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2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程章末復(fù)習(xí)提升教學(xué)案 新人教B版選修1-1

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1、 第二章 圓錐曲線與方程 1.能夠熟練使用直接法、待定系數(shù)法、定義法求橢圓方程,能夠用“坐標(biāo)法”研究橢圓的基本性質(zhì),能夠利用數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、參數(shù)法解決橢圓中的有關(guān)問題. 2.能夠根據(jù)所給的幾何條件熟練地求出雙曲線方程,并能靈活運(yùn)用雙曲線定義、參數(shù)間的關(guān)系解決相關(guān)問題;準(zhǔn)確理解參數(shù)a、b、c、e的關(guān)系、漸近線及其幾何意義,并靈活運(yùn)用. 3.會(huì)根據(jù)方程形式或焦點(diǎn)位置判斷拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的類型;會(huì)根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程確定其幾何性質(zhì)以及會(huì)由幾何性質(zhì)確定拋物線的方程.了解拋物線的一些實(shí)際應(yīng)用. 題型一 圓錐曲線定義的應(yīng)用 研究有關(guān)點(diǎn)間的距離的最值問題時(shí),常用定

2、義把曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到另一焦點(diǎn)的距離或利用定義把曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離,再結(jié)合幾何圖形利用幾何意義去解決有關(guān)的最值問題. 例1 若點(diǎn)M(1,2),點(diǎn)C是橢圓+=1的右焦點(diǎn),點(diǎn)A是橢圓的動(dòng)點(diǎn),則|AM|+|AC|的最小值是________. 答案 8-2 解析 設(shè)點(diǎn)B為橢圓的左焦點(diǎn),則B(-3,0),點(diǎn)M(1,2)在橢圓內(nèi),那么|BM|+|AM|+|AC|≥|AB|+|AC|=2a, 所以|AM|+|AC|≥2a-|BM|, 而a=4,|BM|==2, 所以(|AM|+|AC|)min=8-2. 跟蹤演練1 拋物線y2=2px(p>0)上有A(x1

3、,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)三點(diǎn),F(xiàn)是它的焦點(diǎn),若|AF|,|BF|,|CF|成等差數(shù)列,則(  ) A.x1,x2,x3成等差數(shù)列 B.y1,y2,y3成等差數(shù)列 C.x1,x3,x2成等差數(shù)列 D.y1,y3,y2成等差數(shù)列 答案 A 解析 如圖,過A、B、C分別作準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為A′,B′,C′,由拋物線定義: |AF|=|AA′|,|BF|=|BB′|,|CF|=|CC′|. ∵2|BF|=|AF|+|CF|, ∴2|BB′|=|AA′|+|CC′|. 又∵|AA′|=x1+,|BB′|=x2+,|CC′|=x3+, ∴2(x2+)=x1

4、++x3+?2x2=x1+x3, ∴選A. 題型二 有關(guān)圓錐曲線性質(zhì)的問題 有關(guān)求圓錐曲線的焦點(diǎn)、離心率、漸近線等是考試中常見的問題,只要掌握好基本公式和概念,充分理解題意,大都可以順利求解. 例2 雙曲線-=1(a>0,b>0)的兩條漸近線互相垂直,那么該雙曲線的離心率是(  ) A.2B.C.D. 答案 C 解析 雙曲線-=1的兩條漸近線方程為y=±x,依題意·(-) =-1,故=1, 所以=1即e2=2,所以雙曲線的離心率e=.故選C. 跟蹤演練2 已知橢圓+=1和雙曲線-=1有公共的焦點(diǎn),那么雙曲線的漸近線方程是(  ) A.x=±yB.y=±x C.x=±yD.

5、y=±x 答案 D 解析 由雙曲線方程判斷出公共焦點(diǎn)在x軸上, ∴橢圓焦點(diǎn)(±,0), 雙曲線焦點(diǎn)(±,0), ∴3m2-5n2=2m2+3n2,∴m2=8n2, 又∵雙曲線漸近線為y=±·x, ∴由m2=8n2,|m|=2|n|,得y=±x. 題型三 直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題 1.直線和圓錐曲線的位置關(guān)系可分為三類:無公共點(diǎn)、僅有一個(gè)公共點(diǎn)及有兩個(gè)相異的公共點(diǎn).其中,直線與圓錐曲線僅有一個(gè)公共點(diǎn),對(duì)于橢圓,表示直線與其相切;對(duì)于雙曲線,表示與其相切或直線與雙曲線的漸近線平行;對(duì)于拋物線,表示與其相切或直線與其對(duì)稱軸平行. 2.有關(guān)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的題目可能會(huì)涉及

6、直線與圓錐曲線的關(guān)系中的弦長(zhǎng)、焦點(diǎn)弦及弦中點(diǎn)問題、取值范圍、最值等問題. 3.這類問題綜合性強(qiáng),分析這類問題,往往利用數(shù)形結(jié)合的思想和“設(shè)而不求”的方法、對(duì)稱的方法及根與系數(shù)的關(guān)系等. 例3 已知向量a=(x,y),b=(1,0)且(a+b)⊥(a-b). (1)求點(diǎn)Q(x,y)的軌跡C的方程; (2)設(shè)曲線C與直線y=kx+m相交于不同的兩點(diǎn)M、N,又點(diǎn)A(0,-1),當(dāng)|AM|=|AN|時(shí),求實(shí)數(shù)m的取值范圍. 解 (1)由題意,得 a+b=(x+,y),a-b=(x-,y), ∵(a+b)⊥(a-b),∴(a+b)·(a-b)=0, 即(x+)(x-)+y·y=0. 化

7、簡(jiǎn)得+y2=1, ∴Q點(diǎn)的軌跡C的方程為+y2=1. (2)由 得(3k2+1)x2+6mkx+3(m2-1)=0, 由于直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn), ∴Δ>0,即m2<3k2+1.① (ⅰ)當(dāng)k≠0時(shí),設(shè)弦MN的中點(diǎn)為P(xP,yP),xM、xN分別為點(diǎn)M、N的橫坐標(biāo),則xP==-, 從而yP=kxP+m=, kAP==-, 又|AM|=|AN|,∴AP⊥MN. 則-=-,即2m=3k2+1,② 將②代入①得2m>m2,解得00,解得m>, 故所求的m的取值范圍是. (ⅱ)當(dāng)k=0時(shí),|AM|=|AN|, ∴AP⊥MN,由m2<3k2+

8、1,解得-1b>0)的離心率為,短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為. (1)求橢圓C的方程; (2)設(shè)直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn),坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離為,求△AOB面積的最大值. 解 (1)設(shè)橢圓的半焦距為c,依題意有 ∴c=,b=1.∴所求橢圓方程為+y2=1. (2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2). ①當(dāng)AB⊥x軸時(shí),|AB|=. ②當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí), 設(shè)直線AB的方程為y=kx+m. 由已知=,得m2=(k2+1). 把y

9、=kx+m代入橢圓方程, 整理得(3k2+1)x2+6kmx+3m2-3=0, ∴x1+x2=,x1x2=. ∴|AB|2=(1+k2)(x2-x1)2 =(1+k2) ==· 當(dāng)k≠0時(shí)|AB|2=3+=3+ ≤3+=4. 當(dāng)且僅當(dāng)9k2=,即k=±時(shí)等號(hào)成立. 此時(shí)Δ=12(3k2+1-m2)>0, 當(dāng)k=0時(shí),|AB|=3.綜上所述,|AB|max=2. ∴當(dāng)|AB|最大時(shí),△AOB面積取得最大值 S=×|AB|max×=. 1.圓錐曲線的定義是圓錐曲線問題的根本,利用圓錐曲線的定義解題是高考考查圓錐曲線的一個(gè)重要命題點(diǎn),在歷年的高考試題中曾多次出現(xiàn). 2

10、.圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是用代數(shù)方法研究圓錐曲線的幾何性質(zhì)的基礎(chǔ),高考對(duì)圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的考查方式有兩種:一個(gè)是在解答題中作為試題的入口進(jìn)行考查;二是在選擇題和填空題中結(jié)合圓錐曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)進(jìn)行考查. 3.圓錐曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)是圓錐曲線的重點(diǎn)內(nèi)容,高考對(duì)此進(jìn)行重點(diǎn)考查,主要考查橢圓與雙曲線的離心率的求解、雙曲線的漸近線方程的求解,試題一般以圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等為主進(jìn)行交匯命題. 4.雖然考綱中沒有直接要求關(guān)于直線與圓錐曲線相結(jié)合的知識(shí),但直線與圓錐曲線是密不可分的,如雙曲線的漸近線、拋物線的準(zhǔn)線、圓錐曲線的對(duì)稱軸等都是直線.高考不但不回避直線與圓錐曲線,而且在試題中進(jìn)行重點(diǎn)考查,考查方式既可以是選擇題、填空題,也可以是解答題. 5.高考對(duì)圓錐曲線的考查是綜合性的,這種綜合性體現(xiàn)在圓錐曲線、直線、圓、平面向量、不等式等知識(shí)的相互交匯,高考對(duì)圓錐曲線的綜合考查主要是在解答題中進(jìn)行,一般以橢圓或者拋物線為依托,全面考查圓錐曲線與方程的求法、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,考查函數(shù)、方程、不等式、平面向量等在解決問題中的綜合運(yùn)用. 6

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