2、an與n之間的函數(shù)關系可以用一個式子表示成an＝f(n)，那么這個式子就叫作這個數(shù)列的通項公式．
5．a(chǎn)n與Sn的關系
若數(shù)列{an}的前n項和為Sn，通項公式為an，
則an＝
1．數(shù)列{an}是遞增數(shù)列?an＋1＞an恒成立．
2．數(shù)列{an}是遞減數(shù)列?an＋1＜an恒成立．
[基礎自測]
1．(思考辨析)判斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)所有數(shù)列的第n項都能使用公式表達． ( )
(2)根據(jù)數(shù)列的前幾項歸納出數(shù)列的通項公式可能不止一個． ( )
(3)如果數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則對任意n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn
3、． ( )
(4)任何一個數(shù)列不是遞增數(shù)列，就是遞減數(shù)列． ( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×
2．(教材改編)數(shù)列－1，，－，，－，…的一個通項公式為( )
A．a(chǎn)n＝± B．a(chǎn)n＝(－1)n·
C．a(chǎn)n＝(－1)n＋1 D．a(chǎn)n＝
B [由a1＝－1，代入檢驗可知選B．]
3．設數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2，則a8的值為( )
A．15 B．16 C．49 D．64
A [當n＝8時，a8＝S8－S7＝82－72＝15.]
4．把3,6,10,15,21，…這些數(shù)叫做三角形數(shù)，這是因為以這些數(shù)目的點可以排成一個正
4、三角形(如圖所示)．
則第6個三角形數(shù)是( )
A．27 B．28 C．29 D．30
B [由題圖可知，第6個三角形數(shù)是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.]
5．在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝1＋(n≥2)，則a5＝( )
A． B． C． D．
D [a2＝1＋＝2，a3＝1＋＝1－＝，a4＝1＋＝1＋2＝3，a5＝1＋＝1－＝.]
由數(shù)列的前幾項歸納數(shù)列的通項公式
1．數(shù)列0，，，，…的一個通項公式為( )
A．a(chǎn)n＝(n∈N*) B．a(chǎn)n＝(n∈N*)
C．a(chǎn)n＝(n∈N*) D．a(chǎn)n＝(n∈N
5、*)
C [注意到分子0,2,4,6都是偶數(shù)，對照選項排除即可．]
2．數(shù)列{an}的前4項是，1，，，則這個數(shù)列的一個通項公式是an＝__________.
[數(shù)列{an}的前4項可變形為，，，，故an＝.]
3．寫出下面各數(shù)列的一個通項公式：
(1)3,5,7,9，…；
(2)，－，，－，，…；
(3)3,33,333,3 333，…；
(4)－1,1，－2,2，－3,3….
[解] (1)各項減去1后為正偶數(shù)，所以an＝2n＋1.
(2)數(shù)列中各項的符號可通過(－1)n＋1表示．每一項絕對值的分子比分母少1，而分母組成數(shù)列21，22，23，24，…，
所以an＝(
6、－1)n＋1.
(3)將數(shù)列各項改寫為，，，，…，分母都是3，而分子分別是10－1,102－1,103－1,104－1，…，
所以an＝(10n－1)．
(4)數(shù)列的奇數(shù)項為－1，－2，－3，…可用－表示，
數(shù)列的偶數(shù)項為1,2,3，…可用表示．
因此an＝
[規(guī)律方法] 由前幾項歸納數(shù)列通項的常用方法及具體策略
(1)常用方法：觀察(觀察規(guī)律)、比較(比較已知數(shù)列)、歸納、轉化(轉化為特殊數(shù)列)、聯(lián)想(聯(lián)想常見的數(shù)列)等方法．
(2)具體策略：①分式中分子、分母的特征；②相鄰項的變化特征；③拆項后的特征；④各項的符號特征和絕對值特征；⑤化異為同，對于分式還可以考慮對分子、分母
7、各個擊破，或?qū)ふ曳肿?、分母之間的關系；⑥對于符號交替出現(xiàn)的情況，可用(－1)k或(－1)k＋1，k∈N*處理．
由an與Sn的關系求通項公式
【例1】 (1)若數(shù)列{an}的前n項和Sn＝3n2－2n＋1，則數(shù)列{an}的通項公式an＝________.
(2)若數(shù)列{an}的前n項和Sn＝an＋，則{an}的通項公式an＝________.
(1) (2)(－2)n－1 [(1)當n＝1時，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2；
當n≥2時，
an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5，顯然當n＝1時，不滿足上式．
故數(shù)列
8、的通項公式為an＝
(2)由Sn＝an＋，得當n≥2時，Sn－1＝an－1＋，
兩式相減，得an＝an－an－1，
∴當n≥2時，an＝－2an－1，即＝－2.
又n＝1時，S1＝a1＝a1＋，a1＝1，
∴an＝(－2)n－1.]
[規(guī)律方法] 1.已知Sn求an的三個步驟
(1)先利用a1＝S1求出a1；
(2)用n－1替換Sn中的n得到一個新的關系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出當n≥2時an的表達式；
(3)注意檢驗n＝1時的表達式是否可以與n≥2的表達式合并．
2．Sn與an關系問題的求解思路
根據(jù)所求結果的不同要求，將問題向不同的兩個方向轉化．
9、(1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)轉化為只含Sn，Sn－1的關系式，再求解；
(2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉化為只含an，an－1的關系式，再求解．
(1)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝3n＋1，則數(shù)列的通項公式an＝________.
(2)在數(shù)列{an}中，Sn是其前n項和，且Sn＝2an＋1，則數(shù)列的通項公式an＝________.
(1) (2)－2n－1 [(1)當n＝1時，a1＝S1＝3＋1＝4，
當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝3n＋1－3n－1－1＝2·3n－1.
顯然當n＝1時，不滿足上式．
∴an＝
(2)依題意得Sn＋1＝2an＋1
10、＋1，Sn＝2an＋1，兩式相減得Sn＋1－Sn＝2an＋1－2an，即an＋1＝2an，又S1＝2a1＋1＝a1，因此a1＝－1，所以數(shù)列{an}是以a1＝－1為首項、2為公比的等比數(shù)列，an＝－2n－1.]
由數(shù)列的遞推關系求通項公式
?考法1 形如an＋1＝an＋f(n)，求an
【例2】 在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋3n＋2(n∈N*)，求數(shù)列{an}的通項公式．
[解] (1)∵an＋1－an＝3n＋2，
∴an－an－1＝3n－1(n≥2)，
∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1
＝(n≥2)．
當
11、n＝1時，a1＝×(3×1＋1)＝2符合公式，
∴an＝n2＋.
?考法2 形如an＋1＝anf(n)，求an
【例3】 已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝2nan，求數(shù)列{an}的通項公式．
[解] ∵an＋1＝2nan，∴＝2n，∴＝2n－1(n≥2)，
∴an＝··…··a1
＝2n－1·2n－2·…·2·1＝21＋2＋3＋…＋(n－1)
＝2.
又a1＝1適合上式，故an＝2.
?考法3 形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1)，求an.
【例4】 已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝3an＋2，求數(shù)列{an}的通項公式．
[解] ∵an＋1＝3an＋
12、2，
∴an＋1＋1＝3(an＋1)，
又a1＝1，∴a1＋1＝2，
故數(shù)列{an＋1}是首項為2，公比為3的等比數(shù)列，
∴an＋1＝2·3n－1，因此an＝2·3n－1－1.
[規(guī)律方法] 由遞推關系式求通項公式的常用方法
(1)已知a1且an－an－1＝f(n)，可用“累加法”求an，即an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a3－a2)＋(a2－a1)＋a1.
(2)已知a1且＝f(n)，可用“累乘法”求an，即an＝··…···a1.
(3)已知a1且an＋1＝qan＋b，則an＋1＋k＝q(an＋k)(其中k可由待定系數(shù)法確定)，可轉化為等比數(shù)列{an
13、＋k}．
(4)形如an＋1＝(A，B，C為常數(shù))的數(shù)列，可通過兩邊同時取倒數(shù)的方法構造新數(shù)列求解．
根據(jù)下列條件，求數(shù)列{an}的通項公式．
(1)a1＝1，an＋1＝an＋2n；
(2)a1＝，an＝an－1(n≥2)；
(3)a1＝1，an＋1＝2an＋3；
(4)a1＝1，an＋1＝.
[解] (1)由題意知an＋1－an＝2n，
an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1
＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝＝2n－1.
(2)因為an＝an－1(n≥2)，
所以當n≥2時，＝，
所以＝，＝，…，＝，＝，
以上n－1個式子相乘
14、得··…··＝··…··，
即＝××2×1，所以an＝.
當n＝1時，a1＝＝，與已知a1＝相符，
所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝.
(3)由an＋1＝2an＋3得an＋1＋3＝2(an＋3)．
又a1＝1，∴a1＋3＝4.
故數(shù)列{an＋3}是首項為4，公比為2的等比數(shù)列，
∴an＋3＝4·2n－1＝2n＋1，∴an＝2n＋1－3.
(4)因為an＋1＝，a1＝1，所以an≠0，
所以＝＋，即－＝.
又a1＝1，則＝1，所以是以1為首項，為公差的等差數(shù)列．
所以＝＋(n－1)×＝＋.所以an＝(n∈N*)．
1．(2014·全國卷Ⅱ)數(shù)列{an}滿足an＋1＝
15、，a8＝2，則a1＝________.
[∵an＋1＝，
∴an＋1＝＝＝
＝＝1－
＝1－＝1－(1－an－2)＝an－2，
∴周期T＝(n＋1)－(n－2)＝3.
∴a8＝a3×2＋2＝a2＝2.
而a2＝，∴a1＝.]
2．(2015·全國卷Ⅱ)設Sn是數(shù)列{an}的前n項和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，則Sn＝________.
－ [∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝SnSn＋1，
∴Sn＋1－Sn＝SnSn＋1.
∵Sn≠0，∴－＝1，即－＝－1.
又＝－1，∴是首項為－1，公差為－1的等差數(shù)列．
∴＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，∴Sn＝－.]
3．(2016·全國卷Ⅲ)已知各項都為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足a1＝1，a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0.
(1)求a2，a3；
(2)求{an}的通項公式．
[解] (1)由題意可得a2＝，a3＝.
(2)由a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0得
2an＋1(an＋1)＝an(an＋1)．
因為{an}的各項都為正數(shù)，所以＝.
故{an}是首項為1，公比為的等比數(shù)列，因此an＝.
- 9 -
2020版高考數(shù)學一輪復習 第5章 數(shù)列 第1節(jié) 數(shù)列的概念與簡單表示法教學案 文（含解析）北師大版
