《2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第3章 函數(shù)的概念與性質(zhì) 3.2 函數(shù)的基本性質(zhì) 3.2.1 單調(diào)性與最大（小）值 第2課時(shí) 函數(shù)的最大（?。┲到虒W(xué)案 新人教A版必修第一冊(cè)》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第3章 函數(shù)的概念與性質(zhì) 3.2 函數(shù)的基本性質(zhì) 3.2.1 單調(diào)性與最大（小）值 第2課時(shí) 函數(shù)的最大（?。┲到虒W(xué)案 新人教A版必修第一冊(cè)（9頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第2課時(shí)　函數(shù)的最大(小)值 (教師獨(dú)具內(nèi)容) 課程標(biāo)準(zhǔn)：1.理解函數(shù)最大(小)值的含義并會(huì)用符號(hào)語言表達(dá)函數(shù)的最大(小)值.2.會(huì)求簡單函數(shù)的最大(小)值.3.會(huì)運(yùn)用函數(shù)的圖象理解和研究函數(shù)的最值． 教學(xué)重點(diǎn)：1.函數(shù)最大(小)值的含義及其幾何意義.2.求一些簡單函數(shù)的最值． 教學(xué)難點(diǎn)：求較復(fù)雜函數(shù)的最值. 【知識(shí)導(dǎo)學(xué)】 知識(shí)點(diǎn)一　　　函數(shù)的最大值 (1)定義：一般地，設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足： ①?x∈I，都有f(x)≤M； ②?x0∈I，使得f(x0)＝M. 那么，稱M是函數(shù)y＝f(x)的最大值． (2)幾何意義：函數(shù)y＝f(x)的最大

2、值是圖象最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)． 知識(shí)點(diǎn)二　　　函數(shù)的最小值 (1)定義：一般地，設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足： ①?x∈I，都有f(x)≥M； ②?x0∈I，使得f(x0)＝M. 那么，稱M是函數(shù)y＝f(x)的最小值． (2)幾何意義：函數(shù)y＝f(x)的最小值是圖象最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)． 【新知拓展】 (1)并不是每一個(gè)函數(shù)都有最值，如函數(shù)y＝，既沒有最大值，也沒有最小值． (2)有些函數(shù)只有最大(小)值，沒有最小(大)值，如函數(shù)y＝－x2(y＝x2)． (3)特別地，對(duì)于常函數(shù)f(x)＝C，它的最大值和最小值都是C. 1．判一判(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“

3、×”) (1)任何函數(shù)都有最大值或最小值．(　　) (2)函數(shù)的最小值一定比最大值小．(　　) (3)若函數(shù)y＝f(x)有最大值，則這個(gè)最大值唯一．(　　) (4)若函數(shù)y＝f(x)的最大值是M，則使f(x0)＝M的x0是唯一的．(　　) (5)對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，如果它的函數(shù)值都不小于3，那么該函數(shù)的最小值是3.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)× 2．做一做(請(qǐng)把正確的答案寫在橫線上) (1)函數(shù)f(x)＝x2在[0,1]上的最大值是________． (2)函數(shù)y＝在[2,6]上的最大值與最小值之和等于________． (3)函數(shù)y＝2

4、x2＋2，x∈N*的最小值是________． 答案　(1)1　(2)　(3)4 題型一 利用圖象求函數(shù)最值 例1　(1)已知函數(shù)f(x)＝求f(x)的最大值、最小值； (2)畫出函數(shù)f(x)＝的圖象，并寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，函數(shù)的最小值． [解]　(1)作出函數(shù)f(x)的圖象(如圖)． 由圖象可知，當(dāng)x＝±1時(shí)，f(x)取最大值為f(±1)＝1；當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)取最小值f(0)＝0， 故f(x)的最大值為1，最小值為0. (2)f(x)的圖象如圖所示， f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，0)和[0，＋∞)，函數(shù)的最小值為f(0)＝－1. 金版點(diǎn)睛

5、圖象法求最值的一般步驟 　求函數(shù)y＝|x＋1|－|x－2|的最大值和最小值． 解　y＝|x＋1|－|x－2| ＝ 作出函數(shù)的圖象，如圖所示． 由圖可知，y∈[－3,3]．所以函數(shù)的最大值為3，最小值為－3. 題型二 利用單調(diào)性求函數(shù)最值 例2　求函數(shù)f(x)＝x＋在x∈[1,3]上的最大值與最小值． [解]　設(shè)1≤x1＜x2≤3，則f(x1)－f(x2)＝x1－x2＋－＝(x1－x2). 又因?yàn)閤10， 所以f(x)在[1,2]上單調(diào)遞減． 當(dāng)2

6、時(shí)，1－>0， 所以f(x1)－f(x2)<0. 所以f(x)在(2,3]上單調(diào)遞增． 所以f(x)的最小值為f(2)＝2＋＝4. 又因?yàn)閒(1)＝5，f(3)＝3＋＝

7、f(x2)＝－ ＝ ＝， 因?yàn)?≤x1＜x2≤2， 所以20， 故f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)， 所以函數(shù)y＝在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞減， 所以ymax＝f(1)＝－，ymin＝f(2)＝－4. 題型三 求二次函數(shù)的最值 例3　(1)已知函數(shù)f(x)＝x2－2x－3，若x∈[0,2]，求函數(shù)f(x)的最值； (2)已知函數(shù)f(x)＝x2－2x－3，若x∈[t，t＋2]，求函數(shù)f(x)的最值； (3)已知函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋2，x∈[－1,1]，求函數(shù)f(x

8、)的最小值； (4)已知函數(shù)f(x)＝x－2－3，求函數(shù)f(x)的最值． [解]　(1)∵函數(shù)f(x)＝x2－2x－3圖象的開口向上，對(duì)稱軸x＝1， ∴f(x)在[0,1]上單調(diào)遞減，在[1,2]上單調(diào)遞增，且f(0)＝f(2)． ∴f(x)max＝f(0)＝f(2)＝－3， f(x)min＝f(1)＝－4. (2)由(1)知對(duì)稱軸x＝1， ①當(dāng)1≥t＋2即t≤－1時(shí)， f(x)max＝f(t)＝t2－2t－3， f(x)min＝f(t＋2)＝t2＋2t－3. ②當(dāng)≤1

9、4. ③當(dāng)t≤1<，即01時(shí)， f(x)max＝f(t＋2)＝t2＋2t－3， f(x)min＝f(t)＝t2－2t－3. 設(shè)函數(shù)最大值為g(t)，最小值為φ(t)，則有 g(t)＝ φ(t)＝ (3)f(x)＝x2－2ax＋2＝(x－a)2＋2－a2的圖象開口向上，且對(duì)稱軸為直線x＝a. 當(dāng)a≥1時(shí)，函數(shù)圖象如圖①所示，函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1,1]上單調(diào)遞減，最小值為f(1)＝3－2a； 當(dāng)－1＜a＜1時(shí)，函數(shù)圖象如圖②所示，函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1

10、,1]上先單調(diào)遞減后單調(diào)遞增，最小值為f(a)＝2－a2； 當(dāng)a≤－1時(shí)，函數(shù)圖象如圖③所示，函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1,1]上單調(diào)遞增，最小值為f(－1)＝3＋2a. (4)設(shè)＝t(t≥0)，則x－2－3＝t2－2t－3. ∵y＝t2－2t－3(t≥0)在[0,1]上單調(diào)遞減，在[1，＋∞)上單調(diào)遞增， ∴當(dāng)t＝1，即x＝1時(shí)，f(x)min＝－4，無最大值． 金版點(diǎn)睛 二次函數(shù)最值的求法 (1)探求二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題，一般要先作出y＝f(x)的草圖，然后根據(jù)圖象判斷函數(shù)的單調(diào)性．對(duì)于“定對(duì)稱軸變區(qū)間”“變對(duì)稱軸定區(qū)間”的情況，特別要注意二次函數(shù)的對(duì)稱軸與所給區(qū)間的位

11、置關(guān)系，它是求解二次函數(shù)在已知區(qū)間上最值問題的主要依據(jù)，并且最大(小)值不一定在頂點(diǎn)處取得． (2)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸與定義域區(qū)間的位置通常有三種關(guān)系：①對(duì)稱軸在定義域的右側(cè)；②對(duì)稱軸在定義域的左側(cè)；③對(duì)稱軸在定義域區(qū)間內(nèi)． (3)對(duì)某些函數(shù)，可通過換元，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，如函數(shù)f(x)＝x－2－3. 　(1)已知函數(shù)f(x)＝x4－2x2－3，求函數(shù)f(x)的最值； (2)求二次函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋2在[2,4]上的最小值； (3)求函數(shù)f(x)＝x2－2x＋2在區(qū)間[t，t＋1]上的最小值g(t)． 解　(1)設(shè)x2＝t(t≥0)，則x4－2x2－3＝t2－2t－3

12、. 令y＝t2－2t－3(t≥0)在[0,1]上單調(diào)遞減，在[1，＋∞)上單調(diào)遞增． ∴當(dāng)t＝1，即x＝±1時(shí)，f(x)min＝－4，無最大值． (2)∵函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是x＝a， ∴當(dāng)a<2時(shí)，f(x)在[2,4]上單調(diào)遞增， ∴f(x)min＝f(2)＝6－4a. 當(dāng)a>4時(shí)，f(x)在[2,4]上單調(diào)遞減， ∴f(x)min＝f(4)＝18－8a. 當(dāng)2≤a≤4時(shí)，f(x)min＝f(a)＝2－a2. ∴f(x)min＝ (3)f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，對(duì)稱軸為x＝1. 當(dāng)t＋1<1，即t<0時(shí)，函數(shù)圖象如圖①所示，

13、函數(shù)f(x)在區(qū)間[t，t＋1]上單調(diào)遞減，∴最小值為g(t)＝f(t＋1)＝t2＋1； 當(dāng)t≤1≤t＋1，即0≤t≤1時(shí)，函數(shù)圖象如圖②所示，最小值為g(t)＝f(1)＝1； 當(dāng)t>1時(shí)，函數(shù)圖象如圖③所示，函數(shù)f(x)在區(qū)間[t，t＋1]上單調(diào)遞增，∴最小值為g(t)＝f(t)＝t2－2t＋2. 綜上可得，g(t)＝ 題型四 應(yīng)用題中的最值問題 例4　某公司生產(chǎn)一種電子儀器的固定成本為20000元，每生產(chǎn)一臺(tái)儀器需增加投入100元，已知總收益滿足函數(shù)： R(x)＝其中x是儀器的月產(chǎn)量(單位：臺(tái))． (1)將利潤表示為關(guān)于月產(chǎn)量的函數(shù)f(x)； (2)當(dāng)月產(chǎn)量為何值時(shí)，公司

14、所獲利潤最大？最大利潤為多少元？(總收益＝總成本＋利潤) [解]　(1)月產(chǎn)量為x臺(tái)，則總成本為(20000＋100x)元， 從而f(x)＝ (2)當(dāng)0≤x≤400時(shí)，f(x)＝－(x－300)2＋25000， 當(dāng)x＝300時(shí)，f(x)max＝25000； 當(dāng)x>400時(shí)，f(x)＝60000－100x是減函數(shù)，f(x)<60000－100×400＝20000<25000. ∴當(dāng)x＝300時(shí)，f(x)max＝25000. 即每月生產(chǎn)300臺(tái)儀器時(shí)公司所獲利潤最大，最大利潤為25000元． 金版點(diǎn)睛 解實(shí)際應(yīng)用題的四個(gè)步驟 (1)審題：解讀實(shí)際問題，找出已知條件、未知條件，確

15、定自變量和因變量的條件關(guān)系． (2)建模：建立數(shù)學(xué)模型，列出函數(shù)關(guān)系式． (3)求解：分析函數(shù)性質(zhì)，利用數(shù)學(xué)知識(shí)探究問題解法(一定注意自變量的取值范圍)． (4)回歸：數(shù)學(xué)問題回歸實(shí)際問題，寫出答案． 　某水廠蓄水池有水450噸，水廠每小時(shí)向蓄水池注水80噸，同時(shí)蓄水池又向居民小區(qū)供水，t小時(shí)內(nèi)供水量為80 噸，現(xiàn)在開始向池中注水并同時(shí)向居民供水，多少小時(shí)后蓄水池中水量最少？ 解　設(shè)t小時(shí)后，池中水量為y噸， 則y＝450＋80t－80＝4(－10)2＋50， 當(dāng)＝10，即t＝5時(shí)，ymin＝50， 所以，5小時(shí)后蓄水池中水量最少，只有50噸． 1．函數(shù)f(x)在[－

16、2，＋∞)上的圖象如圖所示，則此函數(shù)的最大、最小值分別為(　　) A．3,0 B．3,1 C．3，無最小值 D．3，－2 答案　C 解析　觀察圖象可以知道，圖象的最高點(diǎn)坐標(biāo)是(0,3)，從而其最大值是3；另外從圖象看，無最低點(diǎn)，即該函數(shù)不存在最小值．故選C. 2．已知函數(shù)f(x)＝x2－2，其中x∈[0,2]，這個(gè)函數(shù)的最大值和最小值分別為(　　) A．－2和1 B．2和－2 C．2和－1 D．－1和2 答案　B 解析　∵f(x)＝x2－2在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞增， ∴ymax＝f(2)＝2，ymin＝f(0)＝－2. 3．長為4，寬為3的矩形，當(dāng)長

17、增加x，且寬減少時(shí)，面積S最大，此時(shí)x的值為(　　) A. B．1 C. D．2 答案　B 解析　∵S＝(4＋x)＝－x2＋x＋12 ＝－(x－1)2＋， 又∵即0