《2018年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題08 平面向量教學(xué)案 理》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2018年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題08 平面向量教學(xué)案 理（27頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 專題08 平面向量 高考側(cè)重考查正、余弦定理與其他知識(shí)(如三角函數(shù)、平面向量等)的綜合應(yīng)用，試題一般為中檔題，各種題型均有可能出現(xiàn)． 預(yù)測(cè)2018年高考仍將以正、余弦定理的綜合應(yīng)用為主要考點(diǎn)，重點(diǎn)考查計(jì)算能力及應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析、解決問題的能力． 1．向量的基本概念 (1)既有大小又有方向的量叫做向量． (2)零向量的模為0，方向是任意的，記作0. (3)長(zhǎng)度等于1的向量叫單位向量． (4)長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫相等向量． (5)方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也叫共線向量．零向量和任一向量平行． 2．共線向量定理 向量a(a≠0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)存在唯

2、一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b＝λa. 3．平面向量基本定理 如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 4．兩向量的夾角 已知兩個(gè)非零向量a和b，在平面上任取一點(diǎn)O，作＝a，＝b，則∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫作a與b的夾角． 5．向量的坐標(biāo)表示及運(yùn)算 (1)設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則 a±b＝(x1±x2，y1±y2)，λa＝(λx1，λy1)． (2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝(x2－x1，y2－y1)． 6．平面向量共線的坐標(biāo)表示 已知a＝(x1，y

3、1)，b＝(x2，y2)， 當(dāng)且僅當(dāng)x1y2－x2y1＝0時(shí)，向量a與b共線． 7．平面向量的數(shù)量積 設(shè)θ為a與b的夾角． (1)定義：a·b＝|a||b|cosθ. (2)投影：＝|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影． 8．?dāng)?shù)量積的性質(zhì) (1)a⊥b?a·b＝0； (2)當(dāng)a與b同向時(shí)，a·b＝|a|·|b|；當(dāng)a與b反向時(shí)，a·b＝－|a|·|b|；特別地，a·a＝|a|2； (3)|a·b|≤|a|·|b|； (4)cosθ＝. 9．?dāng)?shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2) (1)a·b＝x1x2＋y1y2； (2)|

4、a|＝； (3)a⊥b?x1x2＋y1y2＝0； (4)cosθ＝. 【誤區(qū)警示】 1．兩向量夾角的范圍是[0，π]，a·b>0與〈a，b〉為銳角不等價(jià)；a·b<0與〈a，b〉為鈍角不等價(jià)． 2．點(diǎn)共線和向量共線，直線平行與向量平行既有聯(lián)系又有區(qū)別． 3．a(chǎn)在b方向上的投影為，而不是. 4．若a與b都是非零向量，則λa＋μb＝0?a與b共線，若a與b不共線，則λa＋μb＝0?λ＝μ＝0. 考點(diǎn)一　平面向量的概念及運(yùn)算 例1． 【2017課標(biāo)1，理13】已知向量a，b的夾角為60°，|a|=2，|b|=1，則| a +2 b |= . 【答案】 所以.

5、 【變式探究】(2016·高考全國(guó)甲卷)已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，則m＝________. 解析：基本法：∵a∥b，∴a＝λb 即(m,4)＝λ(3，－2)＝(3λ，－2λ) ∴故m＝－6. 速解法：根據(jù)向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算求解： ∵a＝(m,4)，b＝(3，－2)，a∥b ∴m×(－2)－4×3＝0 ∴－2m－12＝0，∴m＝－6. 答案：－6 【變式探究】(1)已知點(diǎn)A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，則向量＝(　　) A．(－7，－4)　　　　　　　　B．(7,4) C．(－1,4) D．(1,4) 答案：A

6、【舉一反三】向量的三角形法則要保證各向量“首尾相接”；平行四邊形法則要保證兩向量“共起點(diǎn)”，結(jié)合幾何法、代數(shù)法(坐標(biāo))求解． (2)設(shè)D，E，F(xiàn)分別為△ABC的三邊BC，CA，AB的中點(diǎn)，則＋＝(　　) A. B. C. D. 解析：基本法一：設(shè)＝a，＝b，則＝－b＋a，＝－a＋b，從而＋＝＋＝(a＋b)＝，故選A. 基本法二：如圖，＋＝＋＋＋＝＋＝(＋) ＝·2＝. 答案：A 考點(diǎn)二　平面向量數(shù)量積的計(jì)算與應(yīng)用 例2．【2017天津，理13】在中，，，.若，，且，則的值為___________. 【答案】 【變式探究】(2016·高考全國(guó)丙卷)已知向量

7、＝，＝，則∠ABC＝(　　) A．30° B．45° C．60° D．120° 解析：基本法：根據(jù)向量的夾角公式求解． ∵＝，＝，∴||＝1，||＝1，·＝×＋×＝， ∴cos∠ABC＝cos〈，〉＝＝. ∵0°≤〈，〉≤180°，∴∠ABC＝〈，〉＝30°. 速解法：如圖，B為原點(diǎn)，則A ∴∠ABx＝60°，C∠CBx＝30°，∴∠ABC＝30°. 答案：A 【變式探究】(1)向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，則(2a＋b)·a＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 答案：C 【舉一反三】當(dāng)向量以幾何圖形的形式(有向線段)出現(xiàn)時(shí)，其數(shù)量

8、積的計(jì)算可利用定義法；當(dāng)向量以坐標(biāo)形式出現(xiàn)時(shí)，其數(shù)量積的計(jì)算用坐標(biāo)法；如果建立坐標(biāo)系，表示向量的有向線段可用坐標(biāo)表示，計(jì)算向量較簡(jiǎn)單． (2)已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，E為CD的中點(diǎn)，則·＝________. 解析：基本法：以、為基底表示和后直接計(jì)算數(shù)量積． ＝＋，＝－， ∴·＝·(－) ＝||2－||2＝22－×22＝2. 速解法：(坐標(biāo)法)先建立平面直角坐標(biāo)系，結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求解． 如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸，AD所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0,0)，B(2,0)，D(0,2)，E(1,2)， ∴＝(1,2)，＝(－2,

9、2)， ∴·＝1×(－2)＋2×2＝2. 答案：2 考點(diǎn)三 平面向量的綜合應(yīng)用 例3、【2017課標(biāo)3，理12】在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上.若= +，則+的最大值為 A．3 B．2 C． D．2 【答案】A 【解析】如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系 【舉一反三】【2017江蘇，16】 已知向量 （1）若a∥b,求x的值； （2）記,求的最大值和最小值以及對(duì)應(yīng)的的值. 【答案】（1）（2）時(shí)，取得最大值，為3； 時(shí)，取得最小值，為. （2）. 因?yàn)?，所以? 從而. 于是，當(dāng)，即時(shí)， 取到最大

10、值3； 當(dāng)，即時(shí)， 取到最小值. 1.【2017課標(biāo)3，理12】在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上.若= +，則+的最大值為 A．3 B．2 C． D．2 【答案】A 【解析】如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系 設(shè) 根據(jù)等面積公式可得圓的半徑是，即圓的方程是 ，若滿足 即 ， ，所以，設(shè) ，即，點(diǎn)在圓上，所以圓心到直線的距離，即 ，解得，所以的最大值是3，即的最大值是3，故選A。 2.【2017北京，理6】設(shè)m,n為非零向量，則“存在負(fù)數(shù)，使得”是“”的 （A）充分而不必要條件

11、 （B）必要而不充分條件 （C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件 【答案】A 3.【2017課標(biāo)II，理12】已知是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則的最小是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】如圖，以為軸， 的垂直平分線為軸， 為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則， ， ，設(shè)，所以， ， ，所以， ，當(dāng)時(shí)，所求的最小值為，故選B． 4.【2017課標(biāo)1，理13】已知向量a，b的夾角

12、為60°，|a|=2，|b|=1，則| a +2 b |= . 【答案】 5.【2017天津，理13】在中，，，.若，，且，則的值為___________. 【答案】 【解析】 ,則 . 6.【2017山東，理12】已知是互相垂直的單位向量，若與的夾角為，則實(shí)數(shù)的值是 . 【答案】 7．【2017浙江，15】已知向量a，b滿足則的最小值是________，最大值是_______． 【答案】4， 【解析】設(shè)向量的夾角為，由余弦定理有： ， ，則： ， 令，則， 據(jù)此可得： ， 即的最小值是4，最大值是． 8.【2017

13、浙江，10】如圖，已知平面四邊形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC與BD交于點(diǎn)O，記，，，則 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因?yàn)椋?， ，所以，故選C。 9.【2017江蘇，12】如圖,在同一個(gè)平面內(nèi)，向量,,的模分別為1,1,,與的夾角為,且tan=7,與的夾角為45°.若, 則 ▲ . A C B O (第12題) 【答案】3 10.【2017江蘇，16】 已知向量 （1）若a∥b,求x的值； （2）記,求的最大值和最小值以及對(duì)應(yīng)的的值. 【答案】（1）（2）時(shí)，取得最大值，為

14、3； 時(shí)，取得最小值，為. （2）. 因?yàn)?，所以? 從而. 于是，當(dāng)，即時(shí)， 取到最大值3； 當(dāng)，即時(shí)， 取到最小值. 1.【2016高考新課標(biāo)2理數(shù)】已知向量，且，則（ ） （A）－8 （B）－6 （C）6 （D）8 【答案】D 【解析】向量，由得，解得，故選D. 2.【2016高考江蘇卷】如圖，在中，是的中點(diǎn)，是上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，， ，則 的值是 ▲ . 【答案】 3.【2016年高考四川理數(shù)】在平面內(nèi)，定點(diǎn)A，B，C，D滿足 ==,===-2，動(dòng)

15、點(diǎn)P，M滿足 =1，=，則的最大值是( ) （A） （B） （C） （D） 【答案】B 【解析】甴已知易得.以為原點(diǎn)，直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則設(shè)由已知，得，又 ，它表示圓上的點(diǎn)與點(diǎn)的距離的平方的，，故選B. 4.【2016高考江蘇卷】如圖，在中，是的中點(diǎn)，是上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，， ，則 的值是 ▲ . 【答案】 【2015高考福建，理9】已知 ，若 點(diǎn)是 所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且 ，則 的最大值等于（ ） A．13 B． 15 C．19

16、 D．21 【答案】A 【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，， ，即，所以，，因此 ，因?yàn)椋?的最大值等于，當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)． 【2015高考湖北，理11】已知向量，，則 . 【答案】9 【2015高考山東，理4】已知菱形的邊長(zhǎng)為 ， ,則（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】D 【解析】因?yàn)? 故選D. 【2015高考陜西，理7】對(duì)任意向量，下列關(guān)系式中不恒成立的是（ ） A． B． C．

17、 D． 【答案】B 【解析】因?yàn)?，所以選項(xiàng)A正確；當(dāng)與方向相反時(shí)，不成立，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；向量的平方等于向量的模的平方，所以選項(xiàng)C正確；，所以選項(xiàng)D正確．故選B． 【2015高考四川，理7】設(shè)四邊形ABCD為平行四邊形，，.若點(diǎn)M，N滿足，，則（ ） （A）20 （B）15 （C）9 （D）6 【答案】C 【2015高考安徽，理8】是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，已知向量，滿足，，則下列結(jié)論正確的是（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】D 【解

18、析】如圖， 由題意，，則，故錯(cuò)誤；，所以，又，所以，故錯(cuò)誤；設(shè)中點(diǎn)為，則，且，而，所以，故選D. 【2015高考福建，理9】已知 ，若 點(diǎn)是 所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且 ，則 的最大值等于（ ） A．13 B． 15 C．19 D．21 【答案】A 【2015高考天津，理14】在等腰梯形 中,已知 ,動(dòng)點(diǎn) 和 分別在線段 和 上,且, 則的最小值為 . 【答案】 【解析】因?yàn)?，? ，， 當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)的最小值為. 1. 【2014高考福建卷第8題】在下列向量組中，可以把向量表示出來的

19、是（ ） A. B . C. D. 【答案】B 【解析】由于平面向量的基本定理可得,不共線的向量都可與作為基底.只有成立.故選B. 【考點(diǎn)定位】平面向量的基本定理. 2. 【2014高考廣東卷理第5題】已知向量，則下列向量中與成的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【考點(diǎn)定位】空間向量數(shù)量積與空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算 3. 【2014高考湖南卷第16題】在平面直角坐標(biāo)系中,為原點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)滿足=1，則的最大值是_________. 【答案】 【考點(diǎn)定位】參數(shù)方程、三角函數(shù)

20、 4. 【2014高考江蘇卷第12題】如圖在平行四邊形中，已知，，則的值是 . A D C B P 【答案】22 【解析】由題意，，， 所以， 即，解得． 【考點(diǎn)定位】向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積． 5. 【2014陜西高考理第13題】設(shè)，向量，若，則_______. 【答案】 【考點(diǎn)定位】共線定理；三角恒等變換. 6. 【2014高考安徽卷理第10題】在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量點(diǎn)滿足.曲線，區(qū)域.若為兩段分離的曲線，則( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】設(shè)，則，，區(qū)域表示的是平面上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離從到之間

21、，如下圖中的陰影部分圓環(huán)，要使為兩段分離的曲線，則，故選A. 【考點(diǎn)定位】平面向量的應(yīng)用、線性規(guī)劃. 7. 【2014高考北京卷理第10題】已知向量、滿足，，且（），則 . 【答案】 【解析】當(dāng)，則，于是，因?yàn)?，所以? 又因?yàn)?，所? 【考點(diǎn)定位】平面向量的模 8. 【2014高考湖北卷理第11題】設(shè)向量，，若，則實(shí)數(shù) . 【答案】 【解析】 因?yàn)?，? 因?yàn)?，所以，解? 【考點(diǎn)定位】平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積 10. 【2014江西高考理第15題】已知單位向量與的夾角為，且，向量與的夾角為，則= . 【答案】

22、 【考點(diǎn)定位】向量數(shù)量積及夾角 11. 【2014遼寧高考理第5題】設(shè)是非零向量，已知命題P：若，，則；命題q：若，則，則下列命題中真命題是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由題意可知，命題P是假命題；命題q是真命題，故為真命題. 【考點(diǎn)定位】命題的真假 12. 【2014全國(guó)1高考理第15題】已知為圓上的三點(diǎn)，若，則與的夾角為_______． 【答案】． 【解析】由，故三點(diǎn)共線，且是線段中點(diǎn)，故是圓的直徑，從而，因此與的夾角為 【考點(diǎn)定位】平面向量基本定理 13. 【2014全國(guó)2高考理第3題】設(shè)向量a,b滿足|a+b|=，|a-b

23、|=，則ab = ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 5 【答案】A 【考點(diǎn)定位】本小題主要考查平面向量的模、平面向量的數(shù)量積等平面向量 14. 【2014高考安徽卷理第15題】已知兩個(gè)不相等的非零向量?jī)山M向量和均由2個(gè)和3個(gè)排列而成.記，表示所有可能取值中的最小值.則下列命題的是_________（寫出所有正確命題的編號(hào)）. ①有5個(gè)不同的值. ②若則與無關(guān). ③若則與無關(guān). ④若，則. ⑤若，則與的夾角為 ，∴，∴，故⑤錯(cuò)誤.所以正確的編號(hào)為②④ 【考點(diǎn)定位】平面向量的運(yùn)算、平面向量的數(shù)量積. 15

24、. 【2014四川高考理第7題】平面向量，，（），且與的夾角等于與的夾角，則（ ） A． B． C． D． 【答案】 D. 【解析】 由題意得：，選D. 法二、由于OA，OB關(guān)于直線對(duì)稱，故點(diǎn)C必在直線上，由此可得 【考點(diǎn)定位】向量的夾角及向量的坐標(biāo)運(yùn)算. 16. 【2014浙江高考理第8題】記，，設(shè)為平面向量，則（ ） A. B. C. D. 【答案】Ｄ 【考點(diǎn)定位】向量運(yùn)算的幾何意義. 17. 【2014重慶高考理第4題】已知向量，且，則實(shí)數(shù)=（ ）

25、 D. 【答案】C 【解析】因?yàn)樗? 又因?yàn)?，所以，，所以，，解得? 故選C. 【考點(diǎn)定位】平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算、平面向量的數(shù)量積. 19. 【2014大綱高考理第4題】若向量滿足：則 （ ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B． 【解析】把①代入②得故選B． 【考點(diǎn)定位】1.向量垂直的充要條件；2. 平面向量的數(shù)量積運(yùn)算． 20. 【2014高考陜西第18題】在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)在三邊圍成的 區(qū)域（含邊界）上 （1）若，求； （2）設(shè)，用表示，

26、并求的最大值. 【答案】（1）；（2），1. 【考點(diǎn)定位】平面向量的線性運(yùn)算、線性規(guī)劃. 21.【2014高考上海理科第16題】如圖，四個(gè)棱長(zhǎng)為1的正方體排成一個(gè)正四棱柱，AB是一條側(cè)棱，是上底面上其余的八個(gè)點(diǎn)，則的不同值的個(gè)數(shù)為（ ） （A）1 (B)2 (C)4 (D)8 【答案】A 【解析】如圖，與上底面垂直，因此， ． 【考點(diǎn)定位】數(shù)量積的定義與幾何意義． 22.【2014高考上海理科第14題】已知曲線C：，直線l：x=6.若對(duì)于點(diǎn)A（m，0）,存在C上的點(diǎn)P和l上的點(diǎn)Q使得，則m的取值范圍為 . 【答案】 【考點(diǎn)定位】向量的坐標(biāo)運(yùn)算． 27