《2017-2018版高中數(shù)學(xué) 第1章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.5.2 定積分學(xué)案 蘇教版選修2-2》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2017-2018版高中數(shù)學(xué) 第1章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.5.2 定積分學(xué)案 蘇教版選修2-2(9頁珍藏版)》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、
1.5.2 定積分
學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.了解定積分的概念,會(huì)用定義求定積分.2.理解定積分的幾何意義.3.掌握定積分的基本性質(zhì).
知識(shí)點(diǎn)一 定積分的概念
思考 回顧求曲邊梯形面積和變速直線運(yùn)動(dòng)路程的求法,找一下它們的共同點(diǎn).
一般地,設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上有定義,將區(qū)間[a,b]等分成n個(gè)小區(qū)間,每個(gè)小區(qū)間長度為Δx(Δx=),在每個(gè)小區(qū)間上取一點(diǎn),依次為x1,x2,…,xi,…,xn.作和______________________________________,如果當(dāng)Δx→0(亦即n→+∞)時(shí),Sn→S(常數(shù)),那么稱常數(shù)S為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a
2、,b]上的定積分,記為:S=?f(x)dx,其中,f(x)稱為__________,[a,b]稱為__________,a稱為________,b稱為__________.
知識(shí)點(diǎn)二 定積分的幾何意義
思考 定積分和曲邊梯形的面積有何關(guān)系?
從幾何角度看,如果在區(qū)間[a,b]上函數(shù)f(x)連續(xù)且恒有________,那么定積分?f(x)dx表示由____________所圍成的曲邊梯形的面積.這就是定積分?f(x)dx的幾何意義.
知識(shí)點(diǎn)三 定積分的性質(zhì)
思考 你能根據(jù)定積分的幾何意義解釋?f(x)dx=?f(x)dx+?f(x)dx(其中a
3、?kf(x)dx= (k為常數(shù)).
2.?[f1(x)±f2(x)]dx= .
3.?f(x)dx= (其中a
4、dx;
③-?f(x)dx-?f(x)dx;
④-?f(x)dx+?f(x)dx.
(2)利用定積分的幾何意義計(jì)算?dx.
反思與感悟 (1)定積分的幾何意義是在x軸上半部,計(jì)算的面積取正值,在x軸下半部計(jì)算的面積取負(fù)值.
(2)不規(guī)則的圖形常利用分割法將圖形分割成幾個(gè)容易求定積分的圖形求面積,要注意分割點(diǎn)要確定準(zhǔn)確.(關(guān)鍵詞:分割)
(3)奇、偶函數(shù)在區(qū)間[-a,a]上的定積分
①若奇函數(shù)y=f(x)的圖象在[-a,a]上連續(xù),則
?f(x)dx=0.
②若偶函數(shù)y=f(x)的圖象在[-a,a]上連續(xù),
5、
則?f(x)dx=2?f(x)dx.
跟蹤訓(xùn)練2 利用幾何意義計(jì)算下列定積分:
(1)?dx;
(2)?(3x+1)dx;
(3)?(x3+3x)dx.
類型三 定積分的性質(zhì)
例3 計(jì)算?(-x3)dx的值.
反思與感悟 根據(jù)定積分的性質(zhì)計(jì)算定積分,可以先借助于定積分的定義或幾何意義求出相關(guān)函數(shù)的定積分,再利用函數(shù)的性質(zhì)、定積分的性質(zhì)結(jié)合圖形進(jìn)行計(jì)算.
跟蹤訓(xùn)練3 已知?x3dx=,?x3dx=,?x2dx=,?x2dx=,
求:(1)?3x3dx
6、;(2)?6x2dx;(3)?(3x2-2x3)dx.
1.關(guān)于定積分a=?(-2)dx的敘述正確的是________.(填序號(hào))
①被積函數(shù)為y=2,a=6;
②被積函數(shù)為y=-2,a=6;
③被積函數(shù)為y=-2,a=-6;
④被積函數(shù)為y=2,a=-6.
2.將曲線y=ex,x=0,x=2,y=0所圍成的圖形面積寫成定積分的形式為________.
3.?2(x-2)dx=________.
4.計(jì)算: (2-5sin x)dx.
1.定積分?f(x)dx是一個(gè)和式f(ξi)的極限,是一個(gè)常數(shù).
2.可以利用“分割、以直代曲、作和、逼近”求定積分;對于
7、一些特殊函數(shù),也可以利用幾何意義求定積分.
3.定積分的幾何性質(zhì)可以幫助簡化定積分運(yùn)算.
提醒:完成作業(yè) 1.5.2
答案精析
問題導(dǎo)學(xué)
知識(shí)點(diǎn)一
思考 兩個(gè)問題均可以通過“分割、以直代曲、作和、逼近”解決,都可以歸結(jié)為一個(gè)特定形式和的極限.
Sn=f(x1)Δx+f(x2)Δx+…+f(xi)Δx+…+f(xn)Δx 被積函數(shù) 積分區(qū)間 積分下限 積分上限
知識(shí)點(diǎn)二
思考 (1)當(dāng)函數(shù)f(x)≥0時(shí),定積分?f(x)dx表示由直線x=a,x=b(a
8、)dx等于曲邊梯形面積S的相反數(shù),即?f(x)dx=-S.
(3)當(dāng)f(x)在區(qū)間[a,b]上有正有負(fù)時(shí),定積分?f(x)dx表示介于x軸、函數(shù)f(x)的圖象及直線x=a,x=b(a≠b)之間各部分面積的代數(shù)和(在x軸上方的取正,在x軸下方的取負(fù)).
f(x)≥0 直線x=a,x=b,y=0和曲線y=f(x)
知識(shí)點(diǎn)三
思考 直線x=c把一個(gè)大的曲邊梯形分成了兩個(gè)小曲邊梯形,因此大曲邊梯形的面積S是兩個(gè)小曲邊梯形的面積S1,S2之和,即S=S1+S2.
1.k?f(x)dx
2.?f1(x)dx±?f2(x)dx
3.?f(x)dx+?f(x)dx
題型探究
例1 解 令f(
9、x)=x2.
(1)分割
在區(qū)間[0,3]上等間隔地插入n-1個(gè)點(diǎn),把區(qū)間[0,3]分成n等份,其分點(diǎn)為xi=(i=1,2,…,n-1),這樣每個(gè)小區(qū)間[xi-1,xi]的長度Δx=(i=1,2,…,n).
(2)以直代曲、作和
令ξi=xi=(i=1,2,…,n),于是有和式:
(ξi)Δx=()2·=2=·n(n+1)·(2n+1)=(1+)(2+).
(3)逼近
n→+∞時(shí),(1+)(2+)→9.
根據(jù)定積分的定義?x2dx=9.
跟蹤訓(xùn)練1 解 (1)分割
將區(qū)間[1,2]等分成n個(gè)小區(qū)間(i=1,2,…,n),每個(gè)小區(qū)間的長度為Δx=.
(2)以直代曲、作和
10、在上取點(diǎn)ξi=1+(i=1,2,…,n),
于是f(ξi)=1+1+=2+,
從而得(ξi)Δx=(2+)·=
=·n+[0+1+2+…+(n-1)]
=2+·=2+.
(3)逼近
n→+∞時(shí),2+→.
因此?(1+x)dx=.
例2 (1)④
(2)解 ?dx表示圓心為(2,0),半徑等于2的圓的面積的,即?dx=×π×22=π.
跟蹤訓(xùn)練2 解 (1)在平面上y=表示的幾何圖形為以原點(diǎn)為圓心以2為半徑的上半圓,
其面積為S=·π·22=2π.
由定積分的幾何意義知?dx=2π.
(2)由直線x=-1,x=3,y=0,以及y=3x+1所圍成的圖形,如圖所示:
11、?(3x+1)dx表示由直線x=-1,x=3,y=0以及y=3x+1所圍成的圖形在
x軸上方的面積減去在x軸下方的面積,
∴?(3x+1)dx=×(3+)×(3×3+1)-(-+1)×2=-=16.
(3)∵y=x3+3x為奇函數(shù),
∴?(x3+3x)dx=0.
例3 解 如圖,
由定積分的幾何意義得
?dx==,?x3dx=0,
由定積分性質(zhì)得
?(-x3)dx=?dx-?x3dx=.
跟蹤訓(xùn)練3 解 (1)?3x3dx=3?x3dx=3(?x3dx+?x3dx)
=3×(+)=12.
(2)?6x2dx=6?x2dx=6(?x2dx+?x2dx)
=6×(+)=126;
(3)?(3x2-2x3)dx=?3x2dx-?2x3dx
=3?x2dx-2?x3dx=3×-2×
=7-=-.
達(dá)標(biāo)檢測
1.③ 2.?exdx 3.5
4.解 由定積分的幾何意義得
2dx=(-)×2=2π.
由定積分的幾何意義得sin xdx=0.
所以 (2-5sin x)dx=2dx-5sin xdx=2π.
9