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1、萬(wàn)有引力與航天 專練七 萬(wàn)有引力與航天 一、考點(diǎn)內(nèi)容 （1）以萬(wàn)有引力定律為基礎(chǔ)的行星、衛(wèi)星勻速圓周運(yùn)動(dòng)模型及其應(yīng)用；(2)雙星模型、估算天體的質(zhì)量和密度等；(3)以開普勒三定律為基礎(chǔ)的橢圓運(yùn)行軌道及衛(wèi)星的發(fā)射與變軌、能量等相關(guān)內(nèi)容；(4)萬(wàn)有引力定律與地理、數(shù)學(xué)、航天等知識(shí)的綜合應(yīng)用。 二、考點(diǎn)突破 1．2019年5月17日，我國(guó)成功發(fā)射第45顆北斗導(dǎo)航衛(wèi)星，該衛(wèi)星屬于地球靜止軌道衛(wèi)星(同步衛(wèi)星)。該衛(wèi)星(　　) A．入軌后可以位于北京正上方 B．入軌后的速度大于第一宇宙速度 C．發(fā)射速度大于第二宇宙速度 D．若發(fā)射到近地圓軌道所需能量較少 2．20

2、19年1月，我國(guó)嫦娥四號(hào)探測(cè)器成功在月球背面軟著陸，在探測(cè)器“奔向”月球的過程中，用h表示探測(cè)器與地球表面的距離，F(xiàn)表示它所受的地球引力，能夠描述F隨h變化關(guān)系的圖象是(　　) 3．2018年2月，我國(guó)500 m口徑射電望遠(yuǎn)鏡(天眼)發(fā)現(xiàn)毫秒脈沖星“J0318＋0253”，其自轉(zhuǎn)周期T＝5.19 ms，假設(shè)星體為質(zhì)量均勻分布的球體，已知萬(wàn)有引力常量為6.67×10－11 N·m2/kg2。以周期T穩(wěn)定自轉(zhuǎn)的星體的密度最小值約為(　　) A．5×109 kg/m3 B．5×1012 kg/m3 C．5×1015 kg/m3 D．5×1018 kg/m3 4．金星、地球和火星繞太陽(yáng)的公

3、轉(zhuǎn)均可視為勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它們的向心加速度大小分別為a金、a地、a火，它們沿軌道運(yùn)行的速率分別為v金、v地、v火。已知它們的軌道半徑R金＜R地＜R火，由此可以判定(　　) A．a(chǎn)金＞a地＞a火　　　　 B．a(chǎn)火＞a地＞a金 C．v地＞v火＞v金 D．v火＞v地＞v金 5．如圖所示，設(shè)行星繞太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)是勻速圓周運(yùn)動(dòng)，金星自身的半徑是火星的n倍，質(zhì)量為火星的k倍。不考慮行星自轉(zhuǎn)的影響，則(　　) A．金星表面的重力加速度是火星的倍 B．金星的“第一宇宙速度”是火星的倍 C．金星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的加速度比火星小 D．金星繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的周期比火星大 6．如圖所示，將一個(gè)半徑為R、質(zhì)量為M的均

4、勻大球，沿直徑挖去兩個(gè)半徑分別為大球一半的小球，并把其中一個(gè)放在球外與大球靠在一起，挖去小球的球心、球外小球球心、大球球心在一條直線上，則大球中剩余部分與球外小球的萬(wàn)有引力大小約為(已知引力常量為G)(　　) A．0.01 B．0.02 C．0.05 D．0.04 7．兩顆互不影響的行星P1、P2，各有一顆近地衛(wèi)星S1、S2繞其做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。圖中縱軸表示行星周圍空間某位置的引力加速度a，橫軸表示某位置到行星中心距離r平方的倒數(shù)，a－關(guān)系如圖所示，衛(wèi)星S1、S2的引力加速度大小均為a0。則(　　) A．S1的質(zhì)量比

5、S2的大 B．P1的質(zhì)量比P2的大 C．P1的第一宇宙速度比P2的小 D．P1的平均密度比P2的大 8．引力波的發(fā)現(xiàn)證實(shí)了愛因斯坦100年前所做的預(yù)測(cè)。1974年發(fā)現(xiàn)了脈沖雙星間的距離在減小就已間接地證明了引力波的存在。如果將該雙星系統(tǒng)簡(jiǎn)化為理想的圓周運(yùn)動(dòng)模型，如圖所示，兩星球在相互的萬(wàn)有引力作用下，繞O點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。由于雙星間的距離減小，則(　　) A．兩星的運(yùn)動(dòng)周期均逐漸減小 B．兩星的運(yùn)動(dòng)角速度均逐漸減小 C．兩星的向心加速度均逐漸減小 D．兩星的運(yùn)動(dòng)線速度均逐漸減小 9．(多選)宇航員在某星球表面以初速度2.0 m/s水平拋出一物體，并記錄下物體的運(yùn)動(dòng)軌跡，如圖所

6、示，O為拋出點(diǎn)，若該星球半徑為4000 km，引力常量G＝6.67×10－11 N·m2·kg－2，則下列說法正確的是(　　) A．該星球表面的重力加速度為4.0 m/s2 B．該星球的質(zhì)量為2.4×1023 kg C．該星球的第一宇宙速度為4.0 km/s D．若發(fā)射一顆該星球的同步衛(wèi)星，則同步衛(wèi)星的繞行速度一定大于4.0 km/s 10．(多選) 2017年，人類第一次直接探測(cè)到來自雙中子星合并的引力波。根據(jù)科學(xué)家們復(fù)原的過程，在兩顆中子星合并前約100 s時(shí)，它們相距約400 km，繞二者連線上的某點(diǎn)每秒轉(zhuǎn)動(dòng)12圈。將兩顆中子星都看作是質(zhì)量均勻分布的球體，由這些數(shù)據(jù)、萬(wàn)有引

7、力常量并利用牛頓力學(xué)知識(shí)，可以估算出這一時(shí)刻兩顆中子星(　　) A．質(zhì)量之積　　　　　 B．質(zhì)量之和 C．速率之和 D．各自的自轉(zhuǎn)角速 11．2016年10月17日發(fā)射的“神舟十一號(hào)”飛船于10月19日與“天宮二號(hào)”順利實(shí)現(xiàn)了對(duì)接。在對(duì)接過程中，“神舟十一號(hào)”與“天宮二號(hào)”的相對(duì)速度非常小，可以認(rèn)為具有相同速率。它們的運(yùn)動(dòng)可以看作是繞地球的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)“神舟十一號(hào)”的質(zhì)量為m，對(duì)接處距離地球表面高度為h，地球的半徑為r，地球表面處的重力加速度為g，不考慮地球自轉(zhuǎn)的影響，“神舟十一號(hào)”在對(duì)接時(shí)，下列結(jié)果正確的是(　　) A．

8、對(duì)地球的引力大小為mg B．向心加速度為g C．周期為 D．動(dòng)能為 12．我國(guó)首顆量子科學(xué)實(shí)驗(yàn)衛(wèi)星于2016年8月16日1點(diǎn)40分成功發(fā)射。量子衛(wèi)星成功運(yùn)行后，我國(guó)將在世界上首次實(shí)現(xiàn)衛(wèi)星和地面之間的量子通信，構(gòu)建天地一體化的量子保密通信與科學(xué)實(shí)驗(yàn)體系。假設(shè)量子衛(wèi)星軌道在赤道平面，如圖所示。已知量子衛(wèi)星的軌道半徑是地球半徑的m倍，同步衛(wèi)星的軌道半徑是地球半徑的n倍，圖中P點(diǎn)是地球赤道上一點(diǎn)，由此可知(　　) A．同步衛(wèi)星與量子衛(wèi)星的運(yùn)行周期之比為 B．同步衛(wèi)星與P點(diǎn)的速度之比為 C．量子衛(wèi)星與同步衛(wèi)星的速度之比為 D．量子衛(wèi)星與P點(diǎn)的速度之比為 13．開普勒第三定律

9、指出：所有行星的軌道的半長(zhǎng)軸的三次方跟它的公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值都相等。該定律對(duì)一切具有中心天體的引力系統(tǒng)都成立。如圖，嫦娥三號(hào)探月衛(wèi)星在半徑為r的圓形軌道Ⅰ上繞月球運(yùn)行，周期為T。月球的半徑為R，引力常量為G。某時(shí)刻嫦娥三號(hào)衛(wèi)星在A點(diǎn)變軌進(jìn)入橢圓軌道Ⅱ，在月球表面的B點(diǎn)著陸。A、O、B三點(diǎn)在一條直線上。求： (1)月球的密度； (2)在軌道Ⅱ上運(yùn)行的時(shí)間。 答案 二、考點(diǎn)突破 1．【答案】D 【解析】同步衛(wèi)星只能位于赤道正上方，A項(xiàng)錯(cuò)誤；由＝知，衛(wèi)星的軌道半徑越大，衛(wèi)星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的線速度越小，

10、因此入軌后的速度小于第一宇宙速度(近地衛(wèi)星的速度)，B項(xiàng)錯(cuò)誤；同步衛(wèi)星的發(fā)射速度大于第一宇宙速度，小于第二宇宙速度，C項(xiàng)錯(cuò)誤；若發(fā)射到近地圓軌道，所需發(fā)射速度較小，所需能量較小，D項(xiàng)正確。 2．【答案】D 【解析】在嫦娥四號(hào)探測(cè)器“奔向”月球的過程中，根據(jù)萬(wàn)有引力定律，可知隨著h的增大，探測(cè)器所受的地球引力逐漸減小但并不是均勻減小的，故能夠描述F隨h變化關(guān)系的圖象是D。 3．【答案】C 【解析】毫秒脈沖星穩(wěn)定自轉(zhuǎn)時(shí)由萬(wàn)有引力提供其表面物體做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，根據(jù)G＝m，M＝ρ·πR3，得ρ＝，代入數(shù)據(jù)解得ρ≈5×1015 kg/m3，C正確。 4．【答案】A 【解析】金星、地球和火

11、星繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)時(shí)萬(wàn)有引力提供向心力，則有G＝ma，解得a＝G，結(jié)合題中R金＜R地＜R火，可得a金＞a地＞a火，選項(xiàng)A正確，B錯(cuò)誤；同理，有G＝m，解得v＝，再結(jié)合題中R金＜R地＜R火，可得v金＞v地＞v火，選項(xiàng)C、D錯(cuò)誤。 5．【答案】B 【解析】由G＝mg得g＝，可知＝，選項(xiàng)A錯(cuò)；由G＝m得v＝，可知＝，選項(xiàng)B對(duì)；由G＝ma得a＝，可知距離越遠(yuǎn)，加速度越小，而＝c，可知越遠(yuǎn)周期越大，所以選項(xiàng)C、D均錯(cuò)。 6．【答案】D 【解析】由題意知，所挖出小球的半徑為，質(zhì)量為，則未挖出小球前大球?qū)η蛲庑∏虻娜f(wàn)有引力大小為F＝G＝，將所挖出的其中一個(gè)小球填在原位置，則填入左側(cè)原位置小球?qū)η蛲庑∏虻娜f(wàn)

12、有引力為F1＝G＝，填入右側(cè)原位置小球?qū)η蛲庑∏虻娜f(wàn)有引力為F2＝G＝，大球中剩余部分對(duì)球外小球的萬(wàn)有引力大小為F3＝F－F1－F2≈0.04，D選項(xiàng)正確。 7．【答案】B 【解析】萬(wàn)有引力充當(dāng)向心力，故有G＝ma，解得a＝GM，故圖像的斜率k＝GM，因?yàn)镚是恒量，M表示行星的質(zhì)量，所以斜率越大，行星的質(zhì)量越大，故P1的質(zhì)量比P2的大，由于計(jì)算過程中，衛(wèi)星的質(zhì)量可以約去，所以無法判斷衛(wèi)星質(zhì)量關(guān)系，A錯(cuò)誤，B正確；因?yàn)閮蓚€(gè)衛(wèi)星是近地衛(wèi)星，所以其運(yùn)行軌道半徑可認(rèn)為等于行星半徑，根據(jù)第一宇宙速度公式v＝可得v＝，從題圖中可以看出，當(dāng)兩者加速度都為a0時(shí)，P2半徑要比P1小，故P1的第一宇宙速度比

13、P2的大，C錯(cuò)誤；星球的密度ρ＝＝＝＝，故星球的半徑越大，密度越小，所以P1的平均密度比P2的小，D錯(cuò)誤。 8．【答案】A 【解析】雙星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)具有相同的角速度，靠相互間的萬(wàn)有引力提供向心力。根據(jù)G＝m1r1ω2＝m2r2ω2，知m1r1＝m2r2，知軌道半徑比等于質(zhì)量之反比，雙星間的距離減小，則雙星的軌道半徑都變小，根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，知角速度變大，周期變小，故A正確，B錯(cuò)誤；根據(jù)G＝m1a1＝m2a2知，L變小，則兩星的向心加速度均增大，故C錯(cuò)誤；根據(jù)G＝m1，解得v1＝，由于L平方的減小比r1的減小量大，則線速度增大，故D錯(cuò)誤。 9．【答案】AC 【解析】根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的

14、規(guī)律：h＝gt2，x＝v0t，解得g＝4.0 m/s2，A正確；在星球表面，重力近似等于萬(wàn)有引力，得M＝≈9.6×1023 kg，B錯(cuò)誤；由＝mg得第一宇宙速度為v＝＝4.0 km/s，C正確；第一宇宙速度為最大的環(huán)繞速度，D錯(cuò)誤。 10．【答案】BC 【解析】由題意可知，合并前兩中子星繞連線上某點(diǎn)每秒轉(zhuǎn)動(dòng)12圈，則兩中子星的周期相等，且均為T＝ s，兩中子星的角速度均為ω＝，兩中子星構(gòu)成了雙星模型，假設(shè)兩中子星的質(zhì)量分別為m1，m2，軌道半徑分別為r1、r2，速率分別為v1、v2，則有：G＝m1ω2r1、＝m2ω2r2，又r1＋r2＝L＝400 km，解得m1＋m2＝，A錯(cuò)誤，B正確；又

15、由v1＝ωr1、v2＝ωr2，則v1＋v2＝ω(r1＋r2)＝ωL，C正確；由題中的條件不能求解兩中子星自轉(zhuǎn)的角速度，D錯(cuò)誤。 11．【答案】C 【解析】“神舟十一號(hào)”在對(duì)接處的重力加速度小于地球表面的重力加速度，對(duì)地球的引力小于mg，故A錯(cuò)誤；在地球表面重力等于萬(wàn)有引力，有G＝mg，解得：GM＝gr2， 對(duì)接時(shí)，萬(wàn)有引力提供向心力，有G＝ma，聯(lián)立得：a＝g，故B錯(cuò)誤；根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，有G＝m(r＋h)，聯(lián)立得T＝，故C正確；根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力，G＝m，動(dòng)能Ek＝mv2＝＝，故D錯(cuò)誤。 12．【答案】D 【解析】由開普勒第三定律得＝，又由題意知r量＝mR，r同＝nR，所以＝＝＝，故A錯(cuò)誤；P為地球赤道上一點(diǎn)，P點(diǎn)角速度等于同步衛(wèi)星的角速度，根據(jù)v＝ωr，所以有＝＝＝，故B錯(cuò)誤；根據(jù)G＝m，得v＝，所以＝＝＝，故C錯(cuò)誤；綜合B、C，有v同＝nvP，＝，得＝，故D正確。 13．【解析】(1)由萬(wàn)有引力充當(dāng)向心力：＝m2r 解得M＝ 月球的密度：ρ＝，解得ρ＝。 (2)橢圓軌道的半長(zhǎng)軸：a＝ 設(shè)橢圓軌道上運(yùn)行周期為T1，由開普勒第三定律有：＝ 在軌道Ⅱ上運(yùn)行的時(shí)間為t＝ 解得t＝。 7