《2020版高考數(shù)學一輪復習 第2章 函數(shù)、導數(shù)及其應用 第1節(jié) 函數(shù)及其表示教學案 理（含解析）新人教A版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2020版高考數(shù)學一輪復習 第2章 函數(shù)、導數(shù)及其應用 第1節(jié) 函數(shù)及其表示教學案 理（含解析）新人教A版（7頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第一節(jié)　函數(shù)及其表示 [考綱傳真]　1.了解構成函數(shù)的要素，會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域；了解映射的概念.2.在實際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù).3.了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應用． 1．函數(shù)與映射的概念 函數(shù) 映射 兩集合A，B 設A，B是兩個非空的數(shù)集 設A，B是兩個非空的集合 對應關系f：A→B 如果按照某種確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應 如果按某一個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應 名稱 稱

2、f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù) 稱f：A→B為從集合A到集合B的一個映射 記法 函數(shù)y＝f(x)，x∈A 映射：f：A→B 2.函數(shù)的有關概念 (1)函數(shù)的定義域、值域： 在函數(shù)y＝f(x)，x∈A中，自變量x的取值范圍(數(shù)集A)叫做函數(shù)的定義域；函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域． (2)函數(shù)的三要素：定義域、對應關系和值域． (3)相等函數(shù)：如果兩個函數(shù)的定義域相同，并且對應關系完全一致，則這兩個函數(shù)為相等函數(shù)． (4)函數(shù)的表示法： 表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖象法和列表法． 3．分段函數(shù) (1)若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)P系不同

3、而分別用幾個不同的式子來表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù)． (2)分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，其值域等于各段函數(shù)的值域的并集，分段函數(shù)雖由幾個部分組成，但它表示的是一個函數(shù)． [常用結論] 簡單函數(shù)定義域的類型 (1)f(x)為分式型函數(shù)時，分式分母不為零； (2)f(x)為偶次根式型函數(shù)時，被開方式非負； (3)f(x)為對數(shù)型函數(shù)時，真數(shù)為正數(shù)、底數(shù)為正且不為1； (4)若f(x)＝x0，則定義域為{x|x≠0}； (5)指數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于0且不等于1； (6)正切函數(shù)y＝tan x的定義域為xx≠kπ＋，k∈Z. [基礎自測] 1．(思考辨析)判斷下列結論

4、的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)函數(shù)是特殊的映射．(　　) (2)函數(shù)y＝1與y＝x0是同一個函數(shù)．(　　) (3)對于函數(shù)f：A→B，其值域就是集合B.(　　) (4)f(x)＝＋是一個函數(shù)．(　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2．(教材改編)函數(shù)y＝＋的定義域為(　　) A.　　　 B．(－∞，3)∪(3，＋∞) C.∪(3，＋∞) D．(3，＋∞) C　[由題意知解得x≥且x≠3.] 3．(教材改編)若函數(shù)y＝f(x)的定義域為M＝{x|－2≤x≤2}，值域為N＝{y|0≤y≤2}，則函數(shù)y＝f(x)的圖象可能是(　　)

5、 B　[∵M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}， ∴y＝f(x)圖象只可能是B.] 4．下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是(　　) A．f(x)＝與g(x)＝ B．f(x)＝|x|與g(x)＝()2 C．f(x)＝與g(x)＝x＋1 D．f(x)＝x0與g(x)＝ D　[在選項A中，由f(x)＝＝x與g(x)＝＝|x|的對應法則不同；對于選項B，f(x)＝|x|的定義域為R ，g(x)＝()2的定義域為{x|x≥0}，故定義域不同；在選項C中，f(x)＝的定義域為{x∈R|x≠1}，而g(x)＝x＋1的定義域為R，故兩函數(shù)的定義域不同；對于選項D，f(x)＝x0＝1

6、(x≠0)，g(x)＝＝1(x≠0)，定義域和對應法則都相同，故選D.] 5．(教材改編)已知函數(shù)f(x)＝則f(1)＝________；若f(a)＝5，則a＝________. 5　±1　[f(1)＝5.當a≥0時，由f(a)＝a2＋4a＝5可知a＝1； 當a＜0時，由f(a)＝a2－4a＝5得a＝－1. 綜上可知a＝±1.] 函數(shù)的定義域 【例1】　(1)在下列函數(shù)中，其定義域和值域分別與函數(shù)y＝10lg x的定義域和值域相同的是(　　) A．y＝x　　　 B．y＝lg x C．y＝2x D．y＝ (2)若函數(shù)y＝f(x)的定義域是[0,2 018]，則函

7、數(shù)g(x)＝的定義域是(　　) A．[－1,2 017] B．[－1,1)∪(1,2 017] C．[0,2 018] D．[－1,1)∪(1,2 018] (1)D　(2)B　[(1)y＝10lg x＝x，定義域與值域均為(0，＋∞)． y＝x的定義域和值域均為R； y＝lg x的定義域為(0，＋∞)，值域為R； y＝2x的定義域為R，值域為(0，＋∞)； y＝的定義域與值域均為(0，＋∞)．故選D. (2)令t＝x＋1，則由已知函數(shù)y＝f(x)的定義域為[0，2 018]可知f(t)中0≤t≤2 018，故要使函數(shù)f(x＋1)有意義，則0≤x＋1≤2 018，解得－

8、1≤x≤2 017，故函數(shù)f(x＋1)的定義域為[－1,2 017]．所以函數(shù)g(x)有意義的條件是解得－1≤x＜1或1＜x≤2 017.故函數(shù)g(x)的定義域為[－1,1)∪(1,2 017]．] [規(guī)律方法]　(1)求給定函數(shù)的定義域往往轉(zhuǎn)化為解不等式(組)的問題，可借助于數(shù)軸，注意端點值的取舍. (2)求抽象函數(shù)的定義域：①若y＝f(x)的定義域為(a，b)，則解不等式a＜g(x)＜b即可求出y＝f(g(x))的定義域；②若y＝f(g(x))的定義域為(a，b)，則求出g(x)在(a，b)上的值域即得f(x)的定義域. (3)已知函數(shù)定義域求參數(shù)范圍，可將問題轉(zhuǎn)化成含參數(shù)的不等式，

9、然后求解. (1)函數(shù)f(x)＝＋lg(3x＋1)的定義域是(　　) A.　　　 B. C. D. (2)已知函數(shù)f(2x)的定義域為[－1,1]，則f(x)的定義域為________． (1)A　(2)　[(1)由題意可知解得∴－＜x＜1，故選A. (2)∵f(2x)的定義域為[－1,1]， ∴≤2x≤2，即f(x)的定義域為.] 求函數(shù)的解析式 【例2】　(1)已知f＝x2＋，求f(x)的解析式； (2)已知f＝lg x，求f(x)的解析式； (3)已知f(x)是二次函數(shù)且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，求f(x)的解析式； (4)已知f

10、(x)＋2f＝x(x≠0)，求f(x)的解析式． [解]　(1)由于f＝x2＋＝2－2，令t＝x＋，當x＞0時，t≥2＝2，當且僅當x＝1時取等號； 當x＜0時，t＝－≤－2，當且僅當x＝－1時取等號， ∴f(t)＝t2－2，t∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．綜上所述，f(x)的解析式是f(x)＝x2－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)． (2)令＋1＝t，由于x＞0，∴t＞1且x＝， ∴f(t)＝lg，即f(x)＝lg(x＞1)． (3)設f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝2，得c＝2，f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)－ax2－bx＝x－1，

11、即2ax＋a＋b＝x－1， ∴ 即 ∴f(x)＝x2－x＋2. (4)∵f(x)＋2f＝x， ∴f＋2f(x)＝. 聯(lián)立方程組 解得f(x)＝－(x≠0)． [規(guī)律方法]　求函數(shù)解析式的常用方法 (1)待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型，可用待定系數(shù)法. (2)配湊法：由已知條件f(g(x))＝F(x)，可將F(x)改寫成關于g(x)的表達式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式. (3)換元法：已知復合函數(shù)f(g(x))的解析式，可用換元法，此時要注意新元的取值范圍. (4)消元法：已知關于f(x)與或f(－x)的表達式，可根據(jù)已知條件再構造出另外一個等式，通過解方程

12、組求出f(x). (1)已知f(x)是一次函數(shù)，且f[f(x)]＝x＋2，則f(x)＝(　　) A．x＋1 B．2x－1 C．－x＋1 D．x＋1或－x－1 (2)定義在(－1,1)內(nèi)的函數(shù)f(x)滿足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，則f(x)＝________. (1)A　(2)lg(x＋1)＋lg(1－x)，x∈(－1,1) [(1)設f(x)＝kx＋b(k≠0)，又f[f(x)]＝x＋2， 得k(kx＋b)＋b＝x＋2，即k2x＋kb＋b＝x＋2. ∴k2＝1，且kb＋b＝2，解得k＝b＝1，則f(x)＝x＋1. (2)當x∈(－1,1)時， 有2f

13、(x)－f(－x)＝lg(x＋1)．① 將x換成－x，則－x換成x， 得2f(－x)－f(x)＝lg(－x＋1)．② 由①②消去f(－x)得， f(x)＝lg(x＋1)＋lg(1－x)，x∈(－1,1)．] 分段函數(shù) ?考法1　求分段函數(shù)的函數(shù)值 【例3】　已知函數(shù)f(x)＝則f＋f＝________. 8　[由題可得f＝log ＝2，因為log2＜0，所以f＝log2＝2log26＝6， 故f＋f＝8.] ?考法2　已知分段函數(shù)的函數(shù)值求參數(shù) 【例4】　(2017·山東高考)設f(x)＝若f(a)＝f(a＋1)，則f＝(　　) A．2 B．4 C．6

14、 D．8 C　[∵f(a)＝f(a＋1)， ∴ 或 即或 ∴a＝， ∴f＝f(4)＝6.] ?考法3　解與分段函數(shù)有關的方程或不等式 【例5】　(2019·福州模擬)設函數(shù)f(x)＝若f(x0)＞1，則x0的取值范圍是________． (0,2)∪(3，＋∞)　[∵f(x)＝且f(x0)＞1， 此不等式轉(zhuǎn)化為 或 即或 解之得0＜x0＜2或x0＞3. ∴x0的取值范圍是(0,2)∪(3，＋∞)．] [規(guī)律方法]　(1)求分段函數(shù)的函數(shù)值，要先確定要求值的自變量屬于定義域的哪一個子集，然后代入該段的解析式求值，當出現(xiàn)f(f(a))的形式時，應從內(nèi)到外依次求值.

15、(2)已知函數(shù)值或函數(shù)值范圍求自變量的值或范圍時，應根據(jù)每一段的解析式分別求解，但要注意檢驗所求自變量的值或范圍是否符合相應段的自變量的取值范圍. 易錯警示：當分段函數(shù)自變量的范圍不確定時，應分類討論. (1)已知函數(shù)f(x)＝則f＝________； (2)函數(shù)f(x)＝若f(a)≤a，則實數(shù)a的取值范圍是________． (1)log3 2　(2)[－1，＋∞)　[(1)f＝log3＝－2，∴f＝f(－2)＝f(－2＋2)＝f(0)＝f(0＋2)＝f(2)，∴f(2)＝log3 2，∴f＝f(－2)＝log3 2. (2)當a≥0時，由f(a)＝a－1≤a，解得a≥－2，即a

16、≥0；當a＜0時，由f(a)＝≤a，解得－1≤a≤1，即－1≤a＜0.綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是[－1，＋∞)．] 1．(2015·全國卷Ⅱ)設函數(shù)f(x)＝則f(－2)＋f(log212)＝(　　) A．3　　　 B．6 C．9 D．12 C　[∵－2<1， ∴f(－2)＝1＋log2(2＋2)＝1＋log24＝1＋2＝3. ∵log212>1，∴f(log212)＝2log212－1＝＝6. ∴f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9.故選C.] 2．(2017·全國卷Ⅲ)設函數(shù)f(x)＝則滿足f(x)＋f＞1的x的取值范圍是________． 　[當x≤0時，原不等式為x＋1＋x＋>1，解得x>－， ∴－1，顯然成立． 當x>時，原不等式為2x＋2x－>1，顯然成立． 綜上可知，x的取值范圍是.] - 7 -