《2017-2018版高中數(shù)學(xué) 第一章 常用邏輯用語(yǔ)疑難規(guī)律方法學(xué)案 北師大版選修1-1》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2017-2018版高中數(shù)學(xué) 第一章 常用邏輯用語(yǔ)疑難規(guī)律方法學(xué)案 北師大版選修1-1（8頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第一章 常用邏輯用語(yǔ) 1　解邏輯用語(yǔ)問(wèn)題的三絕招 1．化為集合——理清關(guān)系 充分(必要)條件是高中學(xué)段的一個(gè)重要概念，并且是理解上的一個(gè)難點(diǎn)．要解決這個(gè)難點(diǎn)，將抽象的概念用直觀、形象的圖形表示出來(lái)，看得見(jiàn)、想得通，才是最好的方法．本節(jié)使用集合模型對(duì)充要條件的外延與內(nèi)涵作了直觀形象的解釋，實(shí)踐證明效果較好．集合模型解釋如下： ①A是B的充分條件，即A?B.(如圖1) ②A是B的必要條件，即B?A.(如圖2) ③A是B的充要條件，即A＝B.(如圖3) 　　 圖1　　　　 　　圖2　　　　　　圖3 ④A是B的既不充分又不必要條件，即A∩B＝?或A、B既有公共元素也有非

2、公共元素． 或 例1　“x2－3x＋2≥0”是“x≥1”的________________條件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分又不必要”) 解析　設(shè)命題p：“x2－3x＋2≥0”，q：“x≥1”對(duì)應(yīng)的集合分別為A、B，則A＝{x|x≤1或x≥2}，B＝{x|x≥1}，顯然“A?B，B?A”，因此“x2－3x＋2≥0”是“x≥1”的既不充分又不必要條件． 答案　既不充分又不必要 2．抓住量詞——對(duì)癥下藥 全稱命題與特稱命題是兩類特殊的命題，這兩類命題的否定又是這部分內(nèi)容中的重要概念，解決有關(guān)此類命題的題目時(shí)一定要抓住決定命題性質(zhì)的量詞，理解其相應(yīng)的含義，從而

3、對(duì)癥下藥． 例2　(1)已知命題p：“任意x∈[1,2]，x2－a≥0”，與命題q：“存在x∈R，x2＋2ax＋2＋a＝0”都是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_____________． (2)已知命題p：“存在x∈[1,2]，x2－a≥0”與命題q：“存在x∈R，x2＋2ax＋2＋a＝0”都是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)___________． 解析　(1)將命題p轉(zhuǎn)化為“當(dāng)x∈[1,2]時(shí)， (x2－a)min≥0”，即1－a≥0，即a≤1. 命題q：即方程有解，Δ＝(2a)2－4×(2＋a)≥0， 解得a≤－1或a≥2.綜上所述，a≤－1. (2)將命題p轉(zhuǎn)化為當(dāng)x∈[1

4、,2]時(shí)，(x2－a)max≥0， 即4－a≥0，即a≤4.命題q同(1)． 綜上所述a≤－1或2≤a≤4. 答案　(1)(－∞，－1]　(2)(－∞，－1]∪[2,4] 點(diǎn)評(píng)　認(rèn)真比較兩題就會(huì)發(fā)現(xiàn)，兩題形似而神異，所謂失之毫厘，謬之千里，需要我們抓住這類問(wèn)題的本質(zhì)——量詞，有的放矢． 3．等價(jià)轉(zhuǎn)化——提高速度 在四種命題的關(guān)系、充要條件、簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞與存在量詞中，時(shí)時(shí)刻刻滲透著等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，例如互為逆否命題的兩個(gè)命題(原命題與逆否命題或逆命題與否命題)一定同真或同假，它們就是等價(jià)的；但原命題與逆命題不等價(jià)，即原命題為真，其逆命題不一定為真． 例3　設(shè)p：q：x2＋

5、y2≤r2 (r>0)，若q是綈p的充分不必要條件，求r的取值范圍． 分析　“q是綈p的充分不必要條件”等價(jià)于“p是綈q的充分不必要條件”．設(shè)p、q對(duì)應(yīng)的集合分別為A、B，則可由A?RB出發(fā)解題． 解　設(shè)p、q對(duì)應(yīng)的集合分別為A、B，將本題背景放到直角坐標(biāo)系中，則點(diǎn)集A表示平面區(qū)域，點(diǎn)集?RB表示到原點(diǎn)距離大于r的點(diǎn)的集合，即圓x2＋y2＝r2外的點(diǎn)的集合． ∵A?RB表示區(qū)域A內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的最近距離大于r， ∴直線3x＋4y－12＝0上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最近距離大于r， ∵原點(diǎn)O到直線3x＋4y－12＝0的距離 d＝＝，∴r的取值范圍為0

6、分不必要條件即為x2＋y2≤r2 (r>0)在p：所對(duì)應(yīng)的區(qū)域的外部，也是可以解決的．但以上解法將“q是綈p的充分不必要條件”等價(jià)轉(zhuǎn)化為“p是綈q的充分不必要條件”，更好地體現(xiàn)了相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想方法． 2　命題的否定與否命題辨與析 否命題與命題的否定是邏輯關(guān)系中的兩個(gè)相似知識(shí)點(diǎn)，但又有著本質(zhì)的區(qū)別，應(yīng)注意弄清它們的區(qū)別和正確表述，下面從以下兩個(gè)方面來(lái)看一下它們的區(qū)別． 1．否命題與命題的否定的概念 設(shè)命題“若A，則B”為原命題，那么“若綈A，則綈B”為原命題的否命題，“若A，則綈B”為原命題的否定．所以從概念上看“否命題”是對(duì)原命題的條件和結(jié)論同時(shí)否定后得到的新命題，而且否定的條

7、件仍為條件，否定的結(jié)論仍為結(jié)論．“命題的否定”是對(duì)原命題結(jié)論的全盤否定，即“命題的否定”與原命題的條件相同，結(jié)論相反． 例1　寫出下列命題的否命題及否定： (1)若|x|＋|y|＝0，則x，y全為0； (2)函數(shù)y＝x＋b的值隨x的增加而增加． 分析　問(wèn)題(1)直接依據(jù)格式寫出相應(yīng)的命題；問(wèn)題(2)先改寫成“若A，則B”的形式，然后再寫出相應(yīng)的命題． 解　(1)原命題的條件為“|x|＋|y|＝0”，結(jié)論為“x，y全為0”． 寫原命題的否命題需同時(shí)否定條件和結(jié)論，所以原命題的否命題為“若|x|＋|y|≠0，則x，y不全為0”． 寫原命題的否定只需否定結(jié)論，所以原命題的否定為“若|x

8、|＋|y|＝0，則x，y不全為0”． (2)原命題可以改寫為“若x增加，則函數(shù)y＝x＋b的值也隨之增加”． 否命題為“若x不增加，則函數(shù)y＝x＋b的值也不增加”； 命題的否定為“若x增加，則函數(shù)y＝x＋b的值不增加”． 2．否命題與命題的否定的真假 從命題的真假上看，原命題與其否命題的真假?zèng)]有必然的關(guān)系，原命題為真，其否命題可能為真，也可能為假；原命題為假，其否命題可能為真，也可能為假．但是原命題與其否定的真假必相反，原命題為真，則其否定為假；原命題為假，則其否定為真．這也可以作為檢驗(yàn)寫出的命題是否正確的標(biāo)準(zhǔn)． 例2　寫出下列命題的否命題與命題的否定，并判斷原命題、否命題和命題的否

9、定的真假： (1)若x2<4，則－20且n>0，則m＋n>0. 分析　依據(jù)定義分別寫出否命題與命題的否定．根據(jù)不等式及方程的性質(zhì)逐個(gè)判斷其真假． 解　(1)否命題：“若x2≥4，則x≥2或x≤－2”． 命題的否定：“若x2<4，則x≥2或x≤－2”． 通過(guò)解不等式可以知道，原命題為真，否命題為真，命題的否定為假． (2)否命題：“若m≤0或n≤0，則m＋n≤0”． 命題的否定：“若m>0且n>0，則m＋n≤0”． 由不等式的性質(zhì)可以知道，原命題為真，否命題為假，命題的否定為假. 3　走出邏輯用語(yǔ)中的誤區(qū) 誤區(qū)1　所有不等式、集合運(yùn)算式都不是

10、命題 例1　判斷下列語(yǔ)句是不是命題，若是命題，判斷其真假． (1)x＋2>0；(2)x2＋2>0； (3)A∩B＝A∪B；(4)A?A∪B. 錯(cuò)解　(1)、(2)、(3)、(4)都不是命題． 剖析　(1)中含有未知數(shù)x，且x不定，所以x＋2的值也不定，故無(wú)法判斷x＋2>0是否成立，不能判斷其真假，故(1)不是命題； (2)x雖為未知數(shù)，但x2≥0，所以x2＋2≥2，故可判斷x2＋2>0成立，故(2)為真命題． (3)若A＝B，則A∩B＝A∪B＝A＝B； 若AB，則A∩B＝AA∪B＝B. 由于A，B的關(guān)系未知，所以不能判斷其真假，故(3)不是命題． (4)A為A∪B的子集

11、，故A?A∪B成立，故(4)為真命題． 正解　(2)、(4)是命題，且都為真命題． 誤區(qū)2　原命題為真，其否命題必為假 例2　判斷下列命題的否命題的真假： (1)若a＝0，則ab＝0； (2)若a2>b2，則a>b. 錯(cuò)解　(1)因?yàn)樵}為真命題，故其否命題是假命題； (2)因?yàn)樵}為假命題，故其否命題為真命題． 剖析　否命題的真假與原命題的真假?zèng)]有關(guān)系，否命題的真假不能根據(jù)原命題的真假來(lái)判斷，應(yīng)先寫出命題的否命題，再判斷． 正解　(1)否命題為：若a≠0，則ab≠0，是假命題； (2)否命題為：若a2≤b2，則a≤b，是假命題． 誤區(qū)3　搞不清誰(shuí)是誰(shuí)的條件 例3　

12、使不等式x－3>0成立的一個(gè)充分不必要條件是(　　) A．x>3 B．x>4 C．x>2 D．x∈{1,2,3} 錯(cuò)解　由不等式x－3>0成立， 得x>3，顯然x>3?x>2， 又x>2D?/x>3，因此選C. 剖析　若p的一個(gè)充分不必要條件是q，則q?p，pD?/q.本題要求使不等式x－3>0成立的一個(gè)充分不必要條件，又x>4?x－3>0，而x－3>0D?/x>4，所以使不等式x－3>0成立的一個(gè)充分不必要條件為x>4. 正解　B 誤區(qū)4　用“且”“或”聯(lián)結(jié)命題時(shí)只聯(lián)結(jié)條件或結(jié)論 例4　(1)已知p：方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝11；q：方程(x－11)

13、(x－2)＝0的根是x＝2，試寫出“p或q”． (2)p：四條邊相等的四邊形是正方形；q：四個(gè)角相等的四邊形是正方形，試寫出“p且q”． 錯(cuò)解　(1)p或q：方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝11或x＝2. (2)p且q：四條邊相等且四個(gè)角相等的四邊形是正方形． 剖析　(1)(2)兩題中p，q都是假命題，所以“p或q”，“p且q”也都應(yīng)是假命題．而上述解答中寫出的兩命題卻都是真命題．錯(cuò)誤原因是：(1)只聯(lián)結(jié)了兩個(gè)命題的結(jié)論；(2)只聯(lián)結(jié)了兩個(gè)命題的條件． 正解　(1)p或q：方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝11或方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝2. (2)p且

14、q：四條邊相等的四邊形是正方形且四個(gè)角相等的四邊形是正方形． 誤區(qū)5　不能正確否定結(jié)論 例5　p：方程x2－5x＋6＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，試寫出“綈p”． 錯(cuò)解　綈p：方程x2－5x＋6＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根． 剖析　命題p的結(jié)論為“有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根”，所以“綈p”應(yīng)否定“有”，而不能否定“相等”． 正解　綈p：方程x2－5x＋6＝0沒(méi)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根． 誤區(qū)6　對(duì)含有一個(gè)量詞的命題否定不完全 例6　已知命題p：存在一個(gè)實(shí)數(shù)x，使得x2－x－2<0，寫出綈p. 錯(cuò)解一　綈p：存在一個(gè)實(shí)數(shù)x，使得x2－x－2≥0. 錯(cuò)解二　綈p：對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，都有x2－x－2<0.

15、 剖析　該命題是特稱命題，其否定是全稱命題，但錯(cuò)解一中得到的綈p仍是特稱命題，顯然只對(duì)結(jié)論進(jìn)行了否定，而沒(méi)有對(duì)存在量詞進(jìn)行否定；錯(cuò)解二中只對(duì)存在量詞進(jìn)行了否定，而沒(méi)有對(duì)結(jié)論進(jìn)行否定． 正解　綈p：對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，都有x2－x－2≥0. 誤區(qū)7　忽略了隱含的量詞 例7　寫出下列命題的否定： (1)不相交的兩條直線是平行直線； (2)奇函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱． 錯(cuò)解　(1)不相交的兩條直線不是平行直線； (2)奇函數(shù)的圖像不關(guān)于y軸對(duì)稱． 剖析　以上錯(cuò)誤解答在于沒(méi)有看出這兩個(gè)命題都是全稱命題．對(duì)于一些量詞不明顯或不含有量詞，但其實(shí)質(zhì)只是在文字?jǐn)⑹錾鲜÷粤四承┝吭~的命題，要特別引起注

16、意． 正解　(1)存在不相交的兩條直線不是平行直線； (2)存在一個(gè)奇函數(shù)的圖像不關(guān)于y軸對(duì)稱． 4　解“邏輯”問(wèn)題需強(qiáng)化三意識(shí) 1．轉(zhuǎn)化意識(shí) 由于互為逆否的兩個(gè)命題同真假，因此，當(dāng)原命題的真假不易判斷或證明原命題較困難時(shí)，可以轉(zhuǎn)化為逆否命題的真假來(lái)判斷或證明． 例1　證明：若a2－b2＋2a－4b－3≠0，則a－b≠1. 證明　命題“若a2－b2＋2a－4b－3≠0， 則a－b≠1”的逆否命題是“若a－b＝1， 則a2－b2＋2a－4b－3＝0”． 由a－b＝1得a2－b2＋2a－4b－3＝(a＋b)(a－b)＋2(a－b)－2b－3＝a－b－1＝0. ∵原命題

17、的逆否命題是真命題， ∴原命題也是真命題． 故若a2－b2＋2a－4b－3≠0，則a－b≠1. 例2　已知p：x2－8x－20>0，q：x2－2x＋1－a2>0，若p是q的充分不必要條件，求正實(shí)數(shù)a的取值范圍． 分析　將充分、必要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為集合運(yùn)算問(wèn)題． 解　解不等式x2－8x－20>0， 得p：A＝{x|x>10或x<－2}； 解不等式x2－2x＋1－a2>0， 得q：B＝{x|x>1＋a或x<1－a，a>0}． 依題意p?q，但qD?/p，說(shuō)明AB. 于是有或，解得0

18、題真假的關(guān)鍵：一是識(shí)別命題的構(gòu)成形式；二是分別將各命題簡(jiǎn)化，對(duì)等價(jià)的簡(jiǎn)化命題進(jìn)行判斷． 例3　已知命題p：函數(shù)y＝log0.5(x2＋2x＋a)的值域?yàn)镽，命題q：函數(shù)y＝－(5－2a)x是R上的減函數(shù)．若p或q為真命題，p且q為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 解析　函數(shù)y＝log0.5(x2＋2x＋a)的值域?yàn)镽，即y＝x2＋2x＋a的值域是(0，＋∞)，即在方程x2＋2x＋a＝0中， Δ＝4－4a≥0?a≤1，即p真?a≤1； 函數(shù)y＝－(5－2a)x是減函數(shù)?5－2a>1?a<2， 即q真?a<2. 由p或q為真命題，p且q為假命題， 知命題p，q中必有一真

19、一假．若p真q假，則無(wú)解； 若p假q真，則1