《2019-2020學年新教材高中數學 第3章 函數的概念與性質 3.1 函數的概念及其表示 3.1.1 函數的概念教學案 新人教A版必修第一冊》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2019-2020學年新教材高中數學 第3章 函數的概念與性質 3.1 函數的概念及其表示 3.1.1 函數的概念教學案 新人教A版必修第一冊（12頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、3.1.1　函數的概念 (教師獨具內容) 課程標準：1.通過豐富實例，進一步體會函數是描述變量之間的依賴關系的重要數學模型.2.在此基礎上學習用集合與對應的符號語言來刻畫函數，體會對應關系在刻畫函數概念中的作用.3.了解構成函數的要素，能求一些簡單函數的定義域． 教學重點：1.理解函數的定義，會求一些簡單函數的定義域和值域.2.明確函數的兩個要素，了解同一個函數的定義，會判定兩個給定的函數是否是同一個函數． 教學難點：1.對應關系f的正確理解，函數符號y＝f(x)的理解.2.抽象函數的定義域.3.一些簡單函數值域的求法. 【知識導學】 知識點一　　　函數的概念 一般地，設A，

2、B是非空的實數集，如果對于集合A中的任意一個數x，按照某種確定的對應關系f，在集合B中都有唯一確定的數y和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數，記作y＝f(x)，x∈A.其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數的值域．顯然，值域是集合B的子集． 注意：(1)兩個非空實數集間的對應能否構成函數，主要看是否滿足三性：任意性、存在性、唯一性．這是因為函數概念中明確要求對于非空實數集A中的任意一個(任意性)元素x，在非空實數集B中都有(存在性)唯一(唯一性)的元素y與之對應．這三性只要有一個不滿足便

3、不能構成函數． (2)集合A是函數的定義域，因為給定A中每一個x值都有唯一的y值與之對應；集合B不一定是函數的值域，因為B中的元素可以在A中沒有與之對應的x，也就是說，B中的某些元素可以不是函數值，即{f(x)|x∈A}?B. (3)在函數定義中，我們用符號y＝f(x)表示函數，其中f(x)表示“x對應的函數值”，而不是“f乘x”． 知識點二　　　函數的兩要素 從函數的定義可以看出，函數有三個要素：定義域、對應關系、值域，由于值域是由定義域和對應關系決定的，所以確定一個函數只需要兩個要素：定義域和對應關系．即要檢驗給定的兩個變量(變量均為數值)之間是否具有函數關系，只要檢驗： (1)

4、定義域和對應關系是否給出； (2)根據給出的對應關系，自變量x在其定義域中的每一個值是否都有唯一的函數值y和它對應． 知識點三　　　區(qū)間的概念 (1)設a，b是兩個實數，而且a

5、． 我們可以把滿足x≥a，x>a，x≤b，x

6、知拓展】 (1)函數符號“y＝f(x)”是數學中抽象符號之一，“y＝f(x)”僅為y是x的函數的數學表示，不表示y等于f與x的乘積，f(x)也不一定是解析式，還可以是圖表或圖象． (2)函數的概念中強調“三性”：任意性、存在性、唯一性，這是因為函數定義中明確要求是對于非空實數集A中的任意一個(任意性)數x，在非空實數集B中都有(存在性)唯一確定(唯一性)的數y和它對應，這“三性”只要有一個不滿足，便不能構成函數． 1．判一判(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)函數值域中的每一個數都有定義域中的數與之對應．(　　) (2)函數的定義域和值域一定是無限集合．(　　) (3)定

7、義域和對應關系確定后，函數值域也就確定了．(　　) (4)若函數的定義域中只有一個元素，則值域中也只有一個元素．(　　) (5)對于定義在集合A到集合B上的函數y＝f(x)，x1，x2∈A，若x1≠x2，則f(x1)≠f(x2)．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√　(5)× 2．做一做(請把正確的答案寫在橫線上) (1)下列給出的對應關系f，不能確定從集合A到集合B的函數關系的是________． ①A＝{1,4}，B＝{－1,1，－2,2}，對應關系：開平方； ②A＝{0,1,2}，B＝{1,2}，對應關系： ③A＝[0,2]，B＝[0,1]，對應關系

8、： (2)下列函數中，與函數y＝x是同一個函數的是________． ①y＝；②y＝；③y＝()2；④s＝t. 答案　(1)①③　(2)②④ 題型一　求函數的定義域　　　　　　　　　　　　　　　　　　 例1　求下列函數的定義域： (1)y＝2x＋3；(2)f(x)＝；(3)y＝＋；(4)y＝；(5)y＝(1－2x)0. [解]　(1)函數y＝2x＋3的定義域為{x|x∈R}． (2)要使函數式有意義，即分式有意義，則x＋1≠0，x≠－1.故函數的定義域為{x|x≠－1}． (3)要使函數式有意義，則即所以x＝1，從而函數的定義域為{x|x＝1}． (4)因為當x2－

9、1≠0，即x≠±1時，有意義，所以函數的定義域是{x|x≠±1}． (5)∵1－2x≠0，即x≠， ∴函數的定義域為x≠}. 例2　已知函數f(x)的定義域是[－1,4]，求函數f(2x＋1)的定義域． [解]　已知函數f(x)的定義域是[－1,4]，即－1≤x≤4. 故對于f(2x＋1)應有－1≤2x＋1≤4. ∴－2≤2x≤3，∴－1≤x≤， ∴函數f(2x＋1)的定義域是. 例3　如圖所示，用長為1 m的鐵絲做一個下部為矩形、上部為半圓形的框架(鐵絲恰好用完)，若半圓的半徑為x(單位：m)，求此框架圍成的面積y(單位：m2)與x的函數關系式． [解]　由題意可得

10、，AB＝2x，的長為πx， 于是AD＝， ∴y＝2x·＋，即y＝－x2＋x. 由得0

11、義域： ①若f(x)的定義域為[a，b]，則f[g(x)]中，g(x)∈[a，b]，從中解得x的解集即f[g(x)]的定義域． ②若f[g(x)]的定義域為[m，n]，則由x∈[m，n]可確定g(x)的范圍，設u＝g(x)，則f[g(x)]＝f(u)，又f(u)與f(x)是同一個函數，所以g(x)的范圍即f(x)的定義域． ③已知f[φ(x)]的定義域，求f[h(x)]的定義域，先由f[φ(x)]中x的取值范圍，求出φ(x)的取值范圍，即f(x)中的x的取值范圍，即h(x)的取值范圍，再根據h(x)的取值范圍便可以求出f[h(x)]中x的取值范圍． (6)實際問題：若y＝f(x)是由實

12、際問題確定的，其定義域要受實際問題的約束．如：例3中，任何一條線段的長均大于零． 　(1)若函數f(x＋1)的定義域為，則函數f(x－1)的定義域為________； (2)求下列函數的定義域： ①y＝－；②y＝； (3)①求函數y＝＋－的定義域； ②將長為a m的鐵絲折成矩形(鐵絲恰好用完)，求矩形的面積y(單位：m2)關于一邊長x(單位：m)的解析式，并寫出此函數的定義域． 答案　(1)　(2)見解析　(3)見解析 解析　(1)由題意知，－≤x≤2，則≤x＋1≤3， 即f(x)的定義域為，∴≤x－1≤3， 解得≤x≤4.∴f(x－1)的定義域為. (2)①要使函數有意義

13、，自變量x的取值必須滿足即 ∴函數的定義域為{x|x≤1，且x≠－1}． ②要使函數有意義，需滿足|x|－x≠0，即|x|≠x， ∴x<0. ∴函數的定義域為{x|x<0}． (3)①解不等式組得 故函數的定義域是{x|1≤x≤5，且x≠3}． ②因為矩形的一邊長為x，則另一邊長為(a－2x)， 所以y＝x·(a－2x)＝－x2＋ax， 定義域為. 題型二 已知函數值求自變量的值 例4　已知函數f(x)＝2x2－4，x∈R，若f(x0)＝2，求x0的值． [解]　易知f(x0)＝2x－4， ∴2x－4＝2，即x＝3. 又∵x0∈R，∴x0＝±. 金版點睛 就本

14、例而言，已知函數值求自變量的值就是解方程，需要注意：所求的自變量的值必須在函數的定義域內．如果本例中加一個條件“x∈[0，＋∞)”，則x0＝(－不符合題意，舍去)． 　已知函數f(x)＝x2－2x，x∈(－∞，0)，若f(x0)＝3.求x0的值． 解　由題意可得f(x0)＝x－2x0. ∴x－2x0＝3，即x－2x0－3＝0. 解得x0＝3或x0＝－1. 又∵x0∈(－∞，0)，∴x0＝－1. 題型三 已知自變量的值求函數值 例5　已知f(x)＝x2，x∈R，求： (1)f(0)，f(1)； (2)f(a)，f(a＋1)． [解]　(1)f(0)＝02＝0，f(1)＝

15、12＝1. (2)∵a∈R，a＋1∈R， ∴f(a)＝a2，f(a＋1)＝(a＋1)2. 金版點睛 對于函數定義域內的每一個值，都可以求函數值(當然函數值唯一)，本例可以直接應用公式：f(x)＝x2求解，實質上就是求代數式的值，例如f(1)就是當x＝1時，代數式x2的值，而f(a＋1)就是當x＝a＋1時，代數式x2的值． 　已知f(x)＝＋，求： (1)f(2)； (2)當a>0時，f(a＋1)的值． 解　(1)f(2)＝＋. (2)易知f(x)的定義域A＝[0，＋∞)， ∵a>0，∴a＋1>1，則a＋1∈A， ∴f(a＋1)＝＋. 題型四 求函數的值域 例6　求下

16、列函數的值域： (1)y＝x＋1，x∈{1,2,3,4,5}； (2)y＝x2－2x＋3，x∈[0,3)； (3)y＝； (4)y＝2x－. [解]　(1)(觀察法)因為x∈{1,2,3,4,5}，分別代入求值，可得函數的值域為{2,3,4,5,6}． (2)(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0,3)，再結合函數的圖象(如圖)，可得函數的值域為[2,6)． (3)(分離常數法)y＝＝＝2＋， 顯然≠0，所以y≠2. 故函數的值域為(－∞，2)∪(2，＋∞)． (4)(換元法)設t＝，則x＝t2＋1，且t≥0， 所以y＝2(t2＋1)－t ＝

17、22＋， 由t≥0，再結合函數的圖象(如右圖)，可得函數的值域為. 金版點睛 求函數值域的原則及常用方法 (1)原則：①先確定相應的定義域；②再根據函數的具體形式及運算法則確定其值域． (2)常用方法 ①觀察法：對于一些比較簡單的函數，其值域可通過觀察法得到． ②配方法：是求“二次函數”類值域的基本方法． ③換元法：運用新元代換，將所給函數化成值域易確定的函數，從而求得原函數的值域．對于f(x)＝ax＋b＋(其中a，b，c，d為常數，且ac≠0)型的函數常用換元法． ④分離常數法：此方法主要是針對有理分式，即將有理分式轉化為“反比例函數類”的形式，便于求值域． 　求下列

18、函數的值域： (1)y＝； (2)y＝x2－4x＋6，x∈[1,5)； (3)y＝x＋. 解　(1)∵y＝＝＝1－，且≠0， ∴函數y＝的值域為{y|y≠1}． (2)配方，得y＝(x－2)2＋2. ∵x∈[1,5)， ∴結合函數的圖象可知，函數的值域為{y|2≤y<11}． (3)(換元法)設t＝，則x＝t2－1，且t≥0， 所以y＝t2＋t－1＝2－， 由t≥0，再結合函數的圖象可得函數的值域為[－1，＋∞). 題型五 相同函數的判斷 例7　下列各組函數表示同一函數的是(　　) A．f(x)＝x，g(x)＝()2 B．f(x)＝x2＋1，g(t)＝t2＋1

19、 C．f(x)＝1，g(x)＝ D．f(x)＝x，g(x)＝|x| [解析]　A項中，由于f(x)＝x的定義域為R，g(x)＝()2的定義域為{x|x≥0}，它們的定義域不相同，所以它們不是同一函數． B項中，函數的定義域、值域和對應關系都相同，所以它們是同一函數． C項中，由于f(x)＝1的定義域為R，g(x)＝的定義域為{x|x≠0}，它們的定義域不相同，所以它們不是同一函數． D項中，兩個函數的定義域相同，但對應關系不同，所以它們不是同一函數． [答案]　B 金版點睛 判斷兩個函數為同一函數的條件 (1)判斷兩個函數是相同函數的準則是兩個函數的定義域和對應關系分別相同．

20、定義域、對應關系兩者中只要有一個不相同就不是相同函數，即使定義域與值域都相同，也不一定是相同函數． (2)函數是兩個實數集之間的對應關系，所以用什么字母表示自變量、因變量是沒有限制的．另外，在化簡解析式時，必須是等價變形． 　下列函數中哪個與函數y＝x相同？ (1)y＝()2；(2)y＝；(3)y＝；(4)y＝. 解　(1)y＝()2＝x(x≥0)，y≥0，定義域不同且值域不同，所以不相同． (2)y＝＝x(x∈R)，y∈R，對應關系相同，定義域和值域都相同，所以相同． (3)y＝＝|x|＝y≥0；值域不同，且當x<0時，它的對應關系與函數y＝x不相同，所以不相同． (4)y

21、＝的定義域為{x|x≠0}，與函數y＝x的定義域不相同，所以不相同． 1．下列各圖中，可能是函數y＝f(x)的圖象的是(　　) 答案　D 解析　A，B中的圖象與y軸有兩個交點，即有兩個y值與x＝0對應，所以A，B不可能是函數y＝f(x)的圖象；對于C中圖象，過x＝1作與x軸垂直的直線，與圖象有兩個交點，所以C不可能是函數y＝f(x)的圖象．故選D. 2．函數f(x)＝x＋的定義域是(　　) A．{x|x≥2} B．{x|x>2} C．{x|x≤2} D．{x|x<2} 答案　C 解析　要使函數式有意義，則2－x≥0，即x≤2.所以函數的定義域為{x|x≤2}． 3

22、．已知函數f(x)的定義域為(－1,0)，則函數f(2x＋1)的定義域為(　　) A．(－1,1) B. C．(－1,0) D. 答案　B 解析　∵原函數的定義域為(－1,0)， ∴－1<2x＋1<0，解得－1