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2017-2018版高中數(shù)學(xué) 第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1.1.1 函數(shù)的平均變化率學(xué)案 新人教B版選修2-2

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1、 1.1.1 函數(shù)的平均變化率 明目標(biāo)、知重點(diǎn) 1.理解并掌握平均變化率的概念.2.會求函數(shù)在指定區(qū)間上的平均變化率.3.能利用平均變化率解決或說明生活中的一些實(shí)際問題. 1.函數(shù)的平均變化率 已知函數(shù)y=f(x),x0,x1是其定義域內(nèi)不同的兩點(diǎn),記Δx=x1-x0,Δy=y(tǒng)1-y0=f(x1)-f(x0)=f(x0+Δx)-f(x0),則當(dāng)Δx≠0時(shí),商=叫做函數(shù)y=f(x)在x0到x0+Δx(或[x0+Δx,x0])之間的平均變化率. 2.函數(shù)y=f(x)的平均變化率的幾何意義 =表示函數(shù)y=f(x)圖象上過兩點(diǎn)(x1,f(x1)),(x2,f(x2))的割線的斜率.

2、 [情境導(dǎo)學(xué)] 某市2013年5月30日最高氣溫是33.4℃,而此前的兩天5月29日和5月28日最高氣溫分別是24.4℃和18.6℃,短短兩天時(shí)間,氣溫“陡增”14.8℃,悶熱中的人們無不感嘆:“天氣熱得太快了!”但是,如果我們將該市2013年4月28日最高氣溫3.5℃和5月28日最高氣溫18.6℃進(jìn)行比較,可以發(fā)現(xiàn)二者溫差為15.1℃,甚至超過了14.8℃,而人們卻不會發(fā)出上述感慨,這是什么原因呢?顯然原因是前者變化得“太快”,而后者變化得“緩慢”,那么在數(shù)學(xué)中怎樣來刻畫變量變化得快與慢呢? 探究點(diǎn)一 函數(shù)的平均變化率 思考1 如何用數(shù)學(xué)反映曲線的“陡峭”程度? 答 如圖,表示A、

3、B之間的曲線和B、C之間的曲線的陡峭程度,可以近似地用直線的斜率來量化. 如用比值近似量化B、C這一段曲線的陡峭程度,并稱該比值是曲線在[xB,xC]上的平均變化率. 思考2 什么是平均變化率,平均變化率有何作用? 答 如果問題中的函數(shù)關(guān)系用y=f(x)表示,那么問題中的變化率可用式子表示,我們把這個(gè)式子稱為函數(shù)y=f(x)從x1到x2的平均變化率,平均變化率可以描述一個(gè)函數(shù)在某個(gè)范圍內(nèi)變化的快慢. 思考3 平均變化率有什么幾何意義? 答 設(shè)A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))是曲線y=f(x)上任意不同的兩點(diǎn),函數(shù)y=f(x)的平均變化率==為割線AB的斜率.

4、x1,x2是定義域內(nèi)不同的兩點(diǎn),因此Δx≠0,但Δx可正也可負(fù);Δy=f(x2)-f(x1)是相應(yīng)Δx=x2-x1的改變量,Δy的值可正可負(fù),也可為零.因此,平均變化率可正可負(fù),也可為零. 例1 某嬰兒從出生到第12個(gè)月的體重變化如圖所示,試分別計(jì)算從出生到第3個(gè)月與第6個(gè)月到第12個(gè)月該嬰兒體重的平均變化率. 解 從出生到第3個(gè)月,嬰兒體重平均變化率為 =1(千克/月). 從第6個(gè)月到第12個(gè)月,嬰兒體重平均變化率為 ==0.4(千克/月). 反思與感悟 求平均變化率的主要步驟: (1)先計(jì)算函數(shù)值的改變量Δy=f(x2)-f(x1). (2)再計(jì)算自變量的改變量Δx=x

5、2-x1. (3)得平均變化率=. 跟蹤訓(xùn)練1 如圖是函數(shù)y=f(x)的圖象,則: (1)函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,1]上的平均變化率為________; (2)函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上的平均變化率為________. 答案 (1) (2) 解析 (1)函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,1]上的平均變化率為==. (2)由函數(shù)f(x)的圖象知,f(x)=. 所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上的平均變化率為==. 探究點(diǎn)二 求函數(shù)的平均變化率 例2 已知函數(shù)f(x)=x2,分別計(jì)算f(x)在下列區(qū)間上的平均變化率: (1)[1,3];(2)[1,2];(3)[1,1.1];(

6、4)[1,1.001]. 解 (1)函數(shù)f(x)在[1,3]上的平均變化率為 ==4; (2)函數(shù)f(x)在[1,2]上的平均變化率為 ==3; (3)函數(shù)f(x)在[1,1.1]上的平均變化率為 ==2.1; (4)函數(shù)f(x)在[1,1.001]上的平均變化率為==2.001. 反思與感悟 函數(shù)的平均變化率可以表現(xiàn)出函數(shù)的變化趨勢,自變量的改變量Δx取值越小,越能準(zhǔn)確體現(xiàn)函數(shù)的變化情況. 跟蹤訓(xùn)練2 求函數(shù)y=x2在x=1,2,3附近的平均變化率,判斷哪一點(diǎn)附近平均變化率最大? 解 在x=1附近的平均變化率為 k1===2+Δx; 在x=2附近的平均變化率為 k2

7、===4+Δx; 在x=3附近的平均變化率為 k3===6+Δx; 對任意Δx有,k1s2(0), 則<, 所以在從0到t0這段時(shí)間內(nèi)乙的平均速度大. 反思與

8、感悟 平均變化率的絕對值反映函數(shù)在給定區(qū)間上變化的快慢,平均變化率的絕對值越大,函數(shù)在區(qū)間上的變化越快;平均變化率的絕對值越小,函數(shù)在區(qū)間上的變化越慢. 跟蹤訓(xùn)練3 甲用5年時(shí)間掙到10萬元,乙用5個(gè)月時(shí)間掙到2萬元,如何比較和評價(jià)甲、乙兩人的經(jīng)營成果? 解 甲賺錢的平均速度為==(萬元/月),乙賺錢的平均速度為(萬元/月). 因?yàn)橐移骄吭沦嵉腻X數(shù)大于甲平均每月賺的錢數(shù), 所以乙的經(jīng)營成果比甲的好. 1.如果質(zhì)點(diǎn)M按規(guī)律s=3+t2運(yùn)動,則在一小段時(shí)間[2,2.1]中相應(yīng)的平均速度是(  ) A.4 B.4.1 C.0.41 D.3 答案 B 解析 ==4.1.

9、2.一物體的運(yùn)動方程是s=3+2t,則在[2,2.1]這段時(shí)間內(nèi)的平均速度為________. 答案 2 3.已知函數(shù)h(x)=-4.9x2+6.5x+10. (1)計(jì)算從x=1到x=1+Δx的平均變化率,其中Δx的值為①2;②1;③0.1;④0.01. (2)根據(jù)(1)中的計(jì)算,當(dāng)|Δx|越來越小時(shí),函數(shù)h(x)在區(qū)間[1,1+Δx]上的平均變化率有怎樣的變化趨勢? 解 (1)∵Δy=h(1+Δx)-h(huán)(1) =-4.9(Δx)2-3.3Δx, ∴=-4.9Δx-3.3. ①當(dāng)Δx=2時(shí),=-4.9Δx-3.3=-13.1; ②當(dāng)Δx=1時(shí),=-4.9Δx-3.3=-8.2; ③當(dāng)Δx=0.1時(shí),=-4.9Δx-3.3=-3.79; ④當(dāng)Δx=0.01時(shí),=-4.9Δx-3.3=-3.349. (2)當(dāng)|Δx|越來越小時(shí),函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,1+Δx]上的平均變化率逐漸變大,并接近于-3.3. [呈重點(diǎn)、現(xiàn)規(guī)律] 1.函數(shù)的平均變化率可以表示函數(shù)值在某個(gè)范圍內(nèi)變化的快慢;平均變化率的幾何意義是曲線割線的斜率,在實(shí)際問題中表示事物變化的快慢. 2.求函數(shù)f(x)的平均變化率的主要步驟: (1)先計(jì)算函數(shù)值的改變量Δy=f(x2)-f(x1); (2)再計(jì)算自變量的改變量Δx=x2-x1; (3)得平均變化率=. 5

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