《2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一單元 基本初等函數(shù)（Ⅱ）1.2.2 單位圓與三角函數(shù)線(xiàn)學(xué)案 新人教B版必修4》由會(huì)員分享，可在線(xiàn)閱讀，更多相關(guān)《2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一單元 基本初等函數(shù)（Ⅱ）1.2.2 單位圓與三角函數(shù)線(xiàn)學(xué)案 新人教B版必修4（10頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 1.2.2　單位圓與三角函數(shù)線(xiàn) 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.了解三角函數(shù)線(xiàn)的意義，能用三角函數(shù)線(xiàn)表示一個(gè)角的正弦、余弦和正切.2.能利用三角函數(shù)線(xiàn)解決一些簡(jiǎn)單的三角函數(shù)問(wèn)題. 知識(shí)點(diǎn)一　單位圓 思考1　什么叫單位圓？ 思考2　點(diǎn)的射影是如何定義的？ 梳理　(1)單位圓 把________的圓叫做單位圓. (2)單位圓中角α的坐標(biāo) 角α的余弦和正弦分別等于角α終邊與單位圓交點(diǎn)的________和________. 知識(shí)點(diǎn)二　三角函數(shù)線(xiàn) 思考1　三角函數(shù)線(xiàn)的長(zhǎng)度等于三角函數(shù)的值嗎？ 思考2　三角函數(shù)線(xiàn)的方向與三角函數(shù)值的正負(fù)有

2、什么聯(lián)系？ 梳理　三角函數(shù)線(xiàn) 類(lèi)型一　三角函數(shù)線(xiàn) 例1　作出－的正弦線(xiàn)、余弦線(xiàn)和正切線(xiàn). 反思與感悟　(1)作正弦線(xiàn)、余弦線(xiàn)時(shí)，首先找到角的終邊與單位圓的交點(diǎn)，然后過(guò)此交點(diǎn)作x軸的垂線(xiàn)，得到垂足，從而得到正弦線(xiàn)和余弦線(xiàn). (2)作正切線(xiàn)時(shí)，應(yīng)從點(diǎn)A(1,0)引單位圓的切線(xiàn)交角的終邊或終邊的反向延長(zhǎng)線(xiàn)于一點(diǎn)T，即可得到正切線(xiàn)AT. 跟蹤訓(xùn)練1　在單位圓中畫(huà)出滿(mǎn)足sin α＝的角α的終邊，并求角α的取值集合. 類(lèi)型二　利用三角函數(shù)線(xiàn)比較大小 例2　利用三角函數(shù)線(xiàn)比較sin和sin，cos和cos，tan和tan的大小.

3、 　 　 反思與感悟　利用三角函數(shù)線(xiàn)比較三角函數(shù)值的大小時(shí)，一般分三步：(1)角的位置要“對(duì)號(hào)入座”.(2)比較三角函數(shù)線(xiàn)的長(zhǎng)度.(3)確定有向線(xiàn)段的正負(fù). 跟蹤訓(xùn)練2　比較sin 1 155°與sin(－1 654°)的大小. 類(lèi)型三　利用三角函數(shù)線(xiàn)解不等式(組) 命題角度1　利用三角函數(shù)線(xiàn)解不等式(組) 例3　在單位圓中畫(huà)出適合下列條件的角α的終邊的范圍，并由此寫(xiě)出角α的集合. (1)sin α≥；(2)cos α≤－. 反思與感悟　用單位圓中的三角函數(shù)線(xiàn)求解簡(jiǎn)單的三角不等式，應(yīng)注意以下兩點(diǎn)： (1)先找到“正值”區(qū)間，即0～

4、2π內(nèi)滿(mǎn)足條件的角θ的范圍，然后再加上周期. (2)注意區(qū)間是開(kāi)區(qū)間還是閉區(qū)間. 跟蹤訓(xùn)練3　已知－≤cos θ<，利用單位圓中的三角函數(shù)線(xiàn)，確定角θ的取值范圍. 命題角度2　利用三角函數(shù)線(xiàn)求三角函數(shù)的定義域 例4　求下列函數(shù)的定義域. (1)y＝； (2)y＝lg(sin x－)＋. 　 　 　 反思與感悟　(1)求函數(shù)的定義域，就是求使解析式有意義的自變量的取值范圍，一般通過(guò)解不等式或不等式組求得，對(duì)于三角函數(shù)的定義域問(wèn)題，還要考慮三角函數(shù)自身定義域的限制. (2)要特別注意求一個(gè)固定集合與一個(gè)含有無(wú)限多段的集合的交集時(shí)，可以取特殊值把

5、不固定的集合寫(xiě)成若干個(gè)固定集合再求交集. 跟蹤訓(xùn)練4　求函數(shù)f(x)＝的定義域. 1.下列四個(gè)命題中： ①當(dāng)α一定時(shí) ，單位圓中的正弦線(xiàn)一定； ②在單位圓中，有相同正弦線(xiàn)的角相等； ③α和α＋π有相同的正切線(xiàn)； ④具有相同正切線(xiàn)的兩個(gè)角的終邊在同一條直線(xiàn)上. 則錯(cuò)誤命題的個(gè)數(shù)是(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 2.如圖在單位圓中，角α的正弦線(xiàn)、正切線(xiàn)完全正確的是(　　) A.正弦線(xiàn)為PM，正切線(xiàn)為A′T′ B.正弦線(xiàn)為MP，正切線(xiàn)為A′T′ C.正弦線(xiàn)為MP，正切線(xiàn)為AT D.正弦線(xiàn)為PM，正切線(xiàn)為AT 3.設(shè)a＝sin，b

6、＝cos，c＝tan，則(　　) A.a

7、角函數(shù)線(xiàn)將抽象的數(shù)用幾何圖形表示出來(lái)，使得問(wèn)題更形象直觀(guān)，為從幾何途徑解決問(wèn)題提供了方便. 2.三角函數(shù)線(xiàn)的畫(huà)法 定義中不僅定義了什么是正弦線(xiàn)、余弦線(xiàn)、正切線(xiàn)，同時(shí)也給出了角α的三角函數(shù)線(xiàn)的畫(huà)法，即先找到P，M，T點(diǎn)，再畫(huà)出MP，OM，AT. 注意三角函數(shù)線(xiàn)是有向線(xiàn)段，要分清始點(diǎn)和終點(diǎn)，字母的書(shū)寫(xiě)順序不能顛倒. 3.三角函數(shù)線(xiàn)是三角函數(shù)的幾何表示，它直觀(guān)地刻畫(huà)了三角函數(shù)的概念.與三角函數(shù)的定義結(jié)合起來(lái)，可以從數(shù)與形兩方面認(rèn)識(shí)三角函數(shù)的定義，并使得對(duì)三角函數(shù)的定義域、函數(shù)值符號(hào)的變化規(guī)律的理解更容易了. 答案精析 問(wèn)題導(dǎo)學(xué) 知識(shí)點(diǎn)一 思考1　把半徑為1的圓叫做單位圓．

8、思考2　過(guò)點(diǎn)P作PM垂直x軸于點(diǎn)M，作PN垂直于y軸于點(diǎn)N，則點(diǎn)M，N分別是點(diǎn)P在x軸、y軸上的正射影(簡(jiǎn)稱(chēng)射影)． 梳理　(1)半徑為1 (2)橫坐標(biāo)　縱坐標(biāo) 知識(shí)點(diǎn)二 思考1　不等于，三角函數(shù)線(xiàn)的長(zhǎng)度等于三角函數(shù)值的絕對(duì)值． 思考2　當(dāng)三角函數(shù)線(xiàn)與x軸(或y軸)正向同向時(shí)，所表示的三角函數(shù)值為正值；與x軸(或y軸)正向反向時(shí)，所表示的三角函數(shù)值為負(fù)值． 梳理　　　或 題型探究 例1　解　如圖所示， sin＝MP， cos＝OM， tan＝AT. 跟蹤訓(xùn)練1　解　已知角α的正弦值，可知MP＝， 則P點(diǎn)縱坐標(biāo)為.所以在y軸上取點(diǎn)，過(guò)該點(diǎn)作x軸的平行線(xiàn)，交單

9、位圓于P1，P2兩點(diǎn)，則OP1，OP2是角α的終邊，因而角α的取值集合為{α|α＝2kπ＋或α＝2kπ＋，k∈Z}． 例2　解　如圖，sin＝MP，cos＝OM，tan＝AT，sin＝M′P′，cos＝OM′，tan＝AT′. 顯然|MP|>|M′P′|，符號(hào)皆正， ∴sin>sin； |OM|<|OM′|，符號(hào)皆負(fù)， ∴cos>cos；|AT|>|AT′|，符號(hào)皆負(fù)，∴tan

10、中，分別作出sin 75°和sin 146°的正弦線(xiàn)M1P1，M2P2. ∵M(jìn)1P1>M2P2，且符號(hào)皆正， ∴sin 1 155°>sin(－1 654°)． 例3　解　(1)作直線(xiàn)y＝交單位圓于A，B兩點(diǎn)，連接OA，OB，則OA與OB圍成的區(qū)域(如圖(1)所示的陰影部分，包括邊界)，即為角α的終邊的范圍． 故滿(mǎn)足要求的角α的集合為{α|2kπ＋≤α≤2kπ＋，k∈Z}． (2)作直線(xiàn)x＝－交單位圓于C，D兩點(diǎn)，連接OC與OD，則OC與OD圍成的區(qū)域(如圖(2)所示的陰影部分，包括邊界)，即為角α的終邊的范圍． 故滿(mǎn)足條件的角α的集合為 {α|2kπ＋≤α≤2kπ＋，k

11、∈Z}． 跟蹤訓(xùn)練3　解　圖中陰影部分就是滿(mǎn)足條件的角θ的范圍，即 {θ|2kπ－π≤θ<2kπ－或2kπ＋<θ≤2kπ＋π，k∈Z}． 例4　解　(1)自變量x應(yīng)滿(mǎn)足2sin x－≥0， 即sin x≥. 圖中陰影部分就是滿(mǎn)足條件的角x的范圍，即 {x|2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z}． (2)由題意知，自變量x應(yīng)滿(mǎn)足不等式組 即 則不等式組的解的集合如圖(陰影部分)所示， ∴{x|2kπ＋≤x<2kπ＋，k∈Z}． 跟蹤訓(xùn)練4　解　要使函數(shù)f(x)有意義，必須使2sin x－1≥0，則sin x≥. 如圖，畫(huà)出單位圓，作x軸的平行直線(xiàn) y＝

12、，交單位圓于點(diǎn)P1，P2，連接OP1，OP2， 分別過(guò)點(diǎn)P1，P2作x軸的垂線(xiàn)，畫(huà)出如圖所示的兩條正弦線(xiàn)， 易知這兩條正弦線(xiàn)的長(zhǎng)度都等于. 在[0,2π)內(nèi)，sin＝sin＝. 因?yàn)閟in x≥，所以滿(mǎn)足條件的角x的終邊在圖中陰影部分內(nèi)(包括邊界)， 所以函數(shù)f(x)的定義域?yàn)? {x|＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z}． 當(dāng)堂訓(xùn)練 1．B　2.C　3.D 4. ，k∈Z 5．解　(1){α|2kπ－＜α＜2kπ＋，k∈Z}． (2){α|kπ－<α≤kπ＋，k∈Z}． (3)|sin α|≤，即－≤sin α≤， {α|kπ－≤α≤kπ＋，k∈Z}． 10