《2017-2018版高中數(shù)學 第一章 統(tǒng)計 8 最小二乘估計學案 北師大版必修3》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2017-2018版高中數(shù)學 第一章 統(tǒng)計 8 最小二乘估計學案 北師大版必修3（8頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 8 最小二乘估計 學習目標　1.了解用最小二乘法建立線性回歸方程的思想，會用給出的公式建立線性回歸方程.2.理解回歸直線與觀測數(shù)據(jù)的關系，能用線性回歸方程進行估計和預測． 知識點一　最小二乘法 思考　具有線性相關關系的散點大致分布在一條直線附近．如何確定這條直線比較合理？ 　 　 　 知識點二　線性回歸方程 思考　數(shù)學上的“回歸”是什么意思？ 　 　 　 梳理　用最小二乘法得到的直線方程稱為__________，a，b是線性回歸方程的系數(shù)． 如果用表示，用表示，則可以求得 b＝ ＝. a＝________. 類型一　線性

2、回歸方程的求法 例1　下表為某地近幾年機動車輛數(shù)與交通事故數(shù)的統(tǒng)計資料． 機動車輛數(shù)x/千臺 95 110 112 120 129 135 150 180 交通事故數(shù)y/千件 6.2 7.5 7.7 8.5 8.7 9.8 10.2 13 (1)請判斷機動車輛數(shù)與交通事故數(shù)之間是否具有線性相關關系，如果不具有線性相關關系，請說明理由； (2)如果具有線性相關關系，求出線性回歸方程． 　 　 　 　 　 反思與感悟　即使散點圖呈餅狀，也可利用公式求出線性回歸方程，但這種方程顯然沒什么價值．故應先畫出散點圖，看是否呈直線

3、形，再求方程． 跟蹤訓練1　以下是某地搜集到的新房屋的銷售價格y和房屋的面積x的數(shù)據(jù)： 房屋面積x(m2) 115 110 80 135 105 銷售價格y(萬元) 24.8 21.6 18.4 29.2 22 (1)畫出數(shù)據(jù)對應的散點圖； (2)求線性回歸方程，并在散點圖中加上回歸直線． 　 　 　 類型二　線性回歸方程的應用 例2　有一個同學家開了一個小賣部，他為了研究氣溫對熱飲銷售的影響，經(jīng)過統(tǒng)計，得到一個賣出的熱飲杯數(shù)與當天氣溫的對比表： 攝氏溫度/℃ －5 0 4 7 12 15 19 23 27 31

4、 36 熱飲杯數(shù) 156 150 132 128 130 116 104 89 93 76 54 (1)畫出散點圖； (2)從散點圖中發(fā)現(xiàn)氣溫與熱飲銷售杯數(shù)之間有什么關系； (3)求線性回歸方程； (4)如果某天的氣溫是2℃，預測這天賣出的熱飲杯數(shù)； (5) 氣溫為2℃時，小賣部一定能夠賣出143杯左右熱飲嗎？為什么？ 　 　 　 　 反思與感悟　線性回歸方程主要用于預測，但這種預測類似于天氣預報，不一定與實際數(shù)據(jù)完全吻合． 跟蹤訓練2　有人統(tǒng)計了同一個省的6個城市某一年的人均國民生產(chǎn)總值(即人均GDP)和這一年各城市患白血病的兒

5、童數(shù)，如下表： 人均GDP/萬元 10 8 6 4 3 1 患白血病的兒童數(shù)/人 351 312 207 175 132 180 (1)畫出散點圖，并判定這兩個變量是否具有線性相關關系； (2)通過計算可知這兩個變量的線性回歸方程為y＝23.25x＋102.15，假如一個城市的人均GDP為12萬元，那么可以斷言，這個城市患白血病的兒童一定超過380人，請問這個斷言是否正確？ 　 　 　 1．下列有關線性回歸的說法，不正確的是(　　) A．自變量取值一定時，因變量的取值帶有一定隨機性的兩個變量之間的關系叫做相關關系 B．在平面直

6、角坐標系中用描點的方法得到表示具有相關關系的兩個變量的一組數(shù)據(jù)的圖形叫作散點圖 C．線性回歸方程最能代表觀測值x、y之間的線性關系 D．任何一組觀測值都能得到具有代表意義的線性回歸方程 2．已知回歸直線的斜率的估計值是1.23，樣本點中心(即(，))為(4,5)，(　　) A．y＝1.23x＋4 B．y＝1.23x＋5 C．y＝1.23x＋0.08 D．y＝0.08x＋1.23 3．某產(chǎn)品的廣告費用x與銷售額y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表： 廣告費用x(萬元) 4 2 3 5 銷售額y(萬元) 49 26 39 54 根據(jù)上表可得線性回歸方程y＝bx＋a中的b為9

7、.4，據(jù)此模型預報廣告費用為6萬元時銷售額為(　　) A．63.6萬元 B．65.5萬元 C．67.7萬元 D．72.0萬元 4．設某大學的女生體重y(單位：kg)與身高x(單位：cm)具有線性相關關系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的線性回歸方程為y＝0.85x－85.71，則下列結論中不正確的是(　　) A．y與x具有正的線性相關關系 B．回歸直線過樣本點的中心(，) C．若該大學某女生身高增加1 cm，則其體重約增加0.85 kg D．若該大學某女生身高為170 cm，則可判定其體重必為58.79 kg 1．求線性回歸方程時

8、應注意的問題 (1)知道x與y成線性相關關系，無需進行相關性檢驗，否則應首先進行相關性檢驗，如果兩個變量之間本身不具有相關關系，或者說，它們之間的相關關系不顯著，即使求出線性回歸方程也是毫無意義的，而且用其估計和預測的量也是不可信的． (2)用公式計算a、b的值時，要先計算b，然后才能算出a. 2．利用線性回歸方程，我們可以進行估計和預測．若線性回歸方程為y＝bx＋a，則x＝x0處的估計值為y0＝bx0＋a. 答案精析 問題導學 知識點一 思考　應該使散點整體上最接近這條直線．最小二乘法是一種求回歸直線的方法，用這種方法求得的回歸直線能使樣本數(shù)據(jù)的點到回歸直線的距離

9、 [y1－(a＋bx1)]2＋[y2－(a＋bx2)]2＋…＋[yn－(a＋bxn)]2最?。? 知識點二 思考　“回歸”一詞最早由英國統(tǒng)計學家(Francils Galton)提出的，本意是子女的身高會向一般人的均值靠攏．現(xiàn)在這個概念引伸到隨機變量有向回歸線集中的趨勢． 梳理　 線性回歸方程　－b 題型探究 例1　解　(1)在平面直角坐標系中畫出數(shù)據(jù)的散點圖，如圖． 直觀判斷散點在一條直線附近，故具有線性相關關系． (2)計算相應的數(shù)據(jù)之和： i＝1 031，i＝71.6， ＝137 835，iyi＝9 611.7， ＝128.875，＝8.95， 將它們代入公式計

10、算得b≈0.077 4，a≈－1.024 9， 所以，所求線性回歸方程為y＝0.077 4x－1.024 9. 跟蹤訓練1　解　(1)數(shù)據(jù)對應的散點圖如圖所示： (2)＝i＝109，＝23.2， ＝60 975，iyi＝12 952. 設所求線性回歸方程為y＝bx＋a， 則b＝≈0.196 2， a＝－b＝23.2－109×0.196 2＝1.814 2， 故所求線性回歸方程為y＝0.196 2x＋1.814 2. 回歸直線如(1)中圖所示． 例2　解　(1)散點圖如圖所示： (2)從上圖看到，各點散布在從左上角到右下角的區(qū)域里，因此，氣溫與熱飲銷售杯數(shù)之間呈負相

11、關，即氣溫越高，賣出去的熱飲杯數(shù)越少． (3)從散點圖可以看出，這些點大致分布在一條直線的附近，因此，可用公式求出線性回歸方程的系數(shù)．利用計算器容易求得線性回歸方程為y＝－2.352x＋147.767. (4)當x＝2時，y＝143.063.因此，某天的氣溫為2℃時，這天大約可以賣出143杯熱飲． (5)小賣部不一定能夠賣出143杯左右熱飲，原因如下：①線性回歸方程中的截距和斜率都是通過樣本估計出來的，存在誤差，這種誤差可以導致預測結果的偏差．②即使截距和斜率的估計沒有誤差，也不可能百分之百地保證對應于x的預報值，能夠與實際值y很接近．我們不能保證點(x，y)落在回歸直線上，甚至不能百分之百地保證它落在回歸直線的附近． 跟蹤訓練2　解　(1)散點圖如下： 根據(jù)散點圖可以看出，在6個點中，雖然第一個點離這條直線較遠，但其余5個點大致分布在這條直線的附近，所以這兩個變量具有線性相關關系． (2)斷言是錯誤的，將x＝12代入y＝23.25x＋102.15得y＝23.25×12＋102.15＝381.15＞380，但381.15是對該城市人均GDP為12萬元的情況下所作的一個估計，該城市患白血病的兒童可能超過380人，也可能低于380人． 當堂訓練 1．D　2.C　3.B　4.D 8