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2017-2018版高中數(shù)學 第一章 集合與函數(shù)概念疑難規(guī)律方法學案 蘇教版必修1

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1、 第一章 集合與函數(shù)概念 1 聚焦“集合”雙基 一、透析“集合”的基礎知識 (一)集合的含義 1.集合的含義是一個描述性的,我們可以理解為一些對象組成的總體就構成集合,其中構成集合的每一個對象稱為集合的元素.所以只要把對象看成整體就可以構成集合. 2.集合的元素的三個特性 (1)確定性:對于一個集合中每一個元素都可以判斷該元素是不是集合中的元素.如“2012年中國效益較好的大型企業(yè)”就不能構成集合,因為“2012年中國效益較好的大型企業(yè)”中的對象是不確定的,效益較好和大型企業(yè)都沒有明確的標準,無法判斷一些企業(yè)是否屬于這個范圍. (2)互異性:互異性是指集合中的元素必須是

2、互不相同的.如集合{x|x2+4x+4=0}={-2},而不能寫成{-2,-2}. (3)無序性:對于一個集合中的元素無先后順序,只要構成兩個集合的元素一樣,這兩個集合就是相等的. (二)集合的表示 1.列舉法:列舉法是將集合中的元素一一列舉出來,并用花括號“{ }”括起來表示集合.用列舉法表示集合時,首先要注意集合中元素的基本形式.例如:集合{1,2}與{(1,2)}是兩個完全不同的集合,{1,2}是由1,2這兩個元素所構成的集合,{(1,2)}是以一個實數(shù)對(1,2)為元素構成的集合.另外,用列舉法表示由許多元素或無限個元素組成的集合時,要注意充分體現(xiàn)元素間的規(guī)律,在花括號內(nèi)列舉出部

3、分元素,其余的元素用省略號表示.例如:所有正整數(shù)構成的集合可記為{1,2,3,4,…,n,…}. 2.描述法:它是指用集合所含元素的共同特征來表示集合的方法.具體可這樣表示:在花括號“{ }”內(nèi)先寫上表示這個集合元素(代表元素)的一般符號及取值范圍,再畫一條豎線,在豎線后寫出這個集合中元素所具有的共同特征.它的一般表示形式為{x∈A|p(x)},豎線前的x就是代表元素.對于描述法中的代表元素應注意以下兩點: (1)應寫清楚該集合中的代表元素.如集合{x|2≤x≤4}不能寫成{2≤x≤4},因為這樣少了代表元素. (2)豎線后邊應對代表元素的取值有準確的表示,比如下面的表示方法是錯誤的:{

4、(x,y)|(-1,0)},事實上,它應表示為{(x,y)|x=-1,y=0},或表示為{(-1,0)}. (三)集合間的基本關系 1.空集是不含任何元素的集合,它雖然不含任何元素,但這樣的集合是客觀存在的.由于空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,所以在研究集合問題時,空集還是很活躍的,一不小心就會出錯.如滿足B?A,就要分B=?和B≠?進行研究. 2.子集可以理解為集合A中的任何一個元素都是集合B的元素,則A是B的子集.比如任何一個整數(shù)都是有理數(shù),也就是說整數(shù)集是有理數(shù)集的子集,可以表示為:Z?Q.但不要理解為A是B中部分元素組成的集合,因為A=?時,A也是B的子集,還有A=

5、B時,A也是B的子集. 3.真子集可以從兩方面理解:一是集合A是集合B的子集,二是集合B中至少有一個元素不屬于集合A.如A={1,2,3,4,5},B={1,2,3,4,5,6},由于6∈B,但6?A,且有A?B,則集合A是集合B的真子集. 4.若兩個集合互相包含,即A?B,且A?B,則稱集合A與集合B相等,記作A=B. (四)集合的基本運算 1.并集:由所有屬于集合A或屬于集合B的元素組成的集合,稱為A與B的并集,記作A∪B. 符號表示:A∪B={x|x∈A,或x∈B}. 相關結論:A∪A=A,A∪?=A,A∪B=B∪A. A∪B中的元素就是把集合A,B中所有元素并在一起構成的

6、集合,要注意集合間元素的互異性,對于既屬于集合A又屬于集合B的元素只能出現(xiàn)一次. 2.交集:由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合,稱為A與B的交集,記作A∩B. 符號表示:A∩B={x|x∈A,且x∈B}. 相關結論:A∩A=A,A∩?=?,A∩B=B∩A. A∩B中的任何元素都是集合A和B的公共元素,當集合A,B沒有公共元素時,不能說集合A,B沒有交集,而是A∩B=?. 3.補集:由全集U中不屬于A的所有元素組成的集合,稱為A在U中的補集,表示為?UA,實際上?UA={x|x∈U,且x?A}.補集的概念是在全集中定義的,是由屬于全集U但不屬于集合A的所有元素構成,集合A和它

7、的補集?UA都是集合U的子集,且A∩(?UA)=?,A∪(?UA)=U,全集不同,則補集也不同. 二、盤點解集合問題的基本方法 (一)列舉法 對于一些有明顯特征的集合,可以將集合中的元素一一列舉出來. 例1 設集合M={1,2,4,8},N={x|x是2的倍數(shù)},則M∩N=________. 解析 因為N={x|x是2的倍數(shù)}={…,0,2,4,6,8,…},所以M∩N={2,4,8}. 答案 {2,4,8} 評注 對于元素易于列舉的集合,通??梢灾苯恿信e. (二)結構相似法 對于用描述法給出的若干集合,判斷它們的關系時,可以把它們各自的屬性化為結構相似的表達式.

8、例2 若集合A={x|x=m+,m∈Z},B={x|x=-,n∈Z},C={x|x=+,p∈Z},則A,B,C之間的關系是________. 解析 集合A中,x=+,m∈Z;集合B中,x=+,n∈Z;集合C中,x=+,p∈Z.不難判斷AB=C. 答案 AB=C (三)數(shù)軸法 當集合中的元素與不等式相關時,可借助于數(shù)軸進行運算具有簡明的直觀效果. 例3 設集合A={x|-1<x-a<1,x∈R},B={x|1<x<5,x∈R},若A∩B=?,則實數(shù)a的取值范圍是________________. 解析 由-1<x-a<1,得a-1<x<a+1. 如圖,可知a+1≤1或a-1≥5

9、.所以a≤0,或a≥6. 答案 {a|a≤0或a≥6} 評注 不等式型集合的交集、并集通??梢越柚鷶?shù)軸來解,解題時注意驗證區(qū)間端點是否符合題意. (四)Venn圖法 借助Venn圖的直觀顯示,常可使集合問題化難為易. 例4 已知A,B均為集合U={1,3,5,7,9}的子集,且A∩B={3},(?UB)∩A={9},則A=________. 解析 如圖,因為A∩B={3},所以3∈A.又因為(?UB)∩A={9},所以9∈A. 答案 {3,9} 2 集合的基本關系與運算                    一、子集——集合問題的核心 一般地,對

10、于兩個集合A與B,如果集合A中的任何一個元素都是集合B中的元素,我們就說集合A包含于集合B,或集合B包含集合A.記作:A?B或B?A.當集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A時,則記作A?B或B?A. 例1 設集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|(x-a)·(x2-1)=0},當a為何值時,A?B? 分析 集合A,B都是用“描述法”表示的方程的解集,為了比較A和B的關系,先考慮將A和B進行化簡. 解 易得集合A={1,2}. 當a=1或a=-1時,B={-1,1}, 此時A?B; 當a≠1且a≠-1時,B={-1,1,a}. 要使A?B,則a=2. 故當a=2時,

11、A?B. 二、交集——兩集合間的“且運算” 由所有屬于集合A且屬于集合B的元素所組成的集合,叫做集合A與B的交集,記為A∩B,即A∩B={x|x∈A,且x∈B},其中關鍵詞為“且”. 例2 設全集U=Z,集合A={-1,0,1,2},B={x|x2-x=0},則A∩(?UB)=________. 分析 先求出集合B,再按集合相關運算法則求解. 解析 因為B={x|x2-x=0}={0,1}, 所以A∩(?UB)={-1,2}. 答案 {-1,2} 三、并集——兩集合間的“或運算” 由所有屬于集合A或屬于集合B的元素所組成的集合,叫做集合A與集合B的并集,記為A∪B,即A∪B=

12、{x|x∈A,或x∈B},其中關鍵詞為“或”. 例3 若全集U=R,集合A={x|-1<x<2},B={x|x=y(tǒng)+1,y∈A},求A∪B. 分析 欲求A∪B,先對B進行化簡. 解 因為y∈A,即-1<y<2,且x=y(tǒng)+1, 所以0<x<3,即B={x|0<x<3}. 所以A∪B={x|-1<x<3}. 四、補集——全集對子集的“差運算” 一般地,設U是一個集合,A是U的一個子集,即A?U,由U中所有不屬于A的元素組成的集合,叫做子集A在全集U中的補集,記為?UA,即?UA={x|x∈U,且x?A},可以理解為全集對子集的差集. 例4 設全集U={2,9,a2+2a-3},集合

13、A={|2a-1|,2},且?UA={5},求實數(shù)a的值. 解 因為U={2,9,a2+2a-3},?UA={5}, 所以a2+2a-3=5.解得a=2或a=-4. 若a=2,則U={2,9,5},A={2,3},不合題意; 若a=-4,則U={2,9,5},A={2,9},符合題意. 故a=-4. 五、等集——一個集合的兩種表示 例5 已知集合M={2,a,b}與集合N={2a,2,b2}是同一個集合,求a、b. 分析 此題應根據(jù)相等的兩個集合元素完全相同及集合中元素的性質建立關系式. 解 兩個集合為同一個集合,則這兩個集合的元素完全相同且與元素的順序無關,于是 或 解

14、之,得或或 又當a=0,b=0時,不滿足互異性,應該舍去. 因此或 評注 解決集合相等的問題,易產(chǎn)生與互異性相矛盾的增解,這需要解題后進行檢驗和修正. 3 集合中的數(shù)形結合思想 數(shù)形結合思想,其實質是將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖形結合起來,使抽象思維和形象思維結合,通過對圖形的認識、數(shù)形結合的轉化,可以培養(yǎng)思維的靈活性、形象性,使問題化難為易、化抽象為具體.通過“形”往往可以解決用“數(shù)”很難解決的問題.集合中常用的方法是數(shù)軸法和Venn圖法. 例1 已知全集為U,U={a|a∈N*且a≤9},且(?UA)∩B={1,9},A∩B={2},(?UA)∩(?UB)={4,6,8}

15、,試確定集合A,B. 分析 若能將題設條件中所給出的各個集合中的元素,都能在Venn圖上表示出來,那么所要確定的集合A,B中的元素,將會從Venn圖上一目了然的得出. 解 將已知條件中的集合 U={a|a∈N*且a≤9}={1,2,3,4,5,6,7,8,9}, (?UA)∩B={1,9},A∩B={2}, (?UA)∩(?UB)={4,6,8},在Venn圖上表示出來,如圖所示. 由Venn圖可以直觀的得出 A={2,3,5,7},B={1,2,9}. 例2 某學校藝術班有100名學生,其中學舞蹈的學生有67人,學唱歌的學生有45人,而學樂器的學生既不能學舞蹈,又不能學唱

16、歌,人數(shù)有21人,那么同時學舞蹈和唱歌的學生有多少人? 解 設只學舞蹈的學生有x人,只學唱歌的學生有y人,既學舞蹈又學唱歌的學生有z人,Venn圖如圖所示. 解得 所以同時學舞蹈和唱歌的有33人. 例3 已知集合A={x|x<-1,或x≥1},B={x|2a

17、利用數(shù)形結合思想將抽象問題直觀化、形象化、明朗化,從而使問題獲解. 4 集合易錯點剖析 一、符號意義不清致錯 例1 已知集合X={0,1},Y={x|x?X},那么下列說法正確的是________.(填序號) ①X是Y的子集; ②X是Y的真子集; ③Y是X的真子集; ④X是Y的元素. 錯解?、? 剖析 集合中符號意義必須清楚. 正解 因為Y={x|x?X} ={{?},{0},{1},{0,1}}, 所以X∈Y.故答案為④. 二、代表元素意義不清致錯 例2 集合A={y|y=x2,x∈R},B={(x,y)|y=x+2,x∈R},則A∩B=________

18、. 錯解 由得或 剖析 導致錯誤的原因是沒有弄清集合中元素的意義,A中的元素是實數(shù)y,而B中的元素是實數(shù)對(x,y),也就是說,集合A為數(shù)集,集合B為點集,因此A、B兩個集合中沒有公共元素,從而這兩個集合的交集為空集. 三、忽視集合元素的互異性致錯 例3 已知集合A={2,3,a2+4a+2},B={0,7,a2+4a-2,2-a},且A∩B={3,7},求集合B. 錯解 由A∩B={3,7}得a2+4a+2=7, 解得a=1或a=-5. 當a=1時,集合B={0,7,3,1}; 當a=-5時,集合B={0,7,3}. 綜上知集合B={0,7,3,1}或B={0,7,3}.

19、 剖析 由題設條件知集合B中有四個元素,集合中出現(xiàn)了相同的元素,與集合中元素的互異性矛盾,導致錯解. 正解 應將當a=-5時的集合B={0,7,3}舍去, 故集合B={0,7,3,1}. 四、忽視空集致錯 例4 已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},若B?A,求實數(shù)m的取值范圍. 錯解 由B?A,得解得2≤m≤3. 剖析 上述解法是初學者解此類問題的典型錯誤解法. 原因是考慮不全面,由集合B的含義及B?A,忽略了集合為?的可能而漏掉解.因此題目若出現(xiàn)包含關系時,應首先想到有沒有出現(xiàn)?的可能. 正解 A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},且B?A. ①若B=?,則m+1>2m-1,解得m<2,此時有B?A; ②若B≠?,則m+1≤2m-1,即m≥2, 由B?A,得,解得2≤m≤3. 由①②得m≤3. 所以實數(shù)m的取值范圍是{m|m≤3}. 8

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