《2019屆高考數(shù)學二輪復習 第二部分 突破熱點 分層教學 專項二 專題三 1 第1講 等差數(shù)列與等比數(shù)列學案》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2019屆高考數(shù)學二輪復習 第二部分 突破熱點 分層教學 專項二 專題三 1 第1講 等差數(shù)列與等比數(shù)列學案（12頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第1講　等差數(shù)列與等比數(shù)列 年份 卷別 考查內容及考題位置 命題分析 2018 卷Ⅰ 等差數(shù)列基本量的計算·T4　an與Sn關系的應用·T14 等差數(shù)列、等比數(shù)列的判定及其通項公式在考查基本運算、基本概念的同時，也注重對函數(shù)與方程、等價轉化、分類討論等數(shù)學思想的考查；對等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質考查主要是求解數(shù)列的等差中項、等比中項、通項公式和前n項和的最大、最小值等問題，主要是中低檔題. 卷Ⅱ 等差數(shù)列基本量的計算、和的最值問題·T17 卷Ⅲ 等比數(shù)列基本量的計算·T17 2017 卷Ⅰ 等差數(shù)列的通項公式、前n項和公式·T4 卷Ⅱ 等比數(shù)列的概念、前n項

2、和公式、數(shù)學文化·T3 卷Ⅲ 等差數(shù)列的前n項和公式、通項公式及等比中項·T9 等比數(shù)列的通項公式·T14 2016 卷Ⅰ 等差數(shù)列的基本運算·T3　等比數(shù)列的運算·T15 等差、等比數(shù)列的基本運算(基礎型) 通項公式 等差數(shù)列：an＝a1＋(n－1)d； 等比數(shù)列：an＝a1·qn－1. 求和公式 等差數(shù)列：Sn＝＝na1＋d； 等比數(shù)列：Sn＝＝(q≠1)． 性質 等差數(shù)列 等比數(shù)列 性質 若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq 若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，則am·an＝ap·aq an＝

3、am＋(n－m)d an＝amqn－m Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等差數(shù)列 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等比數(shù)列(Sn≠0) [考法全練] 1．(2018·貴陽模擬)設等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a6＝2a3，則＝(　　) A.　　　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：選D.＝＝＝.故選D. 2．(2018·高考全國卷Ⅰ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和．若3S3＝S2＋S4，a1＝2，則a5＝(　　) A．－12 B．－10 C．10 D．12 解析：選B.設等差數(shù)列{an}的公差為d，因為3S3＝S2＋S4，

4、所以3(3a1＋d)＝2a1＋d＋4a1＋d，解得d＝－a1，因為a1＝2，所以d＝－3，所以a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10.故選B. 3．(2018·鄭州模擬)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若對任意的正整數(shù)n，Sn＋2＝4Sn＋3恒成立，則a1的值為　(　　) A．－3 B．1 C．－3或1 D．1或3 解析：選C.設等比數(shù)列{an}的公比為q，當q＝1時，Sn＋2＝(n＋2)a1，Sn＝na1，由Sn＋2＝4Sn＋3得，(n＋2)a1＝4na1＋3，即3a1n＝2a1－3，若對任意的正整數(shù)n，3a1n＝2a1－3恒成立，則a1＝0且2a1－3＝0，矛盾，所以

5、q≠1， 所以Sn＝，Sn＋2＝， 代入Sn＋2＝4Sn＋3并化簡得a1(4－q2)qn＝3＋3a1－3q，若對任意的正整數(shù)n該等式恒成立，則有解得或故a1＝1或－3，故選C. 4．(2018·南寧模擬)在等比數(shù)列{an}中，a2a6＝16，a4＋a8＝8，則＝________． 解析：法一：設等比數(shù)列{an}的公比為q，由a2a6＝16得aq6＝16，所以a1q3＝±4.由a4＋a8＝8，得a1q3(1＋q4)＝8，即1＋q4＝±2，所以q2＝1.于是＝q10＝1. 法二：由等比數(shù)列的性質，得a＝a2a6＝16，所以a4＝±4，又a4＋a8＝8， 所以或因為a＝a4a8>0，所以

6、則公比q滿足q4＝1，q2＝1，所以＝q10＝1. 答案：1 5．(2018·高考全國卷Ⅲ)等比數(shù)列{an}中，a1＝1，a5＝4a3. (1)求{an}的通項公式； (2)記Sn為{an}的前n項和．若Sm＝63，求m. 解：(1)設{an}的公比為q，由題設得an＝qn－1. 由已知得q4＝4q2， 解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2. 故an＝(－2)n－1或an＝2n－1. (2)若an＝(－2)n－1，則Sn＝. 由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程沒有正整數(shù)解． 若an＝2n－1，則Sn＝2n－1. 由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6. 綜上，m

7、＝6. 等差、等比數(shù)列的判定與證明(綜合型) 證明數(shù)列{an}是等差數(shù)列或等比數(shù)列的方法 (1)證明數(shù)列{an}是等差數(shù)列的兩種基本方法： ①利用定義，證明an＋1－an(n∈N*)為一常數(shù)； ②利用等差中項，即證明2an＝an－1＋an＋1(n≥2)． (2)證明{an}是等比數(shù)列的兩種基本方法： ①利用定義，證明(n∈N*)為一常數(shù)； ②利用等比中項，即證明a＝an－1an＋1(n≥2)． [典型例題] 設Sn為數(shù)列{an}的前n項和，對任意的n∈N*，都有Sn＝2－an，數(shù)列{bn}滿足b1＝2a1，bn＝(n≥2，n∈N*)． (1)求證：數(shù)列{an}是等比

8、數(shù)列，并求{an}的通項公式； (2)判斷數(shù)列{}是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，并求數(shù)列{bn}的通項公式． 【解】　(1)當n＝1時，a1＝S1＝2－a1，解得a1＝1； 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝an－1－an，即＝(n≥2，n∈N*)． 所以數(shù)列{an}是首項為1，公比為的等比數(shù)列， 故數(shù)列{an}的通項公式為an＝. (2)因為a1＝1， 所以b1＝2a1＝2. 因為bn＝， 所以＝＋1， 即－＝1(n≥2)． 所以數(shù)列{}是首項為，公差為1的等差數(shù)列． 所以＝＋(n－1)·1＝，故數(shù)列{bn}的通項公式為bn＝. 判斷(證明)等差(比)數(shù)列應注意的問題

9、 (1)判斷或者證明數(shù)列為等差數(shù)列、等比數(shù)列最基本的方法是用定義判斷或證明，其他方法最后都會回到定義，如證明等差數(shù)列可以證明通項公式是n的一次函數(shù)，但最后還得使用定義才能說明其為等差數(shù)列． (2)證明數(shù)列{an}為等比數(shù)列時，不能僅僅證明an＋1＝qan，還要說明a1≠0，才能遞推得出數(shù)列中的各項均不為零，最后斷定數(shù)列{an}為等比數(shù)列．　 [對點訓練] 記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和，已知S2＝2，S3＝－6. (1)求{an}的通項公式； (2)求Sn，并判斷Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差數(shù)列． 解：(1)設{an}的公比為q.由題設可得 解得q＝－2，a1＝

10、－2. 故{an}的通項公式為an＝(－2)n. (2)由(1)可得Sn＝＝－＋(－1)n. 由于Sn＋2＋Sn＋1＝－＋(－1)n＝2[－＋(－1)n]＝2Sn，故Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差數(shù)列． Sn，an關系的應用(綜合型) 數(shù)列{an}中，an與Sn的關系 an＝ 求數(shù)列通項的常用方法 (1)公式法：利用等差(比)數(shù)列求通項公式． (2)在已知數(shù)列{an}中，滿足an＋1－an＝f(n)，且f(1)＋f(2)＋…＋f(n)可求，則可用累加法求數(shù)列的通項an. (3)在已知數(shù)列{an}中，滿足＝f(n)，且f(1)·f(2)·…·f(n)可求，則可用累乘法

11、求數(shù)列的通項an. (4)將遞推關系進行變換，轉化為常見數(shù)列(等差、等比數(shù)列)． [典型例題] (1)(2018·合肥第一次質量檢測)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若3Sn＝2an－3n，則a2 018＝(　　) A．22 018－1　　　　　　　　 B．32 018－6 C．－ D．－ (2)(2018·福州模擬)已知數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋1＝3an－2an－1(n≥2，n∈N*)．設bn＝an＋1－an. ①證明：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列； ②設cn＝，求數(shù)列{cn}的前n項和Sn. 【解】　(1)選A.因為a1＝S1，所以3a1＝3S1＝2a

12、1－3?a1＝－3. 當n≥2時，3Sn＝2an－3n，3Sn－1＝2an－1－3(n－1)，所以an＝－2an－1－3，即an＋1＝－2(an－1＋1)，所以數(shù)列{an＋1}是以－2為首項，－2為公比的等比數(shù)列． 所以an＋1＝(－2)×(－2)n－1＝(－2)n， 則a2 018＝22 018－1. (2)①證明：因為an＋1＝3an－2an－1(n≥2，n∈N*)，bn＝an＋1－an， 所以＝＝＝＝2， 又b1＝a2－a1＝2－1＝1， 所以數(shù)列{bn}是以1為首項，以2為公比的等比數(shù)列． ②由①知bn＝1×2n－1＝2n－1， 因為cn＝， 所以cn＝＝， 所以

13、Sn＝c1＋c2＋…＋cn ＝ ＝＝. (1)給出Sn與an的遞推關系求an的常用思路：一是利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉化為an的遞推關系，再求其通項公式；二是轉化為Sn的遞推關系，先求出Sn與n之間的關系，再求an. (2)形如an＋1＝pan＋q(p≠1，q≠0)，可構造一個新的等比數(shù)列．　 [對點訓練] (2018·貴陽模擬)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足Sn＝an－，a1＝1. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)若bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn. 解：(1)由已知Sn＝an－①， 得Sn－1＝an－1－(n≥2)②， ①－②得

14、an＝an－an－1，即an＝3an－1(n≥2)， 又a1＝1，所以數(shù)列{an}是以1為首項，3為公比的等比數(shù)列，故an＝3n－1. (2)由(1)知bn＝＝－， 所以Tn＝－＋－＋…＋－＝1－＝， 所以Tn＝. 數(shù)列與新定義相交匯問題(創(chuàng)新型) [典型例題] (2018·武漢調研)對任一實數(shù)序列A＝(a1，a2，a3，…)，定義新序列ΔA＝(a2－a1，a3－a2，a4－a3，…)，它的第n項為an＋1－an.假定序列Δ(ΔA)的所有項都是1，且a12＝a22＝0，則a2＝________． 【解析】　令bn＝an＋1－an，依題意知數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，且公差為1

15、， 所以bn＝b1＋(n－1)×1， a1＝a1， a2－a1＝b1， a3－a2＝b2， … an－an－1＝bn－1， 累加得an＝a1＋b1＋…＋bn－1＝a1＋(n－1)b1＋＝(n－1)a2－(n－2)a1＋， 分別令n＝12，n＝22， 得 解得a1＝，a2＝100. 【答案】　100 數(shù)列新定義型創(chuàng)新題的一般解題思路 (1)閱讀審清“新定義”． (2)結合常規(guī)的等差數(shù)列、等比數(shù)列的相關知識，化歸、轉化到“新定義”的相關知識． (3)利用“新定義”及常規(guī)的數(shù)列知識，求解證明相關結論．　 [對點訓練] 在數(shù)列{an}中，n∈N*，若＝k(k為常

16、數(shù))，則稱{an}為“等差比數(shù)列”，下列是對“等差比數(shù)列”的判斷： ①k不可能為0； ②等差數(shù)列一定是“等差比數(shù)列”； ③等比數(shù)列一定是“等差比數(shù)列”； ④“等差比數(shù)列”中可以有無數(shù)項為0. 其中所有正確判斷的序號是________． 解析：由等差比數(shù)列的定義可知，k不為0，所以①正確，當?shù)炔顢?shù)列的公差為0，即等差數(shù)列為常數(shù)列時，等差數(shù)列不是等差比數(shù)列，所以②錯誤；當{an}是等比數(shù)列，且公比q＝1時，{an}不是等差比數(shù)列，所以③錯誤；數(shù)列0，1，0，1，…是等差比數(shù)列，該數(shù)列中有無數(shù)多個0，所以④正確． 答案：①④ 一、選擇題 1．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn

17、，且a3·a5＝12，a2＝0.若a1>0，則S20＝(　　) A．420　　　　　　　　　　 B．340 C．－420 D．－340 解析：選D.設數(shù)列{an}的公差為d，則a3＝a2＋d＝d，a5＝a2＋3d＝3d，由a3·a5＝12得d＝±2，由a1>0，a2＝0，可知d<0，所以d＝－2，所以a1＝2，故S20＝20×2＋×(－2)＝－340，故選D. 2．(2018·益陽、湘潭調研)已知等比數(shù)列{an}中，a5＝3，a4a7＝45，則的值為(　　) A．3 B．5 C．9 D．25 解析：選D.設等比數(shù)列{an}的公比為q，則a4a7＝·a5q2＝9q＝45

18、，所以q＝5，＝＝q2＝25.故選D. 3．(一題多解)已知Sn是數(shù)列{an}的前n項和，且Sn＋1＝Sn＋an＋3，a4＋a5＝23，則S8＝(　　) A．72 B．88 C．92 D．98 解析：選C.法一：由Sn＋1＝Sn＋an＋3得an＋1－an＝3，則數(shù)列{an}是公差為3的等差數(shù)列，又a4＋a5＝23＝2a1＋7d＝2a1＋21，所以a1＝1，S8＝8a1＋d＝92. 法二：由Sn＋1＝Sn＋an＋3得an＋1－an＝3，則數(shù)列{an}是公差為3的等差數(shù)列，S8＝＝＝92. 4．已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，若a1·a6·a11＝－3，b1

19、＋b6＋b11＝7π，則tan 的值是　(　　) A．－ B．－1 C．－ D. 解析：選A.依題意得，a＝(－)3，3b6＝7π，所以a6＝－，b6＝，所以＝＝－，故tan＝tan＝tan＝－tan＝－，故選A. 5．(2018·長春質量檢測(一))等差數(shù)列{an}中，已知|a6|＝|a11|，且公差d>0，則其前n項和取最小值時n的值為(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 解析：選C.由d>0可得等差數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，又|a6|＝|a11|，所以－a6＝a11，即－a1－5d＝a1＋10d，所以a1＝－，則a8＝－<0，a9＝>0，所以前8項和為前n

20、項和的最小值，故選C. 6．對于數(shù)列{an}，定義數(shù)列{an＋1－an}為數(shù)列{an}的“差數(shù)列”，若a1＝2，數(shù)列{an}的“差數(shù)列”的通項公式為an＋1－an＝2n，則數(shù)列{an}的前n項和Sn＝(　　) A．2 B．2n C．2n＋1－2 D．2n－1－2 解析：選C.因為an＋1－an＝2n，所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋2＋2＝＋2＝2n－2＋2＝2n，所以Sn＝＝2n＋1－2. 二、填空題 7．(一題多解)(2018·高考全國卷Ⅰ)記Sn為數(shù)列{an}的前n項和．若Sn＝2an＋1，

21、則S6＝________． 解析：法一：因為Sn＝2an＋1，所以當n＝1時，a1＝2a1＋1，解得a1＝－1； 當n＝2時，a1＋a2＝2a2＋1，解得a2＝－2； 當n＝3時，a1＋a2＋a3＝2a3＋1，解得a3＝－4； 當n＝4時，a1＋a2＋a3＋a4＝2a4＋1，解得a4＝－8； 當n＝5時，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝2a5＋1，解得a5＝－16； 當n＝6時，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝2a6＋1，解得a6＝－32； 所以S6＝－1－2－4－8－16－32＝－63. 法二：因為Sn＝2an＋1，所以當n＝1時，a1＝2a1＋1，解得a1＝－1，當n≥2

22、時，an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－(2an－1＋1)，所以an＝2an－1，所以數(shù)列{an}是以－1為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以an＝－2n－1，所以S6＝＝－63. 答案：－63 8．(2018·惠州第二次調研)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1－2an＝2n(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項公式an＝________． 解析：an＋1－2an＝2n兩邊同除以2n＋1，可得－＝，又＝，所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，所以＝＋(n－1)×＝，所以an＝n·2n－1. 答案：n·2n－1 9．設某數(shù)列的前n項和為Sn，若為常數(shù)，則稱該數(shù)列為“和諧數(shù)列”．若一個首項為1

23、，公差為d(d≠0)的等差數(shù)列{an}為“和諧數(shù)列”，則該等差數(shù)列的公差d＝________． 解析：由＝k(k為常數(shù))，且a1＝1，得n＋n(n－1)d＝k，即2＋(n－1)d＝4k＋2k(2n－1)d，整理得，(4k－1)dn＋(2k－1)(2－d)＝0，因為對任意正整數(shù)n，上式恒成立， 所以得 所以數(shù)列{an}的公差為2. 答案：2 三、解答題 10．已知各項都為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足a1＝1，a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0. (1)求a2，a3； (2)求{an}的通項公式． 解：(1)由題意可得a2＝，a3＝. (2)由a－(2an＋1－1)an－2a

24、n＋1＝0，得2an＋1(an＋1)＝an(an＋1)， 因為{an}的各項都為正數(shù)，所以＝. 故{an}是首項為1，公比為的等比數(shù)列，因此an＝. 11．(2018·高考全國卷Ⅰ)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.設bn＝. (1)求b1，b2，b3； (2)判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列，并說明理由； (3)求{an}的通項公式． 解：(1)由條件可得an＋1＝an. 將n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以，a2＝4. 將n＝2代入得，a3＝3a2，所以，a3＝12. 從而b1＝1，b2＝2，b3＝4. (2){bn}是首項為1，公比

25、為2的等比數(shù)列． 由條件可得＝，即bn＋1＝2bn，又b1＝1，所以{bn}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列． (3)由(2)可得＝2n－1，所以an＝n·2n－1. 12．已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，滿足a2＝5，a4＝13，數(shù)列{bn}的前n項和是Tn，且Tn＋bn＝3. (1)求數(shù)列{an}及數(shù)列{bn}的通項公式； (2)設cn＝an·bn，求數(shù)列{cn}中的最大項． 解：(1)設等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d， 由題意，得 解得 所以an＝4n－3. 又Tn＋bn＝3， 所以Tn＋1＋bn＋1＝3， 兩式相減得，2bn＋1－bn＝0， 所以bn＋1＝bn. 當n＝1時，b1＋b1＝3，所以b1＝. 所以數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，且首項是，公比是， 所以bn＝×＝. (2)因為cn＝an·bn＝， 所以cn＋1＝， 所以cn＋1－cn＝－＝. 所以當n＝1時，c2－c1>0； 當n≥2時，cn＋1－cn<0， 所以c1c3>c4>…， 所以(cn)max＝c2＝. 12