2017-2018版高中數(shù)學(xué) 第三單元 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用疑難規(guī)律方法教學(xué)案 新人教B版選修1-1
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1、 第三單元 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1 巧用法則求導(dǎo)數(shù) 導(dǎo)數(shù)的計(jì)算包括八個(gè)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式,以及和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則,它們是導(dǎo)數(shù)概念的深化,也是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的基礎(chǔ),起到承上啟下的作用.那么在掌握和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則時(shí),要注意哪些問題?有哪些方法技巧可以應(yīng)用?下面就以實(shí)例進(jìn)行說明. 1.函數(shù)和(或差)的求導(dǎo)法則 (f(x)±g(x))′=f′(x)±g′(x) 例1 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù): (1)f(x)=+ln x; (2)f(x)=cos x--1. 解 (1)f′(x)=-+. (2)f′(x)=-sin x- . 點(diǎn)評(píng) 記住基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式是正確求
2、解導(dǎo)數(shù)的關(guān)鍵,此外函數(shù)和(或差)的求導(dǎo)法則可以推廣到任意有限個(gè)可導(dǎo)函數(shù)和(或差)的求導(dǎo). 2.函數(shù)積的求導(dǎo)法則 [f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x) 例2 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù): (1)f(x)=x2ex; (2)f(x)=(x+1)(x+2)(x+3). 解 (1)f′(x)=(x2ex)′=(x2)′ex+x2(ex)′ =2xex+x2ex. (2)f′(x)=[(x+1)(x+2)(x+3)]′ =[(x+1)(x+2)]′(x+3)+(x+1)(x+2)(x+3)′ =[(x+1)′(x+2)+(x+1)(x+2)′](x+3)+(x+1
3、)(x+2) =(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2)=(2x+3)(x+3)+x2+3x+2=3x2+12x+11. 點(diǎn)評(píng) 特別要注意:[f(x)g(x)]′≠f′(x)g′(x). 同時(shí)要記住結(jié)論:若C為常數(shù),則[Cf(x)]′=Cf′(x),由此進(jìn)一步可以得到[af(x)±bg(x)]′=af′(x)±bg′(x). 3.函數(shù)商的求導(dǎo)法則 ′=(g(x)≠0) 例3 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù): (1)f(x)=; (2)f(x)=tan x; (3)f(x)=+ . 解 (1)f′(x)=()′= =. (2)f′(x)=(tan x)′=()′ ==.
4、(3)因?yàn)閒(x)=+= =, 所以f′(x)=()′==. 點(diǎn)評(píng) 應(yīng)在求導(dǎo)之前,先利用代數(shù)、三角恒等變換對(duì)函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn),然后再求導(dǎo),這樣可以減少運(yùn)算,提高運(yùn)算效率. 4.分式求導(dǎo) 對(duì)于能夠裂項(xiàng)的分式型函數(shù),可將函數(shù)轉(zhuǎn)化為幾個(gè)單項(xiàng)式的和差形式,然后再利用和差的導(dǎo)數(shù)公式來解決. 例4 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù): (1)y=; (2)y=. 分析 直接求導(dǎo),或比較煩雜,或無從下手,這時(shí),我們不妨利用數(shù)學(xué)運(yùn)算法則將其分解,那么“曙光就在前頭”. 解 (1)因?yàn)閥==x-1+, 所以y′=1+=1-. (2)因?yàn)閥= =x2+x3+x4, 所以y′=2x+3x2+4x3. 點(diǎn)評(píng)
5、本題啟示我們,對(duì)于某些函數(shù)式,我們應(yīng)先根據(jù)它的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),適當(dāng)?shù)貙?duì)函數(shù)式中的項(xiàng)進(jìn)行合理的“拆”,然后“各個(gè)擊破”. 2 利用導(dǎo)數(shù)求切線方程 曲線的切線問題是高考的常見題型之一.而導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義為曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0))處的切線的斜率,所以利用導(dǎo)數(shù)解決相切問題是常用的方法.下面對(duì)“求過一點(diǎn)的切線方程”的題型做以下歸納. 1.已知切點(diǎn),求曲線的切線方程 此類題只需求出曲線的導(dǎo)數(shù)f′(x),并代入點(diǎn)斜式方程即可. 例1 曲線f(x)=x3-3x2+1在點(diǎn)(1,-1)處的切線方程為( ) A.y=3x-4 B.y=-3x+2 C.y=-4x+3
6、 D.y=4x-5 解析 由f′(x)=3x2-6x知,曲線在點(diǎn)(1,-1)處的斜率為k=f′(1)=-3. 所以切線方程為y-(-1)=-3(x-1),即y=-3x+2.故選B. 答案 B 2.已知過曲線上一點(diǎn),求切線方程 過曲線上一點(diǎn)的切線,該點(diǎn)未必是切點(diǎn),故應(yīng)先設(shè)切點(diǎn),再求切點(diǎn),即用待定切點(diǎn)法. 例2 求過曲線f(x)=x3-2x上的點(diǎn)(1,-1)的切線方程. 解 設(shè)P(x0,y0)為切點(diǎn), 則切線的斜率為f′(x0)=3x-2. 所以切線方程為y-y0=(3x-2)(x-x0), 即y-(x-2x0)=(3x-2)·(x-x0). 又知切線過點(diǎn)(1,-1),
7、所以-1-(x-2x0)=(3x-2)(1-x0), 解得x0=1或x0=-. 故所求切線方程為y-(1-2)=(3-2)(x-1) 或y-(-+1)=(-2)·(x+), 即x-y-2=0或5x+4y-1=0. 點(diǎn)評(píng) 可以發(fā)現(xiàn)直線5x+4y-1=0并不以(1,-1)為切點(diǎn),實(shí)際上是經(jīng)過點(diǎn)(1,-1),且以(-,)為切點(diǎn)的直線.這說明過曲線上一點(diǎn)的切線,該點(diǎn)未必是切點(diǎn). 3.已知過曲線外一點(diǎn),求切線方程 此類題可先設(shè)切點(diǎn),再求切點(diǎn),即用待定切點(diǎn)法來求解. 例3 求過點(diǎn)(2,0)且與曲線f(x)=相切的直線方程. 解 設(shè)P(x0,y0)為切點(diǎn), 則切線的斜率為f′(x0)
8、=-. 所以切線方程為y-y0=-(x-x0), 即y-=-(x-x0). 又已知切線過點(diǎn)(2,0),把它代入上述方程, 得-=-(2-x0). 解得x0=1,y0==1, 所以所求切線方程為y-1=-(x-1),即x+y-2=0. 點(diǎn)評(píng) 點(diǎn)(2,0)實(shí)際上是曲線外的一點(diǎn),但在解答過程中卻無需判斷它的確切位置,這充分反映出待定切點(diǎn)法的高效性. 4.求兩條曲線的公切線 例4 已知曲線C1:y=x2與C2:y=-x2+4x-4,直線l與C1,C2都相切,求直線l的方程. 分析 設(shè)出直線與兩條曲線的切點(diǎn)坐標(biāo),分別求出曲線在切點(diǎn)處的切線方程,再利用兩個(gè)方程所表示的直線重合,建立方程
9、組求解. 解 設(shè)l與C1相切于點(diǎn)P(x1,x),與C2相切于點(diǎn)Q(x2,-x+4x2-4).由C1:y=x2,得y′=2x, 則與C1相切于點(diǎn)P的切線方程為y-x=2x1(x-x1), 即y=2x1x-x.由C2:y=-x2+4x-4,得y′=-2x+4, 則與C2相切于點(diǎn)Q的切線方程為 y=-2(x2-2)x+x-4. 因?yàn)閮汕芯€重合,所以2x1=-2(x2-2)且-x=x-4, 解得x1=0,x2=2或x1=2,x2=0. 所以直線l的方程為y=0或y=4x-4. 點(diǎn)評(píng) 公切線問題的一般解法是分別求出曲線在切點(diǎn)處的切線方程,再利用兩直線重合的條件建立方程組求解.
10、
3 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性常見題型
1.運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的一般步驟:(1)確定函數(shù)的定義域;(2)求導(dǎo)數(shù)f′(x);(3)在定義域內(nèi)解不等式f′(x)>0或f′(x)<0,得單調(diào)區(qū)間.
例1 求函數(shù)f(x)=x(ex-1)-x2的單調(diào)區(qū)間.
解 由已知,得當(dāng)f′(x)=(ex-1)(x+1)=0時(shí),有x=0或x=-1.
當(dāng)x<-1時(shí),f′(x)>0;當(dāng)-1
11、一定不能??;斷開的單調(diào)區(qū)間一般不合寫,也不用“∪”連接,中間用“,”或“和”連接.
例2 已知函數(shù)f(x)=x2+3x-2ln x,則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為________.
分析 先求函數(shù)f(x)的定義域和導(dǎo)數(shù),再結(jié)合定義域解f′(x)<0即可.
解析 函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),
f′(x)=2x+3-.
令f′(x)<0,即2x+3-=<0,
結(jié)合定義域知,x>0且2x2+3x-2<0,
解得0 12、集.
2.證明不等式
例3 求證:當(dāng)x>1時(shí),ln x>-.
分析 可構(gòu)造函數(shù)f(x)=ln x-(-),由于f(1)=0,故若能證明f(x)為(1,+∞)上的增函數(shù),即證明在(1,+∞)上,導(dǎo)函數(shù)f′(x)>0恒成立即可.
證明 令f(x)=ln x-(-),則有f(1)=0.
因?yàn)閒′(x)=+x=>0(x∈(1,+∞)),
所以函數(shù)f(x)為(1,+∞)上的增函數(shù),
又f(1)=0,所以當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f(x)>0恒成立,
即ln x>-.
點(diǎn)評(píng) 證明不等式f(x)>g(x),x∈(a,b)的一般方法:構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)-g(x),x∈(a,b),分析F( 13、x)在區(qū)間(a,b)上的單調(diào)性及最小值與0的大小,進(jìn)而說明F(x)>0在(a,b)內(nèi)恒成立即可.
3.求參數(shù)的取值范圍
例4 已知函數(shù)f(x)=x3-ax2+1.
(1)若函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,2),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,2)內(nèi)單調(diào)遞減,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
分析 注意正確區(qū)分“在某區(qū)間單調(diào)”和“單調(diào)區(qū)間”的概念,避免混淆.
解 (1)由f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,2)可知,0與2是方程f′(x)=3x2-2ax=0的兩根,
故有3×22-2a×2=0,解得a=3.
(2)由函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,2)內(nèi)單調(diào)遞減可知,
f′(x) 14、=3x2-2ax≤0在(0,2)內(nèi)恒成立,
即2a≥3x在區(qū)間(0,2)內(nèi)恒成立.
因?yàn)閤∈(0,2),所以3x∈(0,6),故2a≥6,即a≥3.
經(jīng)驗(yàn)證a=3時(shí)滿足題意,故a的取值范圍為[3,+∞).
點(diǎn)評(píng) 若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增(減)函數(shù),則有f′(x)≥0(f′(x)≤0)對(duì)x∈D恒成立,這類問題,通常利用導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化為不等式在某區(qū)間上的恒成立問題,進(jìn)而把恒成立問題轉(zhuǎn)化為求一個(gè)函數(shù)在某區(qū)間上的最大(小)值問題求解.也可根據(jù)所給區(qū)間是單調(diào)遞增(減)區(qū)間的子區(qū)間求解.
4 巧用導(dǎo)數(shù)求極值
1.函數(shù)的極值點(diǎn)的判定方法
設(shè)函數(shù)f(x)在x0處連續(xù),判定f(x0)是極大( 15、小)值點(diǎn)的方法:(1)如果在x0兩側(cè)f′(x)符號(hào)相同,則x0不是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn);(2)如果在x0附近的左側(cè)f′(x)>0,右側(cè)f′(x)<0,那么f(x0)是極大值;(3)如果在x0附近的左側(cè)f′(x)<0,右側(cè)f′(x)>0,那么f(x0)是極小值.也就是說,極大值點(diǎn)可以看成是函數(shù)遞增區(qū)間與遞減區(qū)間的分界點(diǎn),極大值是極大值點(diǎn)附近曲線由上升到下降的過渡點(diǎn)的函數(shù)值.極小值則是極小值點(diǎn)附近曲線由下降到上升的過渡點(diǎn)的函數(shù)值.
2.極值常見題型詳解
(1)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值
例1 求函數(shù)f(x)=xln x的極值點(diǎn).
解 f′(x)=ln x+1,x>0.
而f′(x)>0?l 16、n x+1>0?x>,
f′(x)<0?ln x+1<0?0 17、)=0,得x=.
當(dāng)x∈(0,)時(shí),f′(x)>0,f(x)是遞增的;
當(dāng)x∈(,+∞)時(shí),f′(x)<0,f(x)是遞減的.
所以當(dāng)x=時(shí),f(x)有極大值,
極大值為f()=ln -1=-ln a-1.
綜上所述,當(dāng)a≤0時(shí),f(x)的遞增區(qū)間為(0,+∞),無極值;
當(dāng)a>0時(shí),f(x)的遞增區(qū)間為(0,),
遞減區(qū)間為(,+∞),極大值為-ln a-1.
點(diǎn)評(píng) 本題通過求導(dǎo),把問題轉(zhuǎn)化為含參數(shù)的不等式問題,需要對(duì)問題進(jìn)行討論,討論時(shí)需要全面,避免遺漏.
(3)極值問題的逆向考查
例3 已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx-a2-7a在x=1處取得極大值10,則的值為 18、( )
A.- B.-2
C.-2或- D.不存在
解析 由題意知f′(x)=3x2+2ax+b.
所以
解得或 經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意,
所以=-.故選A.
答案 A
點(diǎn)評(píng) 本題是已知極值求參數(shù),逆向考查了極值的含義,解題關(guān)鍵是需要對(duì)所求參數(shù)進(jìn)行討論,是否滿足極值的條件.如果不滿足,需要舍去.
5 分類討論思想在導(dǎo)數(shù)中如何應(yīng)用
分類討論思想在導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用非常廣泛,尤其是在求含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值或最值的問題中,那么如何確定分類討論的標(biāo)準(zhǔn)呢?
1.按導(dǎo)數(shù)為零的根的大小來分類
例1 設(shè)函數(shù)f(x)=-x(x-a)2(x∈R),其中a 19、∈R且a≠0,求函數(shù)f(x)的極大值和極小值.
解 f′(x)=-(3x-a)(x-a),令f′(x)=0,
解得x=a或x=.
當(dāng)a>,即a>0,x∈(-∞,)時(shí),f′(x)<0,
x∈(,a)時(shí),f′(x)>0,x∈(a,+∞)時(shí),f′(x)<0,
因此,函數(shù)f(x)在x=處取得極小值-a3,在x=a處取得極大值0.
當(dāng)a<,即a<0,x∈(-∞,a)時(shí),f′(x)<0,
x∈(a,)時(shí),f′(x)>0,x∈(,+∞)時(shí),f′(x)<0,
因此,函數(shù)f(x)在x=處取得極大值-a3,在x=a處取得極小值0.
點(diǎn)評(píng) 本題對(duì)f(x)求導(dǎo)后,得到一個(gè)二次函數(shù),令f′(x)=0得 20、到的兩個(gè)根是含有參數(shù)的,因此應(yīng)按兩個(gè)根的大小來分類.
2.按是否為二次函數(shù)來分類
例2 已知函數(shù)f(x)=ln x-ax+-1(a≤),討論f(x)的單調(diào)性.
解 f′(x)=-,x∈(0,+∞),
令h(x)=ax2-x+1-a,x∈(0,+∞),
(1)當(dāng)a=0時(shí),h(x)=-x+1,x∈(0,+∞),
當(dāng)x∈(0,1)時(shí),h(x)>0,此時(shí)f′(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減;
當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),h(x)<0,此時(shí)f′(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增.
(2)當(dāng)a≠0時(shí),由f′(x)=0,解得x1=1,x2=-1,
①當(dāng)a=,即x1=x2時(shí),h(x)≥0恒成立,
21、此時(shí)f′(x)≤0,f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減;
②當(dāng)01>0,
x∈(0,1)時(shí),h(x)>0,f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,
x∈(1,-1)時(shí),h(x)<0,f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,
x∈(-1,+∞)時(shí),h(x)>0,f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;
③當(dāng)a<0時(shí),-1<0<1,
x∈(0,1)時(shí),h(x)>0,f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,
x∈(1,+∞)時(shí),h(x)<0,f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增.
綜上所述,當(dāng)a≤0時(shí),函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增;
當(dāng)a=時(shí),函數(shù)f(x)在(0,
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