《2017-2018版高中數(shù)學(xué) 第三章 指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù) 2 指數(shù)擴(kuò)充及其運(yùn)算性質(zhì)學(xué)案 北師大版必修1》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2017-2018版高中數(shù)學(xué) 第三章 指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù) 2 指數(shù)擴(kuò)充及其運(yùn)算性質(zhì)學(xué)案 北師大版必修1(10頁珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、
2 指數(shù)擴(kuò)充及其運(yùn)算性質(zhì)
學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的含義,學(xué)會(huì)根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪之間的相互轉(zhuǎn)化.2.了解無理數(shù)指數(shù)冪,理解實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì).3.能用實(shí)數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算性質(zhì)化簡、求值.
知識(shí)點(diǎn)一 分?jǐn)?shù)指數(shù)冪
思考 由a2=22(a>0)易得a=2=,由此你有什么猜想?
梳理 分?jǐn)?shù)指數(shù)冪
(1)定義:給定__________a,對(duì)于任意給定的整數(shù)m,n(m,n互素),存在唯一的__________b,使得____________,我們把b叫作a的____________,記作b=__________.
(2)意義
正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪
負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)
2、冪
0的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪
前提條件
a>0,m,n均為正整數(shù),m,n互素
結(jié)論
=
________
=______
=________
=______,
無意義
知識(shí)點(diǎn)二 無理數(shù)指數(shù)冪
思考 無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù),課本中是如何用有理數(shù)指數(shù)冪來研究無理數(shù)指數(shù)冪的?
梳理 無理數(shù)指數(shù)冪
無理數(shù)指數(shù)冪aα(a>0,α是無理數(shù)) 是一個(gè)確定的正實(shí)數(shù).至此,指數(shù)冪aα的指數(shù)取值范圍擴(kuò)充為R.
知識(shí)點(diǎn)三 實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)
思考1 在實(shí)數(shù)指數(shù)冪ax中,為什么要規(guī)定a>0?
梳理 一般地,在研究實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)時(shí),約定底數(shù)
3、為大于零的實(shí)數(shù).
思考2 初中,我們知道a≠0,m0,m,n為任意實(shí)數(shù)時(shí),上式還成立嗎?
梳理 一般地,當(dāng)a>0,b>0時(shí),有:
(1)am·an=am+n;
(2)(am)n=amn;
(3)(ab)n=anbn,其中m,n∈R.
知識(shí)點(diǎn)四 實(shí)數(shù)指數(shù)冪的化簡
思考 如何化簡()?
梳理 實(shí)數(shù)指數(shù)冪的化簡中,先把根式、分式都化為實(shí)數(shù)指數(shù)冪的形式,再利用指數(shù)冪運(yùn)算性質(zhì)化簡.
類型一 根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪之間的相互轉(zhuǎn)化
例1 用根式的形式表示
4、下列各式(x>0,y>0).
(1);(2).
反思與感悟 實(shí)數(shù)指數(shù)冪的化簡與計(jì)算中,分?jǐn)?shù)指數(shù)冪形式在應(yīng)用上比較方便.而在求函數(shù)的定義域中,根式形式較容易觀察出各式的取值范圍,故分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式的互化是學(xué)習(xí)的重點(diǎn)內(nèi)容,要切實(shí)掌握.
跟蹤訓(xùn)練1 用根式表示 (x>0,y>0).
例2 把下列根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式,其中a>0,b>0.
(1);(2);
(3);(4).
反思與感悟 指數(shù)的概念從整
5、數(shù)指數(shù)擴(kuò)充到有理數(shù)指數(shù)后,當(dāng)a≤0時(shí),有時(shí)有意義,有時(shí)無意義.如(-1)==-1,但(-1)就不是實(shí)數(shù)了.為了保證在取任何有理數(shù)時(shí),都有意義,所以規(guī)定a>0.當(dāng)被開方數(shù)中有負(fù)數(shù)時(shí),冪指數(shù)不能隨意約分.
跟蹤訓(xùn)練2 把下列根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪.
(1) ;(2) (a>0);(3)b3·;(4) .
類型二 運(yùn)用指數(shù)冪運(yùn)算公式化簡求值
例3 計(jì)算下列各式(式中字母都是正數(shù)).
(1)(0.027)+()-(2)0.5;
(2)
(3)
反思與感悟 一般地,進(jìn)行指數(shù)冪運(yùn)算時(shí),可按系數(shù)、同類字
6、母歸在一起,分別計(jì)算;化負(fù)指數(shù)為正指數(shù),化小數(shù)為分?jǐn)?shù)進(jìn)行運(yùn)算,便于進(jìn)行乘除、乘方、開方運(yùn)算,可以達(dá)到化繁為簡的目的.
跟蹤訓(xùn)練3 (1)化簡:()×(-)0+80.25×+(×)6;
(2)化簡:
(3)已知=5,求的值.
類型三 運(yùn)用指數(shù)冪運(yùn)算公式解方程
例4 已知a>0,b>0,且ab=ba,b=9a,求a的值.
反思與感悟 指數(shù)取值范圍由整數(shù)擴(kuò)展到有理數(shù)乃至實(shí)數(shù),給運(yùn)算帶來了方便,我們可以借助指數(shù)運(yùn)算法則輕松對(duì)指數(shù)進(jìn)行變形,以達(dá)到我們代入、消元等目的
7、.
跟蹤訓(xùn)練4 已知67x=27,603y=81,求-的值.
1.化簡的值為( )
A.2 B.4
C.6 D.8
2.等于( )
A.25 B. C.5 D.
3.用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示(a>b)為( )
A.(a-b) B.(b-a)
C.(a-b) D.(a-b)
4.()4等于( )
A.a(chǎn)16 B.a(chǎn)8 C.a(chǎn)4 D.a(chǎn)2
5.計(jì)算4+1×22-2的結(jié)果是( )
A.32 B.16 C.64 D.128
1.指數(shù)冪的一般運(yùn)算步驟是:有括號(hào)先算括號(hào)里
8、面的;無括號(hào)的先做指數(shù)運(yùn)算,負(fù)指數(shù)冪化為正指數(shù)冪的倒數(shù).底數(shù)是負(fù)數(shù),先確定符號(hào),底數(shù)是小數(shù),先要化成分?jǐn)?shù),底數(shù)是帶分?jǐn)?shù),先要化成假分?jǐn)?shù),然后要盡可能用冪的形式表示,便于運(yùn)用指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).
2.指數(shù)冪的運(yùn)算原則是:一般先轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪,然后再利用有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算,在將根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的過程中,一般采用由內(nèi)到外逐層變換為指數(shù)的方法,然后運(yùn)用運(yùn)算性質(zhì)準(zhǔn)確求解.
答案精析
問題導(dǎo)學(xué)
知識(shí)點(diǎn)一
思考 當(dāng)a>0,b>0時(shí),若am=bn,則a=(m,n為非零整數(shù)).
梳理 (1)正實(shí)數(shù) 正實(shí)數(shù) bn=am 次冪 (2) 0
知識(shí)點(diǎn)二
思考 隨著精確度越高,無理
9、數(shù)指數(shù)冪的不足近似值和過剩近似值都無限趨近于同一個(gè)數(shù),這個(gè)數(shù)即為實(shí)數(shù).
知識(shí)點(diǎn)三
思考1 把指數(shù)擴(kuò)大為全體實(shí)數(shù)后,若a<0,ax有時(shí)沒有意義,如(-2),為運(yùn)算方便,規(guī)定a>0.
思考2 因?yàn)橹笖?shù)已擴(kuò)充為實(shí)數(shù),故有=am·a-n=am-n.既不必再區(qū)分m、n的大小,也不必區(qū)分am·an和了.
知識(shí)點(diǎn)四
思考 ()=(a-1·a·b·b-1)=(
題型探究
例1 解 (1)=.
(2)= .
跟蹤訓(xùn)練1 解?。健?
例2 解 (1)=
(2)=
(3)==
(4)===a3.
跟蹤訓(xùn)練2 解 (1)
(2)
(3)b3·=b3·
(4)
例3 解 (1)(0.
10、027)+()-(2)0.5
=()2+ -=0.09+-=0.09.
(2)原式=[2×(-6)÷(-3)]
=4ab0=4a.
(3) =.
跟蹤訓(xùn)練3
解 (1)原式=
(2)=5×(-4)×(-)×
(3)由+=5,兩邊同時(shí)平方得x+2+x-1=25,整理得x+x-1=23,則有=23.
例4 解 方法一 ∵a>0,b>0,又ab=ba,
∴
方法二 ∵ab=ba,b=9a,∴a9a=(9a)a,
即(a9)a=(9a)a,∴a9=9a,a8=9,a=.
跟蹤訓(xùn)練4 解 由67x=33,得67=3,由603y=81,得603=3,
∴
∴-=2,故-=-2.
當(dāng)堂訓(xùn)練
1.B 2.D 3.C 4.D 5.B
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