《2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三章 概率 3.3 隨機(jī)數(shù)的含義與應(yīng)用 3.3.1-3.3.2 隨機(jī)數(shù)的含義與應(yīng)用教學(xué)案 新人教B版必修3》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三章 概率 3.3 隨機(jī)數(shù)的含義與應(yīng)用 3.3.1-3.3.2 隨機(jī)數(shù)的含義與應(yīng)用教學(xué)案 新人教B版必修3（10頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 3．3.1 & 3.3.2　幾何概型　隨機(jī)數(shù)的含義與應(yīng)用 預(yù)習(xí)課本P109～114，思考并完成以下問題 (1)什么是幾何概型？ 　 　 (2)幾何概型的概率計(jì)算公式是什么？ 　 　 (3)隨機(jī)數(shù)的含義是什么？它的主要作用有哪些？ 　 　 　　　　 1．幾何概型 (1)定義：事件A理解為區(qū)域Ω的某一子區(qū)域A，A的概率只與子區(qū)域A的幾何度量(長(zhǎng)度、面積或體積)成正比，而與A的位置和形狀無關(guān)．滿足以上條件的試驗(yàn)稱為幾何概型． (2)計(jì)算公式： P(A)＝，其中μΩ表示區(qū)域Ω的幾何度量，μA表示子區(qū)域A的幾何度量． 2．隨機(jī)數(shù) (1)含義 隨機(jī)數(shù)就

2、是在一定范圍內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生的數(shù)，并且得到這個(gè)范圍內(nèi)的每一個(gè)數(shù)的機(jī)會(huì)一樣． (2)產(chǎn)生 ①在函數(shù)型計(jì)算器上，每次按 鍵都會(huì)產(chǎn)生一個(gè)0～1之間的隨機(jī)數(shù)． ②Scilab中用rand(　)函數(shù)來產(chǎn)生0～1的均勻隨機(jī)數(shù)．如果要產(chǎn)生a～b之間的隨機(jī)數(shù)，可以使用變換rand(　)*(b－a)＋a得到． 1．用隨機(jī)模擬方法得到的頻率(　　) A．大于概率　　　　　　　 B．小于概率 C．等于概率 D．是概率的近似值 答案：D 2．已知集合M＝{x|－2≤x≤6}，N＝{x|0≤2－x≤1}，在集合M中任取一個(gè)元素x，則x∈M∩N的概率是(　　) A. B. C. D. 解析：選B

3、　因?yàn)镹＝{x|0≤2－x≤1}＝{x|1≤x≤2}，又M＝{x|－2≤x≤6}，所以M∩N＝{x|1≤x≤2}，所以所求的概率為＝. 3.如圖所示，半徑為4的圓中有一個(gè)小狗圖案，在圓中隨機(jī)撒一粒豆子，它落在小狗圖案內(nèi)的概率是，則小狗圖案的面積是(　　) A. B. C. D. 解析：選D　設(shè)小狗圖案的面積為S1，圓的面積S＝π×42＝16π，由幾何概型的計(jì)算公式得＝，得S1＝.故選D. 4．在區(qū)間[－1,1]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則x∈[0,1]的概率為________． 解析：根據(jù)幾何概型的概率的計(jì)算公式，可得所求概率為＝. 答案： 與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型 [典

4、例]　(1)在區(qū)間[－1,2]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則|x|≤1的概率為________． (2)某汽車站每隔15 min有一輛汽車到達(dá)，乘客到達(dá)車站的時(shí)刻是任意的，求一位乘客到達(dá)車站后等車時(shí)間超過10 min的概率． [解析]　(1)∵區(qū)間[－1,2]的長(zhǎng)度為3，由|x|≤1，得x∈[－1,1]，而區(qū)間[－1,1]的長(zhǎng)度為2，x取每個(gè)值為隨機(jī)的，∴在[－1,2]上取一個(gè)數(shù)x，|x|≤1的概率P＝. 答案： (2)解：設(shè)上一輛車于時(shí)刻T1到達(dá)，而下一輛車于時(shí)刻T2到達(dá)，則線段T1T2的長(zhǎng)度為15，設(shè)T是線段T1T2上的點(diǎn)，且T1T＝5，T2T＝10，如圖所示． 記“等車時(shí)間超過10

5、min”為事件A，則當(dāng)乘客到達(dá)車站的時(shí)刻t落在線段T1T上(不含端點(diǎn))時(shí)，事件A發(fā)生． ∴P(A)＝＝＝， 即該乘客等車時(shí)間超過10 min的概率是. 1．解幾何概型概率問題的一般步驟 (1)選擇適當(dāng)?shù)挠^察角度(一定要注意觀察角度的等可能性)； (2)把基本事件轉(zhuǎn)化為與之對(duì)應(yīng)的區(qū)域D； (3)把所求隨機(jī)事件A轉(zhuǎn)化為與之對(duì)應(yīng)的區(qū)域I； (4)利用概率公式計(jì)算． 2．與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型問題的計(jì)算公式 如果試驗(yàn)的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用長(zhǎng)度表示，則其概率的計(jì)算公式為： P(A)＝.　　 [活學(xué)活用] 一個(gè)路口的紅燈亮的時(shí)間為30秒，黃燈亮的時(shí)間為5秒，綠燈亮的時(shí)間為

6、40秒，當(dāng)你到達(dá)路口時(shí)，看見下列三種情況的概率各是多少？ (1)紅燈亮； (2)黃燈亮； (3)不是紅燈亮． 解：在75秒內(nèi)，每一時(shí)刻到達(dá)路口亮燈的時(shí)間是等可能的，屬于幾何概型． (1)P＝＝＝. (2)P＝＝＝. (3)法一：P＝＝＝＝. 法二：P＝1－P(紅燈亮)＝1－＝. 與面積和體積有關(guān)的幾何概型 [典例]　(1)(福建高考)如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0)，且點(diǎn)C與點(diǎn)D在函數(shù)f(x)＝的圖象上．若在矩形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率等于(　　) A.　　　　　　　　　　 B. C. D. (2)有一個(gè)底面圓的

7、半徑為1、高為2的圓柱，點(diǎn)O為這個(gè)圓柱底面圓的圓心，在這個(gè)圓柱內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為________． [解析]　(1)依題意得，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,2)，所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為(－2,2)，所以矩形ABCD的面積S矩形ABCD＝3×2＝6，陰影部分的面積S陰影＝×3×1＝，根據(jù)幾何概型的概率求解公式，得所求的概率P＝＝＝，故選B. (2)先求點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離小于1或等于1的概率，圓柱的體積V圓柱＝π×12×2＝2π，以O(shè)為球心，1為半徑且在圓柱內(nèi)部的半球的體積V半球＝×π×13＝π.則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離小于1或等于1的概率為：＝，故點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為：1－＝.

8、 [答案]　(1)B　(2) 1．與面積有關(guān)的幾何概型的概率公式 如果試驗(yàn)的結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用面積表示，則其概率的計(jì)算公式為： P(A)＝. 2．與體積有關(guān)的幾何概型概率的求法 如果試驗(yàn)的結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用體積表示，則其概率的計(jì)算公式為 P(A)＝.　　　　 [活學(xué)活用] 1．在一球內(nèi)有一棱長(zhǎng)為1的內(nèi)接正方體，一點(diǎn)在球內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則此點(diǎn)落在正方體內(nèi)部的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：選D　由題意可得正方體的體積為V1＝1.又球的直徑是正方體的體對(duì)角線，故球的半徑R＝.球的體積V2＝πR3＝π.則此點(diǎn)落在正方體內(nèi)的概率為P＝

9、＝＝. 2．若將一個(gè)質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)投入如圖所示的長(zhǎng)方形ABCD中，其中AB＝2，BC＝1，則質(zhì)點(diǎn)落在以AB為直徑的半圓內(nèi)的概率是(　　) A. B. C. D. 解析：選B　設(shè)質(zhì)點(diǎn)落在以AB為直徑的半圓內(nèi)為事件A，則P(A)＝＝＝. 隨機(jī)模擬法的應(yīng)用 [典例]　利用隨機(jī)模擬法計(jì)算圖中陰影部分(曲線y＝2x與x軸、x＝±1圍成的部分)的面積． [解]　設(shè)事件A＝“隨機(jī)向正方形內(nèi)投點(diǎn)，所投的點(diǎn)落在陰影部分”． S1　用計(jì)數(shù)器n記錄做了多少次投點(diǎn)試驗(yàn)，用計(jì)數(shù)器m記錄其中有多少次(x，y)滿足－1

10、0； S2　用變換rand()*2－1產(chǎn)生－1～1之間的均勻隨機(jī)數(shù)x表示所投的點(diǎn)的橫坐標(biāo)；用變換rand()*2產(chǎn)生0～2之間均勻隨機(jī)數(shù)y表示所投的點(diǎn)的縱坐標(biāo)； S3　判斷點(diǎn)是否落在陰影部分，即是否滿足y<2x，如果是，則計(jì)數(shù)器m的值加1，即m＝m＋1，如果不是，m的值保持不變； S4　表示隨機(jī)試驗(yàn)次數(shù)的計(jì)數(shù)器n的值加1，即n＝n＋1，如果還要繼續(xù)試驗(yàn)，則返回步驟S2繼續(xù)執(zhí)行，否則，程序結(jié)束． 程序結(jié)束后事件A發(fā)生的頻率作為事件A的概率的近似值． 設(shè)陰影部分的面積為S，正方形的面積為4，由幾何概型計(jì)算公式得P(A)＝.所以＝.所以S＝.即為陰影部分面積的近似值． 利用隨機(jī)模擬法

11、估計(jì)圖形面積的步驟 (1)把已知圖形放在平面直角坐標(biāo)系中，將圖形看成某規(guī)則圖形(長(zhǎng)方形或圓等)內(nèi)的一部分，并用陰影表示； (2)利用隨機(jī)模擬方法在規(guī)則圖形內(nèi)任取一點(diǎn)，求出落在陰影部分的概率P(A)＝； (3)設(shè)陰影部分的面積是S，規(guī)則圖形的面積是S′，則有＝，解得S＝S′，則已知圖形面積的近似值為S′.　　　　 [活學(xué)活用] 取一根長(zhǎng)度為3 cm的繩子，拉直后在任意位置剪斷，用隨機(jī)模擬法估算剪得兩段的長(zhǎng)都不小于1 cm的概率有多大？ 解：設(shè)事件A＝“剪得兩段的長(zhǎng)都不小于1 cm”． S1　用記數(shù)器n記錄做了多少次試驗(yàn)，用記數(shù)器m記錄其中有多少個(gè)數(shù)出現(xiàn)在1～2之間(即得兩段的長(zhǎng)都

12、不小于1 cm)，首先置n＝0，m＝0； S2　用變換rand(　)*3，產(chǎn)生0～3之間的均勻隨機(jī)數(shù)x； S3　判斷剪得兩段是否長(zhǎng)度都大于1 cm，即是否滿足1≤x≤2，若是，則記數(shù)器m的值增加1，即m＝m＋1，若不是，m的值不變； S4　表示隨機(jī)試驗(yàn)次數(shù)的記數(shù)器n的值加1，即n＝n＋1；如果還需試驗(yàn)，則返回S2，繼續(xù)執(zhí)行，否則程序結(jié)束． 程序結(jié)束后事件A發(fā)生的頻率作為事件A的概率的近似值． [層級(jí)一　學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)] 1.如圖，一顆豆子隨機(jī)扔到桌面上，則它落在非陰影區(qū)域的概率為(　　) A.　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：選C　試驗(yàn)發(fā)生的范圍是整個(gè)桌面，其

13、中非陰影部分面積占整個(gè)桌面的＝，而豆子落在任一點(diǎn)是等可能的，所以豆子落在非陰影區(qū)域的概率為，故選C. 2.如圖所示，在一個(gè)邊長(zhǎng)為a，b(a＞b＞0)的矩形內(nèi)畫一個(gè)梯形，梯形上、下底長(zhǎng)分別為與，高為b.向該矩形內(nèi)隨機(jī)地投一點(diǎn)，則所投的點(diǎn)落在梯形內(nèi)部的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：選C　S矩形＝ab，S梯形＝b＝ab. 故所投的點(diǎn)在梯形內(nèi)部的概率為P＝＝＝. 3．已知函數(shù)f(x)＝log2x，x∈，在區(qū)間上任取一點(diǎn)x0，則使f(x0)≥0的概率為________． 解析：欲使f(x)＝log2x≥0， 則x≥1，而x∈，∴x0∈[1,2]， 從而由幾何概型

14、概率公式知所求概率P＝＝. 答案： 4．已知正三棱錐S-ABC的底面邊長(zhǎng)為4，高為3，在正三棱錐內(nèi)任取一點(diǎn)P，使得VP-ABC

15、邊CD的中點(diǎn)，若在矩形ABCD內(nèi)部隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q取自△ABE內(nèi)部的概率等于(　　) A. B. C. D. 解析：選C　△ABE的面積是矩形ABCD面積的一半，由幾何概型知，點(diǎn)Q取自△ABE內(nèi)部的概率為. 3.如圖所示，一半徑為2的扇形(其中扇形中心角為90°)，在其內(nèi)部隨機(jī)地撒一粒黃豆，則它落在陰影部分的概率為(　　) A. B. C. D．1－ 解析：選D　S扇形＝×π×22＝π， S陰影＝S扇形－S△OAB＝π－×2×2＝π－2， ∴P＝＝1－. 4．在區(qū)間[－1,1]上任取兩數(shù)x和y，組成有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，記事件A為“x2＋y2＜1”，則P(A

16、)為(　　) A. B. C．π D．2π 解析：選A　如圖，集合S＝{(x，y)|－1≤x≤1，－1≤y≤1}，則S中每個(gè)元素與隨機(jī)事件的結(jié)果一一對(duì)應(yīng)，而事件A所對(duì)應(yīng)的事件(x，y)與圓x2＋y2＝1內(nèi)的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，所以P(A)＝. 5．方程x2＋x＋n＝0(n∈(0,1))有實(shí)根的概率為________． 解析：由于方程x2＋x＋n＝0(n∈(0,1))有實(shí)根， ∴Δ≥0，即1－4n≥0，∴n≤， 又n∈(0,1)，∴有實(shí)根的概率為P＝＝. 答案： 6．在400毫升自來水中有一個(gè)大腸桿菌，今從中隨機(jī)取出2毫升水樣放到顯微鏡下觀察，則發(fā)現(xiàn)大腸桿菌的概率為_______

17、_． 解析：大腸桿菌在400毫升自來水中的位置是任意的，且結(jié)果有無限個(gè)，屬于幾何概型．設(shè)取出2毫升水樣中有大腸桿菌為事件A，則事件A構(gòu)成的區(qū)域體積是2毫升，全部試驗(yàn)結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域體積是400毫升， 則P(A)＝＝0.005. 答案：0.005 7．在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A1B1C1D1內(nèi)任取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離小于等于a的概率為________． 解析：點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離小于等于a可以看做是隨機(jī)的，點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離小于等于a可視作構(gòu)成事件的區(qū)域，棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A1B1C1D1可視做試驗(yàn)的所有結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域，可用“體積比”公式計(jì)算概率． P＝＝π. 答案：π

18、 8.如圖，射箭比賽的箭靶涂有五個(gè)彩色的分環(huán)．從外向內(nèi)依次為白色、黑色、藍(lán)色、紅色，靶心為金色．金色靶心叫“黃心”．奧運(yùn)會(huì)的比賽靶面直徑為122 cm，靶心直徑為12.2 cm.運(yùn)動(dòng)員在70 m外射箭．假設(shè)運(yùn)動(dòng)員射的箭都能中靶，且射中靶面內(nèi)任一點(diǎn)都是等可能的，那么射中黃心的概率為多少？ 解：記“射中黃心”為事件B，由于中靶點(diǎn)隨機(jī)地落在面積為×π×1222 cm2的大圓內(nèi)，而當(dāng)中靶點(diǎn)落在面積為×π×12.22 cm2的黃心時(shí)，事件B發(fā)生，于是事件B發(fā)生的概率為P(B)＝＝0.01. 即“射中黃心”的概率是0.01. 9．已知圓C：x2＋y2＝12，直線l：4x＋3y＝25. (1)求圓C的圓心到直線l的距離； (2)求圓C上任意一點(diǎn)A到直線l的距離小于2的概率． 解：(1)由點(diǎn)到直線l的距離公式可得d＝＝5. (2)由(1)可知圓心到直線l的距離為5，要使圓上的點(diǎn)到直線的距離小于2，設(shè)與圓相交且與直線l平行的直線為l1，其方程為4x＋3y＝15.則符合題意的點(diǎn)應(yīng)在l1：4x＋3y＝15與圓相交所得劣弧上，由半徑為2，圓心到直線l1的距離為3可知劣弧所對(duì)圓心角為60°. 故所求概率為P＝＝. 10