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1、
第3講 運動圖象 追及相遇問題
板塊一 主干梳理·夯實基礎
【知識點1】 勻變速直線運動的圖象?、?
1.直線運動的x-t圖象
(1)意義:反映了直線運動的物體位移隨時間變化的規(guī)律。
(2)圖線上某點切線的斜率的意義
①斜率大?。罕硎疚矬w速度的大小。
②斜率的正負:表示物體速度的方向。
(3)兩種特殊的x-t圖象
①若x-t圖象是一條平行于時間軸的直線,說明物體處于靜止狀態(tài)。(如圖中甲所示)
②若x-t圖象是一條傾斜的直線,說明物體在做勻速直線運動。(如圖中乙所示)
2.直線運動的v-t圖象
(1)意義:反映了直線運動的物體速度隨時間變化的規(guī)律。
(2)圖線上某
2、點切線的斜率的意義
①斜率的大小:表示物體加速度的大小。
②斜率的正負:表示物體加速度的方向。
(3)兩種特殊的v-t圖象
①勻速直線運動的v-t圖象是與橫軸平行的直線。(如圖中甲所示)
②勻變速直線運動的v-t圖象是一條傾斜的直線。(如圖中乙所示)
(4)圖線與坐標軸圍成的“面積”的意義
①圖線與坐標軸圍成的“面積”表示相應時間內(nèi)的位移。
②若此面積在時間軸的上方,表示這段時間內(nèi)的位移方向為正方向;若此面積在時間軸的下方,表示這段時間內(nèi)的位移方向為負方向。
3.直線運動的a-t圖象
(1)意義:反映了直線運動的物體,加速度隨時間變化的規(guī)律。
(2)勻變速直線運動
3、的a-t圖象,只能是與t軸平行的直線。
(3)圖線與坐標軸圍成“面積”的意義:速度的變化Δv。
【知識點2】 追及和相遇問題
1.追及問題的兩類情況
(1)若后者能追上前者,追上時,兩者處于同一位置,且后者速度一定不小于前者速度。
(2)若后者追不上前者,則當后者速度與前者速度相等時,兩者相距最近。
①同向運動相隔一定的初始距離s0的問題:速度大者減速(如勻減速直線運動)追速度小者(如勻速運動)。
a.若兩者速度相等時,追者位移仍小于被追者位移與s0之和,則永遠追不上,此時兩者間有最小距離。
b.若兩者位移相等時,速度也相等,則恰能追上,也是兩者避免碰撞的臨界條件。
c.
4、若兩者位移相等時,追者速度仍大于被追者的速度,則被追者還有一次追上追者的機會,其間速度相等時兩者間距有一個最大值。
②從同一地點出發(fā)開始同向運動的問題:速度小者加速(如初速度為零的勻加速直線運動)追速度大者(如勻速運動)。
a.當兩者速度相等時兩者間有最大距離。
b.若兩者位移相等時,則追上。
2.相遇問題
(1)同向運動的兩物體追上即相遇。兩物體位移大小之差等于開始時兩物體間距。
(2)相向運動的物體,當各自發(fā)生的位移大小之和等于開始時兩物體的距離時即相遇。
板塊二 考點細研·悟法培優(yōu)
考點1運動圖象的應用[深化理解]
1.應用運動圖象的三點注意
(1)無論是x-t圖
5、象還是v-t圖象都只能描述直線運動。
(2)x-t圖象和v-t圖象都不表示物體運動的軌跡。
(3)x-t圖象和v-t圖象的形狀由x與t、v與t的函數(shù)關系決定。
2.應用運動圖象解題“六看”
x-t圖象
v-t圖象
軸
橫軸為時間t,縱軸為位移x
橫軸為時間t,縱軸為速度v
線
傾斜直線表示勻速直線運動
傾斜直線表示勻變速直線運動
斜率
表示速度
表示加速度
續(xù)表
x-t圖象
v-t圖象
面積
無實際意義
圖線和時間軸圍成的面積表示位移
縱截距
表示初位置
表示初速度
特殊點
拐點表示從一種運動變?yōu)榱硪环N運動,交點表示相遇
拐點表示從一
6、種運動變?yōu)榱硪环N運動,交點表示速度相等
例1 (多選)如圖所示為一質(zhì)點做直線運動的速度—時間圖象,下列說法中正確的是( )
A.整個過程中,CD段和DE段的加速度數(shù)值最大
B.整個過程中,BC段的加速度最大
C.整個過程中,C點所表示的狀態(tài),離出發(fā)點最遠
D.BC段所表示的運動通過的路程是34 m
(1)0~22 s內(nèi),質(zhì)點的運動方向是否發(fā)生變化?什么時刻離出發(fā)點最遠?
提示:當圖象過時間軸時質(zhì)點運動方向發(fā)生改變,t=20秒時速度圖象過時間軸,即方向發(fā)生了改變。t=20秒時離出發(fā)點最遠。
(2)v-t圖象中“面積”的含義是什么?
提示:圖線與時間軸所圍的“面積”表
7、示位移的大小。
嘗試解答 選AD。
圖象的斜率表示加速度,由圖知CE段斜率最大,加速度最大,A正確,B錯誤。t=20 s時速度改變方向,所以D點所表示的狀態(tài)離出發(fā)點最遠,C錯誤。BC段和時間軸圍成的面積為34 m,D正確。
總結升華
用速度—時間圖象巧得五個運動量
(1)運動速度:從速度軸上直接讀出,負值表示反向運動。
(2)運動時間:從時間軸上直接讀出時刻。
(3)運動加速度:從圖線的斜率得到加速度,斜率的大小表示加速度的大小,斜率的正負反映了加速度的方向。例題中BC段加速度與CD段加速度方向相反。
(4)運動的位移:從圖線與時間軸圍成的面積得到位移,圖線與時間軸圍成的面積表
8、示位移的大小,橫軸以上為“+”值,橫軸以下為“-”值,整個過程的位移是它們的代數(shù)和,如CD段的位移為正值,DE段為負值;那CE段的總位移為0。
(5)運動的路程:因為路程是標量。路程是圖線與時間軸圍成的面積的總和。
汽車在平直公路上做剎車試驗,若從t=0時起汽車在運動過程中的位移與速度的平方之間的關系如圖所示,下列說法正確的是( )
A.t=0時汽車的速度為10 m/s
B.剎車過程持續(xù)的時間為5 s
C.剎車過程經(jīng)過3 s時汽車的位移為7.5 m
D.剎車過程汽車的加速度大小為10 m/s2
答案 A
解析 由圖象可得x=-v2+10,根據(jù)v2-v=2ax可得x=v2
9、-,解得a=-5 m/s2,v0=10 m/s,A正確,D錯誤;汽車剎車過程的時間為t==2 s,B錯誤;汽車經(jīng)過2 s停止,因而經(jīng)過3 s時汽車的位移為x=10 m,C錯誤。
考點2追及和相遇問題[解題技巧]
1.追及和相遇問題中的一個條件和兩個關系
(1)一個條件:即兩者速度相等,它往往是物體間能否追上、追不上或兩者距離最大、最小的臨界條件,也是分析判斷的切入點。
(2)兩個關系:即時間關系和位移關系,這兩個關系可通過畫過程示意圖得到。
2.追及相遇問題兩種典型情況
假設物體A追物體B,開始時,兩個物體相距x0,有兩種典型情況:
(1)初速度小的追初速度大的運動的物體。當
10、vA=vB時,兩者相距最遠。
(2)初速度大的追初速度小的運動的物體。當vA=vB時,
①若已超越則相遇兩次。
②若恰好追上,則相遇一次。
③若沒追上,則無法相遇,兩者之間有最小距離。
例2 一輛汽車在十字路口等候綠燈,當綠燈亮時汽車以a=3 m/s2的加速度開始行駛,恰在這一時刻一輛自行車以v自=6 m/s的速度勻速駛來,從旁邊超過汽車。試求:
(1)汽車從路口開動后,在追上自行車之前經(jīng)過多長時間兩車相距最遠?此時距離是多少?
(2)什么時候汽車能追上自行車?此時汽車的速度是多少?
(1)追上前兩車相距最遠的條件是什么?
提示:兩車速度相等。
(2)追上時兩車的位移
11、關系。
提示:位移之差等于初始距離。
嘗試解答 (1)2_s__6_m__(2)4_s__12_m/s。
(1)解法一:(物理分析法)
汽車與自行車的速度相等時相距最遠,設此時經(jīng)過的時間為t1,兩車間的距離為Δx,則有v自=at1
所以t1==2 s
Δx=v自t1-at=6 m。
解法二:(相對運動法)
以自行車為參考系,則從開始到相距最遠的這段時間內(nèi),汽車相對這個參考系的各個物理量為
初速度v0=v汽初-v自=0-6 m/s=-6 m/s
末速度vt=v汽車-v自=0
加速度a′=a-a自=3 m/s2-0=3 m/s2
所以兩車相距最遠時經(jīng)歷的時間為t1==2
12、 s
最大距離Δx==-6 m
負號表示汽車在后。
注意:利用相對運動的方法解題,要抓住三個關鍵:①選取哪個物體為研究對象;②選取哪個物體為參考系;③規(guī)定哪個方向為正方向。
解法三:(極值法)
設汽車在追上自行車之前經(jīng)過時間t1兩車相距最遠,則Δx=v自t1-at
代入已知數(shù)據(jù)得Δx=6t1-t
由二次函數(shù)求極值的條件知:t1=2 s時,Δx有最大值6 m。
所以經(jīng)過t1=2 s后,兩車相距最遠,為Δx=6 m。
解法四:(圖象法)
自行車和汽車的v-t圖象如圖所示。由圖可以看出,在相遇前,t1時刻兩車速度相等,兩車相距最遠,此時的距離為陰影三角形的面積,所以有
t1
13、== s=2 s
Δx== m=6 m。
(2)解法一:當兩車位移相等時,汽車追上自行車,設此時經(jīng)過的時間為t2,則有v自t2=at
解得t2== s=4 s
此時汽車的速度v1′=at2=12 m/s。
解法二:由前面畫出的v-t圖象可以看出,在t1時刻之后,當由圖線v自、v汽和t=t2構成的三角形的面積與陰影部分的三角形面積相等時,汽車與自行車的位移相等,即汽車與自行車相遇,所以t2=2t1=4 s,v1′=at2=3×4 m/s=12 m/s。
總結升華
追及相遇問題的求解方法
(1)解題思路
(2)解題技巧
①緊抓“一圖三式”,即:過程示意圖,時間關系式、速度關
14、系式和位移關系式。
②審題應抓住題目中的關鍵字眼,充分挖掘題目中的隱含條件,如“剛好”“恰好”“最多”“至少”等,往往對應一個臨界狀態(tài),滿足相應的臨界條件。
③若被追趕的物體做勻減速運動,一定要注意追上前該物體是否已經(jīng)停止運動,另外還要注意最后對解的討論分析。
④緊緊抓住速度相等這個關鍵點。
⑤作此類選擇題時,圖象法是最好的選擇,如例題中的解法四。
甲、乙兩車相距40.5 m,同時沿平直公路做直線運動,甲車在前,以初速度v1=16 m/s,加速度a1=2 m/s2做勻減速直線運動,乙車在后,以初速度v2=4.0 m/s,加速度a2=1.0 m/s2與甲同向做勻加速直線運動。求:
15、(1)甲、乙兩車相遇前相距的最大距離;
(2)乙車追上甲車經(jīng)歷的時間。
答案 (1)64.5 m (2)11.0 s
解析 (1)解法一:甲、乙兩車速度相等時距離最大,設時間為t1時,兩車的速度相等,則:v1-a1t1=v2+a2t1
即16-2t1=4+t1,解得:t1=4.0 s
對甲車:x1=v1t1-a1t=48 m
對乙車:x2=v2t1+a2t=24 m
故甲、乙兩車相遇前相距的最大距離:
xmax=x0+x1-x2=64.5 m
解法二:甲、乙兩車之間的距離為
x=v1t1-a1t+x0-
即x=-t+12t1+40.5
當t1=- s=4 s時,甲、乙兩
16、車之間的距離有最大值,最大值為
xmax= m=64.5 m。
(2)甲車運動至停止的時間t2==8 s
在甲車運動時間內(nèi),甲車位移:x1′=t2=64 m
乙車位移:x2′=v2t2+a2t=64 m
故甲車停止時,甲、乙兩車仍相距x=40.5 m,甲車停止時,乙車的速度:v2′=v2+a2t2=12 m/s,
故x=v2′t3+a2t
即40.5=12t3+t,解得:t3=3 s
乙車追上甲車的時間:t=t2+t3=11.0 s。
[2015·福建高考](15分)一摩托車由靜止開始在平直的公路上行駛,其運動過程的v-t圖象如圖所示。求:
(1)摩托車在0~20 s這段時間的加速度大小a;
(2)摩托車在0~75 s這段時間的平均速度大小。
試卷抽樣
評析指導
失分點:理解錯誤,求解方法錯,導致扣10分。
失分原因:對平均速度的概念理解錯誤,誤認為平均速度是速度的平均。
補償建議:深入理解平均速度,是位移和所用時間的比,在v-t圖象中,位移的大小等于圖象和t軸所圍面積的大小。
規(guī)范解答:75 s內(nèi)摩托車的位移等于v-t圖象中圖線和t軸所圍的面積:s75=[(45-20)+75]×30 m=1500 m
75 s內(nèi)摩托車的平均速度v== m/s=20 m/s
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