《2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第8章 平面解析幾何 第2節(jié) 兩條直線的位置關(guān)系教學(xué)案 理（含解析）新人教A版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第8章 平面解析幾何 第2節(jié) 兩條直線的位置關(guān)系教學(xué)案 理（含解析）新人教A版（6頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第二節(jié)　兩條直線的位置關(guān)系 [考綱傳真]　1.能根據(jù)兩條直線的斜率判斷這兩條直線平行或垂直.2.能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點坐標(biāo).3.掌握兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩平行直線間的距離． 1．兩條直線平行與垂直的判定 (1)兩條直線平行 ①對于兩條不重合的直線l1，l2，若其斜率分別為k1，k2，則有l(wèi)1∥l2?k1＝k2. ②當(dāng)直線l1，l2不重合且斜率都不存在時，l1∥l2. (2)兩條直線垂直 ①如果兩條直線l1，l2的斜率存在，設(shè)為k1，k2，則有l(wèi)1⊥l2?k1·k2＝－1. ②當(dāng)其中一條直線的斜率不存在，而另一條直線的斜率為0時，l1⊥l

2、2. 2．兩條直線的交點的求法 直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2為常數(shù))，則l1與l2的交點坐標(biāo)就是方程組的解． 3．三種距離公式 (1)平面上的兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離公式|P1P2|＝. 特別地，原點O(0,0)與任一點P(x，y)的距離|OP|＝. (2)點P(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝. (3)兩條平行線Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0間的距離為d＝. [常用結(jié)論] 1．與直線Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)垂直或平行的直線系方程可設(shè)為

3、： (1)垂直：Bx－Ay＋m＝0； (2)平行：Ax＋By＋n＝0. 2．與對稱問題相關(guān)的兩個結(jié)論 (1)點P(x0，y0)關(guān)于點A(a，b)的對稱點為P′(2a－x0,2b－y0)． (2)設(shè)點P(x0，y0)關(guān)于直線y＝kx＋b的對稱點為P′(x′，y′)，則有可求出x′，y′. [基礎(chǔ)自測] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)當(dāng)直線l1和l2斜率都存在時，一定有k1＝k2?l1∥l2.(　　) (2)如果兩條直線l1與l2垂直，則它們的斜率之積一定等于－1.(　　) (3)點P(x0，y0)到直線y＝kx＋b的距離為.(　

4、　) (4)已知直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2為常數(shù))，若直線l1⊥l2，則A1A2＋B1B2＝0.(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(教材改編)直線l過點(－1,2)且與直線2x－3y＋4＝0垂直，則直線l的方程是(　　) A．3x＋2y－1＝0 B．3x＋2y＋7＝0 C．2x－3y＋5＝0 D．2x－3y＋8＝0 A　[設(shè)l的方程為3x＋2y＋m＝0， 又直線l過點(－1,2)，則 －3＋4＋m＝0，∴m＝－1. ∴l(xiāng)的方程為3x＋2y－1＝0，故選A.] 3．(

5、教材改編)已知點(a,2)(a>0)到直線l：x－y＋3＝0的距離為1，則a等于(　　) A.　　 B．2－ C.－1 D.＋1 C　[由題意得＝1，即|a＋1|＝， 又a>0，∴a＝－1.] 4．(教材改編)過兩直線l1：x－3y＋4＝0和l2：2x＋y＋5＝0的交點和原點的直線方程為________． 3x＋19y＝0　[由得 故過點(0,0)和的直線方程為3x＋19y＝0.] 5．已知直線3x＋4y－3＝0與直線6x＋my＋14＝0平行，則它們之間的距離是________． 2　[由兩直線平行可知＝，即m＝8. ∴兩直線方程分別為3x＋4y－3＝0和3x＋4y＋7

6、＝0， 則它們之間的距離d＝＝2.] 兩條直線的位置關(guān)系 1．設(shè)a∈R，則“a＝1”是“直線l1：ax＋2y－1＝0與直線l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的(　　) A．充分不必要條件　　　 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 A　[當(dāng)a＝1時，顯然l1∥l2， 若l1∥l2，則a(a＋1)－2×1＝0， 所以a＝1或a＝－2. 所以a＝1是直線l1與直線l2平行的充分不必要條件．] 2．若直線l1：(a－1)x＋y－1＝0和直線l2：3x＋ay＋2＝0垂直，則實數(shù)a的值為(　　) A. B. C. D. D　[由已

7、知得3(a－1)＋a＝0，解得a＝.] 3．已知三條直線l1：2x－3y＋1＝0，l2：4x＋3y＋5＝0，l3：mx－y－1＝0不能構(gòu)成三角形，則實數(shù)m的取值集合為(　　) A. B. C. D. D　[∵三條直線不能圍成一個三角形， ∴①當(dāng)l1∥l3時，m＝； ②當(dāng)l2∥l3時，m＝－； ③當(dāng)l1，l2，l3交于一點時，也不能圍成一個三角形， 由得交點為，代入mx－y－1＝0，得m＝－.故選D.] [規(guī)律方法]　1.討論兩直線的位置關(guān)系時應(yīng)考慮直線的斜率是否存在. 2.“直線A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0平行”的充要條件是“A1B2＝A2B1

8、且A1C2≠A2C1”，“兩直線垂直”的充要條件是“A1A2＋B1B2＝0”. 兩條直線的交點與距離問題 【例1】　 (1)若點P是曲線y＝x2－ln x上任意一點，則點P到直線y＝x－2的最小距離為(　　) A. B．1 C. D．2 (2)直線l過點P(－1,2)且到點A(2,3)和點B(－4,5)的距離相等，則直線l的方程為________． (1)C　(2)x＋3y－5＝0或x＝－1　[(1)因為點P是曲線y＝x2－ln x上任意一點，所以當(dāng)點P處的切線和直線y＝x－2平行時，點P到直線y＝x－2的距離最?。驗橹本€y＝x－2的斜率等于1，曲線y＝x2－l

9、n x的導(dǎo)數(shù)y′＝2x－，令y′＝1，可得x＝1或x＝－(舍去)，所以在曲線y＝x2－ln x上與直線y＝x－2平行的切線經(jīng)過的切點坐標(biāo)為(1,1)，所以點P到直線y＝x－2的最小距離為，故選C. (2)法一：當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0. 由題意知＝， 即|3k－1|＝|－3k－3|，∴k＝－， ∴直線l的方程為y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0. 當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x＝－1，也符合題意． 法二：當(dāng)AB∥l時，有k＝kAB＝－，直線l的方程為 y－2＝－(x＋1)，即x＋3y－5＝0. 當(dāng)l過AB

10、中點時，AB的中點為(－1,4)， ∴直線l的方程為x＝－1. 故所求直線l的方程為x＋3y－5＝0或x＝－1.] [規(guī)律方法]　1.求過兩直線交點的直線方程，先解方程組求出兩直線的交點坐標(biāo)，再結(jié)合其他條件寫出直線方程. 2.處理距離問題的兩大策略 (1)點到直線的距離問題可直接代入點到直線的距離公式去求. (2)動點到兩定點距離相等，一般不直接利用兩點間距離公式處理，而是轉(zhuǎn)化為動點在以兩定點為端點的線段的垂直平分線上，從而簡化計算. (1)經(jīng)過兩條直線l1：x＋y－4＝0和l2：x－y＋2＝0的交點，且與直線2x－y－1＝0垂直的直線方程為________． (2)若動點A

11、，B分別在直線l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移動，則AB的中點M到原點的距離的最小值為(　　) A．3 B．2 C．3 D．4 (1)x＋2y－7＝0　(2)A　[(1)由得 ∴l(xiāng)1與l2的交點坐標(biāo)為(1,3)． 設(shè)與直線2x－y－1＝0垂直的直線方程為x＋2y＋c＝0， 則1＋2×3＋c＝0，∴c＝－7. ∴所求直線方程為x＋2y－7＝0. (2)依題意知AB的中點M的集合為與直線l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0距離都相等的直線，則M到原點的距離的最小值為原點到該直線的距離．設(shè)點M所在直線的方程為l：x＋y＋m＝0，根據(jù)平行線間的距離公式得＝?

12、|m＋7|＝|m＋5|?m＝－6，即l：x＋y－6＝0.根據(jù)點到直線的距離公式，得M到原點的距離的最小值為＝3.] 對稱問題 【例2】　已知直線l：2x－3y＋1＝0，點A(－1，－2)．求： (1)點A關(guān)于直線l的對稱點A′的坐標(biāo)； (2)直線m：3x－2y－6＝0關(guān)于直線l的對稱直線m′的方程； (3)直線l關(guān)于點A對稱的直線l′的方程． [解]　(1)設(shè)A′(x，y)， 則解得即A′. (2)在直線m上取一點，如M(2,0)，則M(2,0)關(guān)于直線l的對稱點必在m′上． 設(shè)對稱點為M′(a，b)，則 解得即M′. 設(shè)m與l的交點為N，則由得N(4,3)．

13、又m′經(jīng)過點N(4,3)， ∴由兩點式得直線m′的方程為9x－46y＋102＝0. (3)法一：在l：2x－3y＋1＝0上任取兩點，如P(1,1)，N(4,3)，則P，N關(guān)于點A的對稱點P′，N′均在直線l′上． 易知P′(－3，－5)，N′(－6，－7)，由兩點式可得l′的方程為2x－3y－9＝0. 法二：設(shè)Q(x，y)為l′上任意一點， 則Q(x，y)關(guān)于點A(－1，－2)的對稱點為Q′(－2－x，－4－y)， ∵Q′在直線l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0， 即2x－3y－9＝0. [規(guī)律方法]　常見對稱問題的求解方法 (1)中心對稱 ①點P(x，y)關(guān)于

14、Q(a，b)的對稱點P′(x′，y′)滿足 ②直線關(guān)于點的對稱可轉(zhuǎn)化為點關(guān)于點的對稱問題來解決. (2)軸對稱 ①點A(a，b)關(guān)于直線Ax＋By＋C＝0(B≠0)的對稱點A′(m，n)，則有 ②直線關(guān)于直線的對稱可轉(zhuǎn)化為點關(guān)于直線的對稱問題來解決. (1)已知直線y＝2x是△ABC中角C的平分線所在的直線，若點A，B的坐標(biāo)分別是(－4,2)，(3,1)，則點C的坐標(biāo)為(　　) A．(－2,4) B．(－2，－4) C．(2,4) D．(2，－4) (2)已知入射光線經(jīng)過點M(－3,4)，被直線l：x－y＋3＝0反射，反射光線經(jīng)過點N(2,6)，則反射光線所在直線的方程為________． (1)C　(2)6x－y－6＝0　[(1)設(shè)A(－4,2)關(guān)于直線y＝2x的對稱點為(x，y)，則 解得∴BC所在直線方程為y－1＝(x－3)，即3x＋y－10＝0.聯(lián)立解得則C(2,4)． (2)設(shè)點M(－3,4)關(guān)于直線l：x－y＋3＝0的對稱點為M′(a，b)，則反射光線所在直線過點M′， 所以解得a＝1，b＝0.即M ′(1,0)． 又反射光線經(jīng)過點N(2,6)， 所以所求直線的方程為＝， 即6x－y－6＝0.] - 6 -