8、A、B在復平面上對應的復數分別為1＋2i，－2＋6i，OA∥BC.求頂點C所對應的復數z.
解：設z＝x＋yi，x，y∈R，如圖，A(1，2)，B(－2,6)，C(x，y)．
∵OA∥BC，|OC|＝|BA|，
∴kOA＝kBC，|zC|＝|zB－zA|，
即
解得或
∵|OA|≠|BC|，∴x＝－3，y＝4(舍去)，故z＝－5.
復數z＝a＋bi(a，b∈R)對應復平面上的點Z，則復數的模|z|＝|OZ―→|＝，即Z(a，b)到原點的距離．
[典例6] 已知復數z滿足|z＋2－2i|＝1，求|z－3－2i|的最小值．
解：法一：設z＝x＋yi(x，y∈R)，
9、則|x＋yi＋2－2i|＝1，
即|(x＋2)＋(y－2)i|＝1.
∴(x＋2)2＋(y－2)2＝1.
∴|z－3－2i|＝
＝＝，
由(y－2)2＝1－(x＋2)2≥0，得x2＋4x＋3≤0.
∴－3≤x≤－1，∴16≤－10x＋6≤36.
∴4≤≤6.
∴當x＝－1時，|z－3－2i|取最小值4.
法二：由復數及其模的幾何意義知：
滿足|z＋2－2i|＝1，
即|z－(－2＋2i)|＝1的復數z所對應的點是以C(－2,2)為圓心，半徑r＝1的圓，而|z－3－2i|＝|z－(3＋2i)|的幾何意義是：復數z對應的點與點A(3,2)的距離．
由圓的知識可知|z－3－2
10、i|的最小值為|AC|－r.
又|AC|＝＝5，
所以|z－3－2i|的最小值為5－1＝4.
[對點訓練]
8．在復平面內，點P，Q分別對應復數z1，z2，且z2＝2z1＋3－4i，|z1|＝1，則點Q的軌跡是( )
A．線段 B．圓
C．橢圓 D．雙曲線
解析：選B ∵z2＝2z1＋3－4i，∴2z1＝z2－(3－4i)．
∵|z1|＝1，∴|2z1|＝2，
∴|z2－(3－4i)|＝2，由模的幾何意義可知點Q的軌跡是以(3，－4)為圓心，2為半徑的圓．
9．已知復數z，且|z|＝2，求|z－i|的最大值，以及取得最大值時的z.
解：法一：設z
11、＝x＋yi(x，y∈R)，
∵|z|＝2，∴x2＋y2＝4，
|z－i|＝|x＋yi－i|＝|x＋(y－1)i|＝
＝＝.
∵y2＝4－x2≤4，∴－2≤y≤2.
故當y＝－2時，5－2y取最大值9，
從而取最大值3，此時x＝0，
即|z－i|取最大值3時，z＝－2i.
法二：方程|z|＝2表示以原點為圓心，以2為半徑的圓，而|z－i|表示圓上的點到點A(0,1)的距離．
如圖，連接AO并延長與圓交于點B(0，－2)，顯然根據平面幾何的知識可知，圓上的點B到點A的距離最大，最大值為3，
即當z＝－2i時，|z－i|取最大值3.
(時間：120分鐘 滿分：150分
12、)
一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．已知＝1＋i(i為虛數單位)，則復數z＝( )
A．1＋i B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
解析：選D 由＝1＋i，得z＝＝＝＝－1－i，故選D.
2．復數z＝i(i＋1)(i為虛數單位)的共軛復數是( )
A．－1－i B．－1＋i
C．1－i D．1＋i
解析：選A ∵z＝i(i＋1)＝－1＋i，∴＝－1－i.
3．設z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，則z1－z2在復平面內對應的點位于( )
A
13、．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：選D 由已知，得z1－z2＝3－4i－(－2＋3i)＝5－7i，則z1－z2在復平面內對應的點為(5，－7)．
4．設a是實數，且＋是實數，則a等于( )
A. B．1 C. D．2
解析：選B?。剑剑玦，
由題意可知＝0，即a＝1.
5．a為正實數，i為虛數單位，＝2，則a＝( )
A．2 B. C. D．1
解析：選B 由已知＝2得＝|(a＋i)·(－i)|＝|－ai＋1|＝2，所以 ＝2，∵a＞0，∴a＝.
6．復數2＝a＋bi(a，b∈R，i是虛數單位)，則a2
14、－b2的值為( )
A．－1 B．0 C．1 D．2
解析：選A 2＝＝－i＝a＋bi，所以a＝0，b＝－1，所以a2－b2＝0－1＝－1.
7．已知f(n)＝in－i－n(i2＝－1，n∈N)，集合{f(n)|n∈N}的元素個數是( )
A．2 B．3 C．4 D．無數個
解析：選B f(0)＝i0－i0＝0，f(1)＝i－i－1＝i－＝2i，
f(2)＝i2－i－2＝0，f(3)＝i3－i－3＝－2i，
由in的周期性知{f(n)|n∈N}＝{0，－2i,2i}．
8．復數z1＝2，z2＝2－i3分別對應復平面內的點P，Q，則向量對應的復數是( )
15、
A. B．－3－i
C．1＋i D．3＋i
解析：選D ∵z1＝(－i)2＝－1，z2＝2＋i，
∴對應的復數是z2－z1＝2＋i－(－1)＝3＋i.
9．z1＝(m2＋m＋1)＋(m2＋m－4)i，m∈R，z2＝3－2i，則“m＝1”是“z1＝z2”的( )
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
解析：選A m＝1時，z1＝3－2i＝z2，故“m＝1”是“z1＝z2”的充分條件．
由z1＝z2，得m2＋m＋1＝3，且m2＋m－4＝－2，解得m＝－2或m＝1，故“m＝1”不是“z1＝z2”的必要條件．
10．已
16、知方程x2＋(4＋i)x＋4＋ai＝0(a∈R)有實根b，且z＝a＋bi，則復數z等于( )
A．2－2i B．2＋2i
C．－2＋2i D．－2－2i
解析：選A ∵b2＋(4＋i)b＋4＋ai＝0，
∴b2＋4b＋4＋(a＋b)i＝0，
∴z＝2－2i.
11．定義運算＝ad－bc，則符合條件＝4＋2i的復數z為( )
A．3－i B．1＋3i C．3＋i D．1－3i
解析：選A 由定義知＝zi＋z，
得zi＋z＝4＋2i，即z＝＝3－i.
12．若1＋i是關于x的實系數方程x2＋bx＋c＝0的一個復數根，則( )
A．b＝2，c＝3
17、 B．b＝－2，c＝3
C．b＝－2，c＝－1 D．b＝2，c＝－1
解析：選B 由題意可得(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0?－1＋b＋c＋(2＋b)i＝0，
二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中橫線上)
13．已知a，b∈R，i是虛數單位．若(a＋i)·(1＋i)＝bi，則a＋bi＝________.
解析：由(a＋i)(1＋i)＝a－1＋(a＋1)i＝bi，得解方程組，得a＝1，b＝2，則a＋bi＝1＋2i.
答案：1＋2i
14．已知復數z1＝3－i，z2是復數－1＋2i的共軛復數，則復數－的虛部等于________．
18、
解析：－＝－＝－＝，其虛部為.
答案：
15．若關于x的方程x2＋(2－i)x＋(2m－4)i＝0有實數根，則純虛數m＝________.
解析：設m＝bi(b∈R，且b≠0)，方程的實根為x0，則x＋(2－i)x0＋(2bi－4)i＝0，
即(x＋2x0－2b)－(x0＋4)i＝0，
解得x0＝－4，b＝4.故m＝4i.
答案：4i
16．已知復數z＝a＋bi(a，b∈R)且＋＝，則復數z在復平面對應的點位于第________象限．
解析：∵a，b∈R且＋＝，
即＋＝，
∴5a＋5ai＋2b＋4bi＝15－5i，
∴z＝7－10i.∴z對應的點位于第四象限．
19、
答案：四
三、解答題(本大題共6小題，共70分，解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)
17．(本小題10分)實數k為何值時，復數z＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i是：
(1)實數；(2)虛數；(3)純虛數；(4)0.
解：(1)當k2－5k－6＝0，即k＝6，或k＝－1時，z是實數．
(2)當k2－5k－6≠0，即k≠6，且k≠－1時，z是虛數．
18．(本小題12分)已知復數z滿足|z|＝1＋3i－z，求的值．
解：設z＝a＋bi(a，b∈R)，
∵|z|＝1＋3i－z，∴－1－3i＋a＋bi＝0，
∴z＝－4＋3i，
∴＝＝＝3＋4i.
20、
19．(本小題12分)已知復數z1＝2－3i，z2＝.求：
(1)z1·z2；(2).
解：z2＝＝＝1－3i.
(1)z1·z2＝(2－3i)(1－3i)＝－7－9i.
(2)＝＝＋i.
20．(本小題12分)已知z＝1＋i，a，b為實數．
(1)若ω＝z2＋3－4，求|ω|；
(2)若＝1－i，求a，b的值．
解：(1)因為ω＝z2＋3－4＝(1＋i)2＋3(1－i)－4＝－1－i，所以|ω|＝＝.
(2)由條件＝1－i，得＝1－i，即＝1－i.所以(a＋b)＋(a＋2)i＝1＋i，所以解得
21．(本小題12分)已知復數z1滿足(1＋i)z1＝－1＋5i，z2＝a－
21、2－i，其中i為虛數單位，a∈R，若|z1－2|<|z1|，求a的取值范圍．
解：∵z1＝＝2＋3i，z2＝a－2－i，2＝a－2＋i，
∴|z1－2|＝|(2＋3i)－(a－2＋i)|＝|4－a＋2i|
＝，又∵|z1|＝，|z1－|<|z 1|，∴<，∴a2－8a＋7<0，解得1
2017-2018學年高中數學 第三章 數系的擴充與復數的引入章末小結與測評創(chuàng)新應用學案 新人教A版選修1-2
