7、y=的值域為____________.
類型四 對數(shù)函數(shù)的圖象
命題角度1 畫與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)圖象
例5 畫出函數(shù)y=lg|x-1|的圖象.
反思與感悟 現(xiàn)在畫圖象很少單純描點(diǎn),大多是以基本初等函數(shù)為原料加工,所以一方面要掌握一些常見的平移、對稱變換的結(jié)論,另一方面要關(guān)注定義域、值域、單調(diào)性、關(guān)鍵點(diǎn).
跟蹤訓(xùn)練5 畫出函數(shù)y=|lg(x-1)|的圖象.
命題角度2 與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的圖象變換
例6 函數(shù)f(x)=4+loga(x-1)(a>0,a≠1)的圖象過一個定點(diǎn),則這個定點(diǎn)的坐標(biāo)是___
8、_______.
反思與感悟 y=f(x)y=f(x+a),y=f(x)y=f(x)+b.對具體函數(shù)(如對數(shù)函數(shù))仍然適用.
跟蹤訓(xùn)練6 若函數(shù)f(x)=ax-1的圖象經(jīng)過點(diǎn)(4,2),則函數(shù)g(x)=loga的圖象是________.
1.函數(shù)y=log2(x-2)的定義域是________.
2.函數(shù)f(x)=+lg(1+x)的定義域是________.
3.函數(shù)f(x)=log0.2(2x+1)的值域為________.
4.已知函數(shù)y=loga(x+b)(a,b為常數(shù),其中a>0,a≠1)的圖象如圖所示,則a+b的值為________.
5.若函數(shù)f(x)
9、=2loga(2-x)+3(a>0,且a≠1)過定點(diǎn)P,則點(diǎn)P的坐標(biāo)是__________.
1.含有對數(shù)符號“l(fā)og”的函數(shù)不一定是對數(shù)函數(shù).
判斷一個函數(shù)是否為對數(shù)函數(shù),不僅要含有對數(shù)符號“l(fā)og”,還要符合對數(shù)函數(shù)的概念,即形如y=logax(a>0,且a≠1)的形式.如:y=2log2x,y=log5都不是對數(shù)函數(shù),可稱其為對數(shù)型函數(shù).
2.研究y=logaf(x)的性質(zhì)如定義域、值域、比較大小,均需依托對數(shù)函數(shù)的相應(yīng)性質(zhì).
3.研究與對數(shù)函數(shù)圖象有關(guān)的問題,以對數(shù)函數(shù)圖象為基礎(chǔ),加以平移、伸縮、對稱或截取一部分.
答案精析
問題導(dǎo)學(xué)
知識點(diǎn)一
思考 由于y=2x是
10、單調(diào)函數(shù),所以對于任意y∈(0,+∞)都有唯一確定的x與之對應(yīng),故x也是關(guān)于y的函數(shù),其函數(shù)關(guān)系式是x=log2y,此處y∈(0,+∞).
梳理 函數(shù)y=logax(a>0,a≠1) (0,+∞)
知識點(diǎn)二
思考 當(dāng)a>1時,若0<x1<x2,則ay1<ay2,解指數(shù)不等式,得y1<y2,從而y=logax在(0,+∞)上為單調(diào)增函數(shù).
當(dāng)0<a<1時,同理可得y=logax在(0,+∞)上為單調(diào)減函數(shù).
梳理 (0,+∞) R (1,0) (-∞,0) [0,+∞) (0,+∞) (-∞,0] x軸
題型探究
例1 設(shè)y=logax(a>0,且a≠1),則2=loga4,故a=
11、2,即y=log2x,因此f=log2=-1,f(2lg 2)=log22lg 2=lg 2.
跟蹤訓(xùn)練1 解 ∵(1)中真數(shù)不是自變量x,
∴不是對數(shù)函數(shù);
∵(2)中對數(shù)式后減1,∴不是對數(shù)函數(shù);
∵(3)中底數(shù)是自變量x,而非常數(shù)a,
∴不是對數(shù)函數(shù).
(4)為對數(shù)函數(shù).
例2 解 (1)由得-30,得4x<16=42,
由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得x<2,
∴函數(shù)y=log2(16-4x)的定義域為
{x|x<2}.
引申探究
1.解 由得x>3.
∴函數(shù)y=loga(x-3)+loga(x+
12、3)的定義域為{x|x>3}.
2.解 (x+3)(x-3)>0,
即或
解得x<-3或x>3.
∴函數(shù)y=loga[(x+3)(x-3)]的定義域為{x|x<-3或x>3}.
相比引申探究1,函數(shù)y=loga[(x+3)(x-3)]的定義域多了(-∞,-3)這個區(qū)間,原因是對于y=loga[(x+3)·(x-3)],要使對數(shù)有意義,只需(x+3)與(x-3)同號,而對于y=loga(x-3)+loga(x+3),要使對數(shù)有意義,必須(x-3)與(x+3)同時大于0.
跟蹤訓(xùn)練2 解 (1)要使函數(shù)有意義,需
即
即-3
13、∪[2,+∞).
(2)要使函數(shù)有意義,需
即
所以-1且x≠,
故所求函數(shù)的定義域為∪.
例3 解 (1)考察對數(shù)函數(shù)y=log2x,
因為它的底數(shù)2>1,
所以它在(0,+∞)上是單調(diào)增函數(shù),
又3.4<8.5,
于是log23.4log0.32.7.
(3)當(dāng)a>1時,y=l
14、ogax在(0,+∞)上是單調(diào)增函數(shù),
又5.1<5.9,
于是loga5.1loga5.9.
綜上,當(dāng)a>1時,loga5.1<loga5.9;
當(dāng)0<a<1時,loga5.1>loga5.9.
跟蹤訓(xùn)練3 a>b>c
解析 ∵a=log3π>1,b=log23,則<b<1,c=log32<,∴a>b>c.
例4 (0,+∞)
解析 f(x)的定義域為R.
∵3x>0,∴3x+1>1.
∵y=log2x在(0,+∞)上單調(diào)遞增,
∴l(xiāng)og2(3
15、x+1)>log21=0,
即f(x)的值域為(0,+∞).
跟蹤訓(xùn)練4 [0,+∞)
解析 ∵當(dāng)x<-1時,
0<3x<3-1=,
當(dāng)x≥1時,log2x≥log21=0,
∴函數(shù)的值域為∪[0,+∞)
=[0,+∞).
例5 解 (1)先畫出函數(shù)y=lg x的圖象(如圖).
(2)再畫出函數(shù)y=lg|x|的圖象(如圖).
(3)最后畫出函數(shù)y=lg|x-1|的圖象(如圖).
跟蹤訓(xùn)練5 解 (1)先畫出函數(shù)y=lg x的圖象(如圖).
(2)再畫出函數(shù)y=lg(x-1)的圖象(如圖).
(3)再畫出函數(shù)y=|lg(x-1)|的圖象(如圖).
16、
例6 (2,4)
解析 因為函數(shù)y=loga(x-1)的圖象過定點(diǎn)(2,0),所以函數(shù)f(x)=4+loga(x-1)的圖象過定點(diǎn)(2,4).
跟蹤訓(xùn)練6?、?
解析 代入(4,2),得2=a4-1,即a3=2,
∴a=>1.
g(x)=loga=-loga(x+1).
在(-1,+∞)上為單調(diào)減函數(shù)且過點(diǎn)(0,0).故填④.
當(dāng)堂訓(xùn)練
1.(2,+∞)
2.(-1,1)∪(1,+∞)
解析 ∵∴
∴定義域為(-1,1)∪(1,+∞).
3.(-∞,0)
4.
解析 ∵u=x+b為單調(diào)增函數(shù),
y=logau為單調(diào)減函數(shù),
∴0