《2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二講 證明不等式的基本方法復(fù)習(xí)課學(xué)案 新人教A版選修4-5》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二講 證明不等式的基本方法復(fù)習(xí)課學(xué)案 新人教A版選修4-5（6頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第二講 證明不等式的基本方法 復(fù)　習(xí)　課 [整合·網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建] [警示·易錯提醒] 1．比較法的一個易錯點． 忽略討論導(dǎo)致錯誤，當(dāng)作差所得的結(jié)果“正負(fù)不明”時，應(yīng)注意分類討論． 2．分析法和綜合法的易錯點． 對證明方法不理解導(dǎo)致證明錯誤，在不等式的證明過程中，常因?qū)Ψ治龇ㄅc綜合法的證明思想不理解而導(dǎo)致錯誤． 3．反證法與放縮法的注意點． (1)反證法中對結(jié)論否定不全． (2)應(yīng)用放縮法時放縮不恰當(dāng)． 專題一　比較法證明不等式 比較法是證明不等式的最基本、最重要的方法，主要有作差比較法和作商比較法，含根號時常采用比平方差或立方差．基本步驟是作差(商)—變

2、形—判斷—結(jié)論，關(guān)鍵是變形，變形的目的是判號(與1的大小關(guān)系)，變形的方法主要有配方法、因式分解法等． [例?]　若x，y，z∈R，a＞0，b＞0，c＞0.求證：x2＋y2＋z2≥2(xy＋yz＋zx)． 證明：因為x2＋y2＋z2－2(xy＋yz＋zx)＝ ＋＋ ＝＋ ＋≥0， 所以x2＋y2＋z2≥2(xy＋yz＋zx)成立． 歸納升華 作差法證明不等式的關(guān)鍵是變形，變形是證明推理中一個承上啟下的關(guān)鍵，變形的目的在于判斷差的符號，而不是考慮能否化簡或值是多少，變形所用的方法要具體情況具體分析，可以配方，可以因式分解，可以運(yùn)用一切有效的恒等變形的方法． [變式訓(xùn)練]　已

3、知a，b∈R，求證：a2＋b2＋1≥ab＋a＋b. 證明：法一　因為a2＋b2－ab－a－b＋1＝[(a－b)2＋(a－1)2＋(b－1)2]≥0， 所以a2＋b2＋1≥ab＋a＋b. 法二　a2＋b2－ab－a－b＋1＝a2－(b＋1)a＋b2－b＋1， 對于a的二次三項式， Δ＝(b＋1)2－4(b2－b＋1)＝－3(b－1)2≤0， 所以a2－(b＋1)a＋b2－b＋1≥0， 故a2＋b2＋1≥ab＋a＋b. 專題二　綜合法證明不等式 綜合法證明不等式的思維方式是“順推”，即由已知的不等式出發(fā)，逐步推出其必要條件(由因?qū)Ч?，最后推導(dǎo)出所要證明的不等式成立． 證明時要

4、注意的是：作為依據(jù)和出發(fā)點的幾個重要不等式(已知或已證)成立的條件往往不同，應(yīng)用時要先考慮是否具備應(yīng)有的條件，避免錯誤． [例2]　設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且a＋b＋c＝1，求證： ＋＋≥1. 證明：因為＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c， 故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)， 則＋＋≥a＋b＋c. 所以＋＋≥1. 歸納升華 綜合法證明的實質(zhì)是由因?qū)Ч渥C明的邏輯關(guān)系是：A?B1?B2?…?Bn?B(A為已知條件或數(shù)學(xué)定義、定理、公理，B為要證的結(jié)論)，它的常見書面表達(dá)式是“因為……所以……”或“?”． [變式訓(xùn)練]　設(shè)a＞0，b＞0，a＋b＝1，求證：＋＋≥8.

5、證明：因為a＞0，b＞0，a＋b＝1， 所以1＝a＋b≥2，≤，所以≥4. 所以＋＋＝(a＋b)＋≥2·2＋4＝8， 所以＋＋≥8， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝時，等號成立． 專題三　用分析法證明不等式 分析法證明不等式的思維方法是“逆推”，即由待證的不等式出發(fā)，逐步逆求它要成立的充分條件(執(zhí)果索因)，最后得到的充分條件是已知(或已證)的不等式． 當(dāng)要證的不等式不知從何入手時，可考慮用分析法去證明，特別是對于條件簡單而結(jié)論復(fù)雜的題目，往往更為有效． [例3]　已知a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求證：＜a. 證明：要證＜a，只需證b2－ac＜3a2. 因為a＋b＋c＝0，只需證b2＋a

6、(a＋b)＜3a2， 只需證2a2－ab－b2＞0， 只需證(a－b)(2a＋b)＞0， 只需證(a－b)(a－c)＞0. 因為a＞b＞c，所以a－b＞0，a－c＞0， 所以(a－b)(a－c)＞0顯然成立， 故原不等式成立． 歸納升華 1．分析法的格式是固定的，但是必須注意推演過程中的每一步都是尋求相應(yīng)結(jié)論成立的充分條件． 2．分析法是“執(zhí)果索因”，逐步尋求上一步成立的充分條件，而綜合法是“由因?qū)Ч?，逐步推?dǎo)出不等式成立的必要條件，兩者是對立統(tǒng)一的．一般來說，對于較復(fù)雜的不等式，直接用綜合法往往不易入手，因此通常用分析法探索證題途徑，然后用綜合法加以證明，所以分析法和綜合

7、法可結(jié)合使用． [變式訓(xùn)練]　已知a＞b＞0，求證：－＜. 證明：要證－＜， 即證＜＋， 只需證a＜b＋2＋a－b， 只需證0＜2. 由a＞b＞0知最后一個不等式成立， 故原不等式成立． 專題四　用反證法證明不等式 反證法常用于直接證明困難或結(jié)論以否定形式出現(xiàn)的命題，涉及“都是”“都不是”“至少”“至多”等形式的命題． [例4]　若0＜a＜2，0＜b＜2，0＜c＜2，求證：(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a不能同時大于1. 證明：假設(shè)三數(shù)能同時大于1， 即(2－a)b＞1，(2－b)c＞1，(2－c)a＞1， 那么≥＞1， 同理＞1，＞1， 三式相加＞3，

8、 即3＞3. 上式顯然是錯誤的，所以該假設(shè)不成立． 所以(2－a)b，(2－b)c，(2－c)a不能同時都大于1. 歸納升華 反證法是從否定結(jié)論出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾，從而肯定原命題正確的證明方法，其步驟為： (1)分清命題的條件和結(jié)論，假設(shè)出與命題結(jié)論相矛盾的假定命題(否定結(jié)論)； (2)從假定和條件出發(fā)，應(yīng)用正確的推理方法，推出矛盾； (3)斷定產(chǎn)生矛盾的原因在于開始所做的假設(shè)不正確，于是原命題成立，從而間接證明了原命題為真命題． [變式訓(xùn)練]　已知：在如圖所示的△ABC中，∠BAC＞90°，D是BC的中點． 求證：AD＜BC. 證明：假設(shè)AD≥BC. (1

9、)若AD＝BC，由平面幾何中定理“若三角形一邊上的中線等于該邊長的一半，那么，這條邊所對的角為直角”，即∠BAC＝90°，與題設(shè)矛盾． 所以AD≠BC. (2)若AD＞BC，因為BD＝DC＝BC， 所以在△ABD中，AD＞BD，從而∠B＞∠BAD. 同理∠C＞∠CAD. 所以∠B＋∠C＞∠BAD＋∠CAD， 即∠B＋∠C＞∠BAC. 因為∠B＋∠C＝180°－∠BAC，所以180°－∠BAC＞∠BAC，則∠BAC＜90°，與已知矛盾． 由(1)(2)知AD＜BC. 專題五　用放縮法證明不等式 在證明不等式時，有時需要舍去或添加一些項，有時需要拆項，使不等式的一邊放大或縮小，

10、然后利用不等式的傳遞性達(dá)到證明的目的．某些不等式可構(gòu)造出函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性放縮證明．運(yùn)用放縮法證明的關(guān)鍵是放縮要適當(dāng)． [例5]　已知a，b，c為三角形的三條邊，求證：＋＞ . 證明：設(shè)f(x)＝，x∈(0，＋∞)，0＜x1＜x2， 則f(x2)－f(x1)＝－＝＞0， 所以f(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)． 因為a，b，c為三角形的三條邊， 于是a＋b＞c，則＞. 又＋＞＋＝， 故＋＞. 歸納升華 用放縮法證明不等式時，常見的放縮依據(jù)或技巧是不等式的傳遞性．縮小分母，擴(kuò)大分子，分式值增大；縮小分子，擴(kuò)大分母，分式值減小；全量不小于部分；每次縮小其和變小，但需大于所求；每一次擴(kuò)大其和變大，但需小于所求，即不能放縮不夠或放縮過頭．同時，放縮有時需便于求和． [變式訓(xùn)練]　求證：1＋＋＋＋…＋＜3(n∈N*，且n＞1)． 證明：由＜＝(k是大于2的自然數(shù))，得1＋＋＋＋…＋＜1＋1＋＋＋＋…＋＝1＋＝3－＜3. 6