhì)及相似三角形等知識，解決問題的關鍵將點的坐標化成長度，轉(zhuǎn)化成圖形的相似等知識． 3．（2021·四川德陽·中考真題）如圖，已知：拋物線y＝x2+bx+c與直線l交于點A（﹣1，0），C（2，﹣3），與x軸另一交點為B． （1）求拋物線的解析式； （2）在拋物線上找一點P，使△ACP的內(nèi)心在x軸上，求點P的坐標； （3）M是拋物線上一動點，過點M作x軸的垂線，垂足為N，連接BM．在（2）的條件下，是否存在點M，使∠MBN＝∠APC？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由． 【答案】（1）y=x2-2x-3；（2）P（4，5）；（3）存在符合條件的點M，M的坐標為，，， 【分析】（1）把點A，C代入拋物線的解析式，利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式； （2）先作出點C關于x軸的對稱點C'，然后連接AC'并延長交拋物線與點P，根據(jù)對稱性可知P 第8頁/共34頁 為所求的點； （3）根據(jù)勾股定理先求出∠APC的正切值，再設出點M的坐標為（m，m2-2m-3），利用∠MBN=∠APC列出關于m的方程，求出m，即可確定M的坐標． 【詳解】解：（1）把點，代入，得到方程組：，解得， 拋物線的解析式為； （2）作點關于軸的對稱點，則，連接并延長與拋物線交與點，由圖形的對稱性可知為所求的點， 設直線的解析式為，由題意得：，解得：， 直線的解析式為， 將直線和拋物線的解析式聯(lián)立得：解得（舍去）或，； （3）存在點，過點作軸的垂線，由勾股定理得， 同理可求得，， ，， ， ， 第9頁/共34頁 ，， 設點，則，解得或， 當時，， ，， 當，， ，， 存在符合條件的點，的坐標為，，，． 【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合應用，關鍵是要會用待定系數(shù)法求拋物線的解析式，第二問中三角形的內(nèi)角到三邊的距離是相等的，可考慮作關于軸的對稱圖形，此方法比較簡潔，當題目中出現(xiàn)相等的角時，一般要考慮它們的三角函數(shù)值相等． 4．（2021·貴州畢節(jié)·中考真題）如圖，拋物線與軸相交于A，B兩點，與y軸相交于點C，對稱軸為直線，項點為D，點B的坐標為． （1）填空：點A的坐標為_________，點D的坐標為_________，拋物線的解析式為_________； （2）當二次函數(shù)的自變量：滿足時，函數(shù)y的最小值為，求m的值； （3）P是拋物線對稱軸上一動點，是否存在點P，使是以AC為斜邊的直角三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由． 【答案】（1）（1，0），（2，-1），；（2）m的值為或；（3）點P的坐標為：（2，1），（2，2） 第10頁/共34頁 【分析】（1）根據(jù)拋物線的對稱軸及點B坐標可求出點A坐標，根據(jù)對稱軸可求出b的值，把點A或B的坐標代入拋物線解析式可求出C的值，通過配方可求出頂點坐標； （2）根據(jù)拋物線開口向上，分兩種情況討論求解即可； （3）設P（1，t），由為斜邊，則，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可． 【詳解】解：（1）∵拋物線的對稱軸為x=2，點B坐標為（3，0），且點A在B點的左側(cè)， ∴A（1，0） 又x= ∴ 把A（1，0）代入得， ∴拋物線的解析式為 ∴頂點D坐標為（2，-1） 故答案為：（1，0），（2，-1），； （2）∵拋物線開口向上，當時，y隨x的增大而減?。划敃r，y隨x的增大而增大， ①當，即時， 解得，（舍去）或 ②當時，解得，或（舍去） 所以，m的值為或 （3）假設存在，設P（2，t） 當時，如圖， 過點C作CG⊥PE于點G，則CG=2，PG=3-t 第11頁/共34頁 ，∴ ，即 整理得， 解得，， 經(jīng)檢驗：，是原方程的根且符合題意，∴點P的坐標為（2，1），（2，2） 綜上，點P的坐標為：（2，1），（2，2） 【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合題，二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，靈活應用以上知識解決問題是本題的關鍵． 5．（2021·湖南湘西·中考真題）如圖，已知拋物線經(jīng)過，兩點，交軸于點． （1）求拋物線的解析式； （2）連接，求直線的解析式； （3）請在拋物線的對稱軸上找一點，使的值最小，求點的坐標，并求出此時的最小值； （4）點為軸上一動點，在拋物線上是否存在一點，使得以、、、四點為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由． 【答案】（1）；（2）直線的解析式為；（3），此時 第12頁/共34頁 的最小值為；（4）存在，或． 【分析】（1）把點A、B的坐標代入求解即可； （2）設直線的解析式為，然后把點B、C的坐標代入求解即可； （3）由題意易得點A、B關于拋物線的對稱軸對稱，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得，要使的值為最小，則需滿足點B、P、C三點共線時，即為BC的長，然后問題可求解； （4）由題意可設點，然后可分①當AC為對角線時，②當AM為對角線時，③當AN為對角線時，進而根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及中點坐標公式可進行求解． 【詳解】解：（1）∵拋物線經(jīng)過，兩點，∴，解得：， ∴拋物線的解析式為； （2）由（1）可得拋物線的解析式為， ∵拋物線與y軸的交點為C，∴， 設直線的解析式為，把點B、C的坐標代入得：，解得：， ∴直線的解析式為； （3）由拋物線可得對稱軸為直線，由題意可得如圖所示： 連接BP、BC， ∵點A、B關于拋物線的對稱軸對稱， 第13頁/共34頁 ∴， ∴， 要使的值為最小，則需滿足點B、P、C三點共線時，即為BC的長，此時BC與對稱軸的交點即為所求的P點， ∵， ∴， ∴的最小值為， ∵點P在直線BC上， ∴把代入得：， ∴； （4）存在，理由如下： 由題意可設點，，當以、、、四點為頂點的四邊形是平行四邊形，則可分： ①當AC為對角線時，如圖所示： 連接MN，交AC于點D， ∵四邊形ANCM是平行四邊形， ∴點D為AC、MN的中點， ∴根據(jù)中點坐標公式可得：，即，解得：，∴； ②當AM為對角線時，同理可得：，即， 第14頁/共34頁 解得：，∴； ③當AN為對角線時，同理可得： ，即，解得：，∴； ∴綜上所述：當以、、、四點為頂點的四邊形是平行四邊形，點的坐標為或． 【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象是解題的關鍵． 6．（2021·山東淄博·中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于兩點，與軸交于點，連接． （1）若，求拋物線對應的函數(shù)表達式； （2）在（1）的條件下，點位于直線上方的拋物線上，當面積最大時，求點的坐標； （3）設直線與拋物線交于兩點，問是否存在點（在拋物線上）．點（在拋物線的對稱軸上），使得以為頂點的四邊形成為矩形？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）當以為頂點的四邊形成為矩形時，點，． 【分析】（1）由題意易得，則有，然后把點C的坐標代入求解即可； （2）由（1）可得，，然后可求出線段BC的解析式為，過點P作PE∥y軸，交BC于點E，設，則有，進而可根據(jù)鉛垂法進行求解點P的坐標； （3）由題意易得，拋物線的對稱軸為，則可得，點 第15頁/共34頁 F的橫坐標為，①當以GB為矩形的對角線時，根據(jù)中點坐標公式可得點E的橫坐標為，進而可得，，然后根據(jù)相似三角形可求解；②當以GB為矩形的對邊時，最后分類求解即可． 【詳解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 把點C的坐標代入得：，解得：， ∴拋物線解析式為； （2）由（1）可得拋物線解析式為，，， 設線段BC的解析式為，把點B、C代入得： ，解得：， ∴線段BC的解析式為， 過點P作PE∥y軸，交BC于點E，如圖所示： 設，則有， ∴， 設的面積為S，由鉛垂法可得△PCB的面積可以點B、C的水平距離為水平寬，PE為鉛垂高，則有： ， ∴當a=2時，S有最大值， 第16頁/共34頁 ∴點； （3）存在，理由如下： 由題意可把點B的坐標代入直線得：，∴， 聯(lián)立拋物線與直線BG的解析式得：，解得：，∴， 由拋物線可得對稱軸為，∴點F的橫坐標為， ①當以GB為矩形的對角線時，如圖所示： ∴根據(jù)中點坐標公式可得點E的橫坐標為，即為，∴， 根據(jù)中點坐標公式可知，即， ∴，∴， ∵，且四邊形是矩形， ∴點E、F分別落在x軸的兩側(cè)才能構(gòu)成矩形，即， 分別作EH⊥x軸于點H，過點G、B作過點F與x軸平行的直線的垂線，分別交于點M、N，如圖， ∴， ∵四邊形是矩形，∴， ∴， ∴，∴，∴， ∴， 第17頁/共34頁 ∵，∴，∴，即， ∴，解得：（負根舍去），∴，； ②當以GB為矩形的邊時，不存在以點E、F、G、B頂點的四邊形為矩形； 綜上所述：當以為頂點的四邊形成為矩形時，點，． 【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合、矩形的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握二次函數(shù)的綜合、矩形的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關鍵． 7．（2021·山東棗莊·一模）如圖1，直線y＝x﹣4與x軸交于點B，與y軸交于點A，拋物線經(jīng)過點B和點C（0，4），△ABO從點，開始沿射線AB方向以每秒個單位長度的速度平移，平移后的三角形記為△DEF（點A，B，O的對應點分別為點D，E，F(xiàn)），平移時間為t（0＜t＜4）秒，射線DF交x軸于點G，交拋物線于點M，連接ME． (1)求拋物線的解析式； (2)當tan∠EMF＝時，請求出t的值； (3)如圖2，點N在拋物線上，點N的橫坐標是點M的橫坐標的，連接OM，NF，OM與NF相交于點P，當NP＝FP時，請直接寫出t的值． 【答案】(1)y= ；(2)或 ；(3) . 【分析】 （1）求出點B的坐標，把點B和點C的坐標代入拋物線解析式，利用待定系數(shù)法即可求解； （2））設點D的坐標為（m，m﹣4），則點M的坐標為（m，﹣），用含m的式子表示出DM的長，求出DM＝1或7，分類討論即可求解； （3）連接OF，過點N作NH∥MF交OM于Q，交OB于H，證明四邊形OADF是平行四邊形，得到FG＝ 第18頁/共34頁 OG＝t，利用SAS證明△PQN≌△PMF，得到NQ＝ME＝，證明△OQH∽△OMG，得到﹣＝2（），即可求解． 【詳解】(1)將y＝0代入y＝x﹣4，得x﹣4＝0，∴x＝4，∴B（4，0）， ∵拋物線經(jīng)過點B（4，0）和點C（0，4）， ∴，∴拋物線的解析式為y＝﹣； (2)設點D的坐標為（m，m﹣4）， 則點M的坐標為（m，﹣），∴DM＝（﹣）﹣（m﹣4）＝﹣， ∵△ABO平移得到△DEF，∴DF＝EF＝4， ∵tan∠EMF＝，∴MF＝3， 如圖3， 當M位于EF上方時，MD＝DF+MF＝7，∴﹣＝7， ∴解得：m1＝，m2＝﹣（不合題意，舍去）， 如圖4，當M位于EF下方時，MD＝DF﹣MF＝1， 第19頁/共34頁 ∴﹣＝1，解得：m＝不合題意，舍去）或， ∵t＝＝m，∴t＝或， (3)連接OF，過點N作NH∥MF交OM于Q，交OB于H， 將x＝0代入y＝x﹣4，解得：y＝﹣4，∴A（0，﹣4）， ∵B（4，0），∴OA＝OB＝4， ∵∠AOB＝90°，∴∠OAB＝45°， 由平移知OA∥FD，OA＝FD，∴四邊形OADF是平行四邊形，∴OF＝AD＝ t，∠OFD＝∠OAD＝45°， ∵∠OGF＝90°， FG＝OG＝t，∴MF＝MG﹣FG＝， ∵NH∥MF，∴∠PQN＝∠PMF，∠PNQ＝∠PFM， ∵PN＝PF，∴△PQN≌△PMF（SAS），∴NQ＝MF＝ ， 第20頁/共34頁 由題意得點N的橫坐標是點M的橫坐標的，∴N（，）， QH＝NH﹣NQ＝﹣＝， ∵QH∥MG，∴∠OQH＝∠OMG，∠OHQ＝∠OGM，∴△OQH∽△OMG， ∴＝ ，∴MG＝2QH，∴﹣＝2（）， 解得：t1＝，t2＝﹣（不符合題意，舍去）， ∴t＝． 【點睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法，解直角三角形等知識，解題的關鍵是學會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考壓軸題． 8．（2021·江蘇淮安·二模）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于點A和點B（1，0），與y軸交于點C（0，﹣3）． (1)求拋物線的函數(shù)表達式． (2)若點P為第三象限內(nèi)拋物線上一動點，作PD⊥x軸于點D，交AC于點E，過點E作AC的垂線與拋物線的對稱軸和y軸分別交于點F、G，設點P的橫坐標為m． ①求PE+EG的最大值； ②連接DF、DG，若∠FDG＝45°，求m的值． 【答案】(1)y＝x2+2x﹣3；(2)①；②-1或 【分析】（1）運用待定系數(shù)法將B（1，0），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c，解方程組求出b、c即可； （2）①利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，過點E作EK⊥y軸于點K，設P（m，m2+2m﹣3），則E（m，﹣m﹣3），從而得出EG，運用二次函數(shù)求最值方法即可； 第21頁/共34頁 ②作EK⊥y軸于K，F(xiàn)M⊥y軸于M，直線EG與x軸交于點N．先證明△DGF∽△EGD，可得出DG2＝FG?EG＝×（﹣m）＝﹣2m，再運用勾股定理建立方程求解即可． 【詳解】(1)∵拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過點B（1，0），C（0，﹣3），∴，解得：， ∴拋物線的函數(shù)表達式為：y＝x2+2x﹣3； (2)①當y＝0時，x2+2x﹣3＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1，∴A（﹣3，0）， 設直線AC的解析式為y＝kx+n，把A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入， 得：，解得：，∴直線AC的解析式為：y＝﹣x﹣3， ∵OA＝OC＝3，∴∠OAC＝∠OCA＝45°， 過點E作EK⊥y軸于點K， ∵EG⊥AC，∴∠KEG＝∠KGE＝45°，∴EG＝＝EK＝OD， 設P（m，m2+2m﹣3），則E（m，﹣m﹣3），∴PE＝﹣m﹣3﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣3m， ∴PE+EG＝PE+2OD＝﹣m2﹣3m﹣2m＝﹣m2﹣5m＝﹣（m+）2+， 由題意有﹣3＜m＜0，且﹣3＜﹣＜0，﹣1＜0， 當m＝﹣時，PE+EG取最大值，PE+EG的最大值為； ②作EK⊥y軸于K，F(xiàn)M⊥y軸于M，記直線EG與x軸交于點N， ∵EK⊥y軸，PD⊥x軸，∠KEG＝45°，∴∠DEG＝∠DNE＝45°，∴DE＝DN． ∵∠KGE＝∠ONG＝45°，∴OG＝ON， ∵y＝x2+2x﹣3的對稱軸為直線x＝﹣1，∴MF＝1， ∵∠KGF＝45°，∴GF＝＝MF＝， ∵∠FDG＝45°，∴∠FDN＝∠DEG． 又∵∠DGF＝∠EGD，∴△DGF∽△EGD，∴＝， ∴DG2＝FG?EG＝×（﹣m）＝﹣2m， 在Rt△ONG中，OG＝ON＝|OD﹣DN|＝|OD﹣DE|＝|﹣m﹣（m+3）|＝|﹣2m﹣3|， OD＝﹣m， 在Rt△ODG中，∵DG2＝OD2+OG2＝m2+（2m+3）2＝5m2+12m+9， 第22頁/共34頁 ∴5m2+12m+9＝﹣2m，解得m1＝﹣1，m2＝． 【點睛】本題考查二次函數(shù)解析式、線段和最短問題、相似三角形，能夠靈活使用方程思想解決問題是解題的關鍵，常用勾股定理、相似比列方程． 9．（2022·浙江·嘉興一中一模）如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于點A（﹣2，0）和點B（8，0），與y軸交于點C，頂點為D，連接AC，BC，BC與拋物線的對稱軸l交于點E． (1)求拋物線的表達式； 第23頁/共34頁 (2)點P是第一象限內(nèi)拋物線上的動點，連接PB，PC，當S△PBC＝S△ABC時，求點P的坐標； (3)點N是對稱軸l右側(cè)拋物線上的動點，在射線ED上是否存在點M，使得以點M，N，E為頂點的三角形與△OBC相似？若存在，求點M的坐標；若不存在，請說明理由． 【答案】(1)；(2)P1（1，10.5），P2（7，4.5）；(3)存在，（3，8）或或（3，11） 【分析】（1）直接將A（﹣2，0）和點B（8，0）代入y＝x2+bx+c（a≠0），解出b，c的值即可得出答案； （2）先求出點C的坐標及直線BC的解析式，再根據(jù)圖及題意得出三角形PBC的面積；過點P作PG⊥x軸，交x軸于點G，交BC于點F，設，根據(jù)三角形PBC的面積列關于t的方程，解出t的值，即可得出點P的坐標； （3）由題意得出三角形BOC為等腰直角三角形，然后分MN＝EM，MN＝NE，NE＝EM三種情況討論結(jié)合圖形得出邊之間的關系，即可得出答案． 【詳解】(1)解：∵拋物線y＝x2+bx+c過點A（﹣2，0）和點B（8，0）， ∴，∴拋物線解析式為：； (2)解：當x＝0時，y＝8，∴C（0，8），∴直線BC解析式為：y＝﹣x+8， ∵，∴ 14 過點P作PG⊥x軸，交x軸于點G，交BC于點F， 設，∴F（t，﹣t+8），∴，∴， 即 ，∴t1＝1，t2＝7， ∴P1（1，10.5），P2（7，4.5）； (3)解：存在，點M的坐標為：（3，8），或（3，11）． ∵C（0，8），B（8，0），∠COB＝90°， 第24頁/共34頁 ∴△OBC為等腰直角三角形， 拋物線的對稱軸為，∴點E的橫坐標為3， 又∵點E在直線BC上，∴點E的縱坐標為5，∴E（3，5）， 設， ①當MN＝EM，∠EMN＝90°，△NME∽△COB，則， 解得或（舍去）， ∴此時點M的坐標為（3，8）， ②當ME＝EN，當∠MEN＝90°時，則，解得：或（舍去）， ∴此時點M的坐標為； ③當MN＝EN，∠MNE＝90°時，此時△MNE與△COB相似， 此時的點M與點E關于①的結(jié)果（3，8）對稱， 設M（3，m），則m﹣8＝8﹣5，解得m＝11，∴M（3，11）；此時點M的坐標為（3，11）； 第25頁/共34頁 故在射線ED上存在點M，使得以點M，N，E為頂點的三角形與△OBC相似，點M的坐標為：（3，8）或或（3，11）． 【點睛】本題是一道綜合題，涉及二次函數(shù)的綜合、相似三角形的判定及性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、正方形的性質(zhì)等知識點，綜合性比較強，解答類似題的關鍵是添加合適的輔助線． 10．（2022·重慶·模擬預測）如圖1，二次函數(shù)與x軸交于點A（﹣2，0）、點B（點A在點B左側(cè)），與y軸交于點C（0，3），． (1)求二次函數(shù)解析式； (2)如圖2，點P是直線BC上方拋物線上一點，PD∥y軸交BC于D，PE∥BC交x軸于點E，求PD+BE的最大值及此時點P的坐標； (3)在（2）的條件下，當PD+BE取最大值時，連接PC，將繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)至；將原拋物線沿射線CA方向平移個單位長度得到新拋物線，點M在新拋物線的對稱軸上，點N為平面內(nèi)任意一點，當以點M，N，，D′為頂點的四邊形是矩形時，請直接寫出點N的坐標． 【答案】(1)；(2)當時，PD+BE的最大值為，點P的坐標為（3，） (3)當以點M，N，，D′為頂點的四邊形是矩形時，點N的坐標為（， ）或（，）或（，）或（，）． 【分析】（1）先求出點B的坐標為（6，0），然后利用待定系數(shù)法求解即可； 第26頁/共34頁 （2）過P作PF∥x軸交BC于點F，則四邊形PEBF為平行四邊形，從而得到PD+BE＝PD+PF，求出直線BC的解析式為，設點P的坐標為（m，），則點D的坐標為（m，），則，再求出點F的坐標為（，），得到，則，由此利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可； （3）分三種情況①以MN為對角線時，如圖①，有，，，②以為對角線時，如圖②，有，，，③以為對角線時，如圖③，有，，，由此討論求解即可． 【詳解】(1)解：∵點C的坐標為（0，3），∴OC＝3， ∵，∴OB＝6，∴點B的坐標為（6，0）， 由拋物線經(jīng)過點A（﹣2，0），B（6，0）設拋物線的解析式為， 將點C（0，3）代入解析式為，∴， ∴拋物線的解析式為； (2)解：過P作PF∥x軸交BC于點F， ∵PE∥BC，∴四邊形PEBF為平行四邊形，∴PF＝BE，∴PD+BE＝PD+PF， 設直線BC的解析式為，則，解得：， ∴直線BC的解析式為，設點P的坐標為（m，），則點D的坐標為（m，）， ∴， ∵PF∥x軸，∴點F和點P的縱坐標相等，即， ∴，∴點F的坐標為（，）， ∴， ∴， 第27頁/共34頁 ∴當m＝3時，的最大值為， 此時，點P的坐標為（3，）； （3）由（2）中得，點P的坐標為（3，），∴點D的坐標為（3，）， ∵△PCD繞著點O順時針旋轉(zhuǎn)得到，C（0，3）， ∴點C'的坐標為（3，0），點D'的坐標為（，﹣3）， ∵A（﹣2，0），C（0，3），∴ ∵拋物線沿射線CA方向平移，∴拋物線向左平移了1個單位長度，向下平移了個單位長度， ∴平移后拋物線的對稱軸為直線 設點M（1，y），N（m，n，C'（3，0），（，﹣3）， ①以MN為對角線時，如圖①， 有，，， ∴，解得：或， ∴點N的坐標為（，）或（，）； ②以MC'為對角線時，如圖②， 第28頁/共34頁 有，，， ∴，解得：，∴點N的坐標為（，）； ③以MD'為對角線時，如圖③， 有，，， ∴，解得：，∴點N的坐標為（，）； 綜上所述，當以點M，N，C′，D′為頂點的四邊形是矩形時，點N的坐標為（，）或（，）；或（，）或（，）． 【點睛】本題考查二次函數(shù)綜合和一次函數(shù)綜合、二次函數(shù)的解析式和一次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)及平移、矩形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)，解題的關鍵是熟知函數(shù)圖像上點的坐標特征及二次函數(shù)的相關知識，并會用含由未知數(shù)的式子表示函數(shù)圖像上點的坐標． 11．（2022·重慶·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線的圖像開口向上，對稱軸為直線，與x軸交于A、B兩點，其中B點的坐標為（，0），與y軸交于點C，且OB＝OC，連接AC． 第29頁/共34頁 (1)求該拋物線的解析式； (2)如圖1，P為直線AC下方拋物線上一點，過點P作PE⊥x軸交直線AC于點E，過點A作AF⊥AC交直線PE于點F，若，求點P的坐標； (3)如圖2，點D是拋物線y的頂點，將拋物線y沿著射線AC平移得到，為拋物線的頂點，過作⊥x軸于點M．在平移過程中，是否存在以D、、M為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，直接寫出的坐標；若不存在，請說明理由． 【答案】(1)；(2)P（﹣，﹣） (3)存在，（2，﹣）或（，）或（，） 【分析】（1）利用對稱軸為直線，可求得A（，0），再根據(jù)OB＝OC，可得C（0， ），再運用待定系數(shù)法即可求得答案； （2）如圖1，設PE交x軸于點H，運用待定系數(shù)法可得：直線AC的解析式為，設P（t，），則E（t，），H（t，0），運用勾股定理可得，利用∽，可求得，再利用，建立方程求解即可； （3）利用待定系數(shù)法求得直線DD′的解析式，設（m，），則M（m，0），可得出：，，，根據(jù)以D、D'、M為頂點的三角形是等腰三角形，分三種情況：或或，分別建立方程求解即可． 【詳解】(1)解：∵對稱軸為直線，與x軸交于A、B（，0）兩點， ∴A（，0），OB＝， ∵OB＝OC，∴C（0，）， 第30頁/共34頁 設拋物線為，將C（0，）代入， 得：，解得：， ∴， ∴該拋物線的解析式為； (2)解：如圖3，設PE交x軸于點H， 設直線AC的解析式為， ∵A（，0），C（0，），∴ ，解得： ， ∴直線AC的解析式為， 設P（t，），則E（t，），H（t，0）， ∴，EH＝， ∵，∴ ， ∵AF⊥AC，∴， ∵，∴∽，∴ ，即，∴， ∵，∴，∴ ， 解得：，（舍去），又， ∴P（，）； 第31頁/共34頁 (3)解：存在以D、、M為頂點的三角形是等腰三角形． 如圖2，∵點D是拋物線y的頂點，將拋物線y沿著射線AC平移得到，D'為拋物線的頂點， ∴， 設直線的解析式為，將D（，）代入，得：， 解得：，∴直線的解析式為， 設（m，），則M（m，0），∴， ，， ∵以D、、M為頂點的三角形是等腰三角形，∴或或， 當時，，解得：，（舍去）， ∴（，）； 當時，，解得：，（舍去）， ∴（，）； 當時，， 解得：，（舍去）， ∴（，）； 第32頁/共34頁 綜上，的坐標為（，）或（，）或（，）． 【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，二次函數(shù)圖像和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，拋物線的平移變換，等腰三角形性質(zhì)，勾股定理等，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)及等腰三角形性質(zhì)，靈活運用分類討論思想是解題關鍵． 第33頁/共34頁 第34頁/共34頁