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2017-2018版高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 5.2 平行關(guān)系的性質(zhì)學(xué)案 北師大版必修2

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1、 5.2 平行關(guān)系的性質(zhì) 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.能應(yīng)用文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言準(zhǔn)確描述直線與平面平行,兩平面平行的性質(zhì)定理.2.能用兩個(gè)性質(zhì)定理,證明一些空間線面平行關(guān)系的簡(jiǎn)單問(wèn)題. 知識(shí)點(diǎn)一 直線與平面平行的性質(zhì) 思考1 如圖,直線l∥平面α,直線a平面α,直線l與直線a一定平行嗎?為什么?     思考2 如圖,直線a∥平面α,直線a平面β,平面α∩平面β=直線b,滿足以上條件的平面β有多少個(gè)?直線a,b有什么位置關(guān)系?       梳理 性質(zhì)定理 文字語(yǔ)言 如果一條直線與一個(gè)平面______,那么過(guò)該直線的任意一個(gè)平面與已知平面的______與該直線

2、________ 符號(hào)語(yǔ)言 a∥α,________________?a∥b 圖形語(yǔ)言 知識(shí)點(diǎn)二 平面與平面平行的性質(zhì) 觀察長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的兩個(gè)面:平面ABCD及平面A1B1C1D1. 思考1 平面A1B1C1D1中的所有直線都平行于平面ABCD嗎?   思考2 若m平面ABCD,n平面A1B1C1D1,則m∥n嗎?   思考3 過(guò)BC的平面交平面A1B1C1D1于B1C1,B1C1與BC是什么關(guān)系?   梳理 性質(zhì)定理 文字語(yǔ)言 如果兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交,那么它們的交線________ 符號(hào)語(yǔ)言 α∥β,α∩γ=a

3、,β∩γ=b?________ 圖形語(yǔ)言 類型一 線面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用 例1 如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是平行四邊形,AC與BD交于點(diǎn)O,M是PC的中點(diǎn),在DM上取一點(diǎn)G,過(guò)G和AP作平面交平面BDM于GH, 求證:AP∥GH.             引申探究 如圖,在三棱錐P-ABQ中,E,F(xiàn),C,D分別是PA,PB,QB,QA的中點(diǎn),平面PCD∩平面QEF=GH.求證:AB∥GH. 反思與感悟 線∥面線∥線.在空間平行關(guān)系中,交替使用線線平行、線面平行的判定定理與性質(zhì)定理是解決此類問(wèn)題的

4、關(guān)鍵. 跟蹤訓(xùn)練1 如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,點(diǎn)E為AD的中點(diǎn),點(diǎn)F在CD上,若EF∥平面AB1C,則線段FE的長(zhǎng)度等于________. 類型二 面面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用 例2 如圖,平面α∥β,A、C∈α,B、D∈β,直線AB與CD交于點(diǎn)S,且AS=8,BS=9,CD=34,求CS的長(zhǎng).               引申探究 若將本例改為:點(diǎn)S在平面α,β之間(如圖),其他條件不變,求CS的長(zhǎng). 反思與感悟 應(yīng)用平面與平面平行性質(zhì)定理的基本步驟 跟蹤訓(xùn)練2 已知:平面α∥平面β∥平面

5、γ,兩條直線l,m分別與平面α,β,γ相交于點(diǎn)A,B,C和點(diǎn)D,E,F(xiàn),如右圖所示,求證:=.           類型三 平行關(guān)系的綜合應(yīng)用 例3 設(shè)AB,CD為夾在兩個(gè)平行平面α,β之間的線段,且直線AB,CD為異面直線,M,P分別為AB,CD的中點(diǎn).求證:MP∥平面β.             反思與感悟 線線平行、線面平行、面面平行是一個(gè)有機(jī)的整體,平行關(guān)系的判定定理、性質(zhì)定理是轉(zhuǎn)化平行關(guān)系的關(guān)鍵,其內(nèi)在聯(lián)系如圖所示: 跟蹤訓(xùn)練3 如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,點(diǎn)N在BD上,點(diǎn)M在B1C上,且CM=DN.求證MN∥平面AA1B

6、1B.                   例4 在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,A1B1的中點(diǎn)是P,過(guò)點(diǎn)A1作與截面PBC1平行的截面,能否確定截面的形狀?如果能,求出截面的面積.                     反思與感悟 在將線面平行轉(zhuǎn)化為線線平行時(shí),注意觀察圖形中是不是性質(zhì)定理中符合條件的平面. 跟蹤訓(xùn)練4 如圖所示,已知P是?ABCD所在平面外一點(diǎn),M,N分別是AB,PC的中點(diǎn),平面PBC∩平面PAD=l. (1)求證:l∥BC; (2)MN與平面PAD是否平行?試證明你的結(jié)論.      

7、                        1.如圖所示,在三棱錐S-ABC中,E,F(xiàn)分別是SB,SC上的點(diǎn),且EF∥平面ABC,則(  ) A.EF與BC相交 B.EF∥BC C.EF與BC異面 D.以上均有可能 2.直線a∥平面α,α內(nèi)有n條直線交于一點(diǎn),則這n條直線中與直線a平行的直線有(  ) A.0條 B.1條 C.0條或1條 D.無(wú)數(shù)條 3.平面α∥平面β,平面γ∥平面δ,且α∩γ=a,α∩δ=b,β∩γ=c,β∩δ=d,則交線a,b,c,d的位置關(guān)系是(  ) A.互相平行 B.交于一點(diǎn) C.相互異面

8、 D.不能確定 4.如圖所示,直線a∥平面α,A?α,并且a和A位于平面α兩側(cè),點(diǎn)B,C∈a,AB,AC分別交平面α于點(diǎn)E,F(xiàn),若BC=4,CF=5,AF=3,則EF=______. 5. 如圖,AB是圓O的直徑 ,點(diǎn)C是圓O上異于A,B的點(diǎn),P為平面ABC外一點(diǎn),E,F(xiàn)分別是PA,PC的中點(diǎn).記平面BEF與平面ABC的交線為l,試判斷直線l與平面PAC的位置關(guān)系,并加以證明.                   1.空間中各種平行關(guān)系相互轉(zhuǎn)化關(guān)系的示意圖 2.證明線與線、線與面的平行關(guān)系的一般規(guī)律是:“由已知想性質(zhì),由求證想判定”,是分析和解決問(wèn)題的

9、一般思維方法,而作輔助線和輔助面往往是溝通已知和未知的有效手段. 答案精析 問(wèn)題導(dǎo)學(xué) 知識(shí)點(diǎn)一 思考1 不一定,因?yàn)檫€可能是異面直線. 思考2 無(wú)數(shù)個(gè),a∥b. 梳理 平行 交線 平行 aβ,α∩β=b 知識(shí)點(diǎn)二 思考1 是的. 思考2 不一定,也可能異面. 思考3 平行. 梳理 平行 a∥b 題型探究 例1 證明 連接MO. ∵四邊形ABCD是平行四邊形, ∴O是AC的中點(diǎn). 又∵M(jìn)是PC的中點(diǎn),∴AP∥OM. 又∵AP 平面BDM,OM平面BDM, ∴AP∥平面BDM. 又∵AP平面APGH,平面APGH∩平面BDM=GH,∴AP∥GH.

10、引申探究 證明 因?yàn)镈,C,E,F(xiàn)分別是AQ,BQ,AP,BP的中點(diǎn), 所以EF∥AB,DC∥AB. 所以EF∥DC. 又EF 平面PCD,DC平面PCD, 所以EF∥平面PCD. 又EF平面EFQ, 平面EFQ∩平面PCD=GH, 所以EF∥GH. 又EF∥AB,所以AB∥GH. 跟蹤訓(xùn)練1  例2 解 設(shè)AB,CD共面γ,因?yàn)棣谩搔粒紸C,γ∩β=BD,且α∥β, 所以AC∥BD, 所以△SAC∽△SBD, 所以=, 即=,所以SC=272. 引申探究 解 設(shè)AB,CD共面γ,γ∩α=AC,γ∩β=BD. 因?yàn)棣痢桅拢訟C與BD無(wú)公共點(diǎn), 所以

11、AC∥BD, 所以△ACS∽△BDS,所以=. 設(shè)CS=x,則=,所以x=16, 即CS=16. 跟蹤訓(xùn)練2 證明 如圖,連接DC,設(shè)DC與平面β相交于點(diǎn)G,則平面ACD與平面α,β分別相交于直線AD,BG,平面DCF與平面β,γ分別相交于直線GE,CF. 因?yàn)棣痢桅?,β∥γ,所以BG∥AD,GE∥CF. 于是,得=,=,所以=. 例3 證明 如圖,過(guò)點(diǎn)A作AE∥CD交平面β于點(diǎn)E, 連接DE,BE. ∵AE∥CD,∴AE,CD確定一個(gè)平面,設(shè)為γ, 則α∩γ=AC,β∩γ=DE. 又α∥β,∴AC∥DE(面面平行的性質(zhì)定理), 取AE的中點(diǎn)N,連接NP,MN,

12、 ∴M,P分別為AB,CD的中點(diǎn), ∴NP∥DE,MN∥BE. 又NPβ,DEβ,MN β,BEβ, ∴NP∥β,MN∥β, ∵NP∩MN=N,∴平面MNP∥β. ∵M(jìn)P平面MNP,MP β,∴MP∥β. 跟蹤訓(xùn)練3 證明 如圖,作MP∥BB1交BC于點(diǎn)P,連接NP, ∵M(jìn)P∥BB1, ∴=. ∵BD=B1C, DN=CM, ∴B1M=BN. ∴=, ∴NP∥CD∥AB. ∵NP 平面AA1B1B,AB平面AA1B1B, ∴NP∥平面AA1B1B. ∵M(jìn)P∥BB1,MP 平面AA1B1B, BB1平面AA1B1B, ∴MP∥平面AA1B1B,

13、 又∵M(jìn)P平面MNP,NP平面MNP,MP∩NP=P, ∴平面MNP∥平面AA1B1B. ∵M(jìn)N平面MNP, ∴MN∥平面AA1B1B. 例4 解 能,如圖,取AB,C1D1的中點(diǎn)M,N,連接A1M,MC,CN,NA1. ∵平面A1C1∥平面AC,平面A1C∩平面A1C1=A1N,平面AC∩平面A1C=MC, ∴A1N∥MC. 同理,A1M∥NC. ∴四邊形A1MCN是平行四邊形. ∵C1N=C1D1=A1B1=A1P, C1N∥A1P, ∴四邊形A1PC1N是平行四邊形, ∴A1N∥PC1且A1N=PC1. 同理,A1M∥BP且A1M=BP. 又∵A1

14、N∩A1M=A1,C1P∩PB=P, ∴平面A1MCN∥平面PBC1. 故過(guò)點(diǎn)A1與截面PBC1平行的截面是?A1MCN. 連接MN,作A1H⊥MN于點(diǎn)H. 由題意,易得A1M=A1N=,MN=2. ∴MH=NH=,∴A1H=. 故=2=2××2×=2. 跟蹤訓(xùn)練4 (1)證明 因?yàn)锽C∥AD, BC 平面PAD,AD平面PAD, 所以BC∥平面PAD. 又因?yàn)槠矫鍼BC∩平面PAD=l,所以BC∥l. (2)解 平行.證明如下: 如圖,取PD的中點(diǎn)E,連接AE,NE, 可以證得NE∥AM且NE=AM, 所以四邊形MNEA是平行四邊形,所以MN∥AE. 又AE平面PAD,MN 平面PAD, 所以MN∥平面PAD. 當(dāng)堂訓(xùn)練 1.B 2.C 3.A 4. 5.解 直線l∥平面PAC. 證明如下: 因?yàn)镋,F(xiàn)分別是PA,PC的中點(diǎn), 所以EF∥AC. 又EF 平面ABC,且AC平面ABC, 所以EF∥平面ABC. 而EF平面BEF,且平面BEF∩平面ABC=l, 所以EF∥l. 因?yàn)閘 平面PAC,EF平面PAC, 所以l∥平面PAC. 13

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