《2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第9章 算法初步、統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例 第3節(jié) 用樣本估計(jì)總體教學(xué)案 理（含解析）新人教A版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第9章 算法初步、統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例 第3節(jié) 用樣本估計(jì)總體教學(xué)案 理（含解析）新人教A版（9頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第三節(jié)　用樣本估計(jì)總體 [考綱傳真]　1.了解分布的意義與作用，能根據(jù)頻率分布表畫頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖，體會(huì)它們各自的特點(diǎn).2.理解樣本數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用，會(huì)計(jì)算數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差.3.能從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征(如平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差)，并做出合理的解釋.4.會(huì)用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，會(huì)用樣本的基本數(shù)字特征估計(jì)總體的基本數(shù)字特征．理解用樣本估計(jì)總體的思想，會(huì)用樣本估計(jì)總體的思想解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題． 1．頻率分布直方圖 (1)畫頻率分布直方圖的步驟： (2)頻率分布直方圖：反映樣本頻率分布的直方圖． 橫軸表示樣本數(shù)據(jù)，縱軸表示，每個(gè)小矩形的面積表示樣本落在

2、該組內(nèi)的頻率． 2．頻率分布折線圖和總體密度曲線 (1)頻率分布折線圖：連接頻率分布直方圖中各小長(zhǎng)方形上端的中點(diǎn)，就得到頻率分布折線圖． (2)總體密度曲線：隨著樣本容量的增加，作圖時(shí)所分的組數(shù)增加，組距減小，相應(yīng)的頻率折線圖會(huì)越來(lái)越接近于一條光滑曲線，統(tǒng)計(jì)中稱這條光滑曲線為總體密度曲線． 3．莖葉圖 統(tǒng)計(jì)中一種被用來(lái)表示數(shù)據(jù)的圖叫做莖葉圖，莖是指中間的一列數(shù)，葉是從莖的旁邊生長(zhǎng)出來(lái)的數(shù)． 4．樣本的數(shù)字特征 (1)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)據(jù)，叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)． (2)中位數(shù)：把n個(gè)數(shù)據(jù)按大小順序排列，處于最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)(或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)

3、據(jù)的中位數(shù)． (3)平均數(shù)：把＝稱為x1，x2，…，xn這n個(gè)數(shù)的平均數(shù)． (4)標(biāo)準(zhǔn)差與方差：設(shè)一組數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，xn的平均數(shù)為，則這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差和方差分別是 s＝； s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]． [常用結(jié)論] 1．頻率分布直方圖中各小矩形的面積之和為1. 2．頻率分布直方圖與眾數(shù)、中位數(shù)與平均數(shù)的關(guān)系 (1)最高的小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)即是眾數(shù)． (2)中位數(shù)左邊和右邊的小長(zhǎng)方形的面積和是相等的． (3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個(gè)小長(zhǎng)方形的面積乘以小長(zhǎng)方形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和． 3．若數(shù)據(jù)x1

4、，x2，…，xn的平均數(shù)為，方差為s2，則數(shù)據(jù)mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均數(shù)是m＋a，方差為m2s2. [基礎(chǔ)自測(cè)] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)從不同的角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)．(　　) (2)一組數(shù)據(jù)的方差越大，說(shuō)明這組數(shù)據(jù)越集中. (　　) (3)頻率分布直方圖中，小矩形的面積越大，表示樣本數(shù)據(jù)落在該區(qū)間的頻率越高．(　　) (4)莖葉圖一般左側(cè)的葉按從大到小的順序?qū)?，右?cè)的葉按從小到大的順序?qū)?，相同的?shù)據(jù)可以只記一次．(　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4

5、)× 2．為評(píng)估一種農(nóng)作物的種植效果，選了n塊地作試驗(yàn)田．這n塊地的畝產(chǎn)量(單位：kg)分別為x1，x2，…，xn，下面給出的指標(biāo)中可以用來(lái)評(píng)估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的是(　　) A．x1，x2，…，xn的平均數(shù) B．x1，x2，…，xn的標(biāo)準(zhǔn)差 C．x1，x2，…，xn的最大值 D．x1，x2，…，xn的中位數(shù) B　[標(biāo)準(zhǔn)差反映樣本數(shù)據(jù)的離散波動(dòng)大小，故選B.] 3．?dāng)?shù)據(jù)1,3,4,8的平均數(shù)與方差分別是(　　) A．2,2.5　　 B．2,10.5 C．4,2 D．4,6.5 D　[平均數(shù)為＝4，方差為＝6.5.] 4．某學(xué)生在一門功課的22次考試中，所得分?jǐn)?shù)莖

6、葉圖如圖所示，則此學(xué)生該門功課考試分?jǐn)?shù)的極差與中位數(shù)之和為(　　) A．117 B．118 C．118.5 D．119.5 B　[22次考試中，所得分?jǐn)?shù)最高的為98，最低的為56，所以極差為98－56＝42， 將分?jǐn)?shù)從小到大排列，中間兩數(shù)為76,76，所以中位數(shù)為76， 所以此學(xué)生該門功課考試分?jǐn)?shù)的極差與中位數(shù)之和為42＋76＝118.] 5．(教材改編)某校為了了解教科研工作開展?fàn)顩r與教師年齡之間的關(guān)系，將該校不小于35歲的80名教師按年齡分組，分組區(qū)間為[35,40)，[40,45)，[45,50)，[50,55)，[55,60]，由此得到頻率分布直方圖如圖，則這8

7、0名教師中年齡小于45歲的有________人． 48　[由頻率分布直方圖可知45歲以下的教師的頻率為5×(0.040＋0.080)＝0.6，所以共有80×0.6＝48(人). ] 樣本的數(shù)字特征的計(jì)算與應(yīng)用 1．在某次測(cè)量中，得到的A樣本數(shù)據(jù)為81,82,82,84,84,85,86,86,86，若B樣本數(shù)據(jù)恰好是A樣本數(shù)據(jù)分別加2后所得的數(shù)據(jù)，則A，B兩個(gè)樣本的下列數(shù)字特征對(duì)應(yīng)相同的是(　　) A．眾數(shù)　　 B．平均數(shù) C．標(biāo)準(zhǔn)差 D．中位數(shù) C　[由題意可得A，B兩組數(shù)據(jù)的眾數(shù)分別是86和88，排除A；B組數(shù)據(jù)的平均數(shù)比A組數(shù)據(jù)的平均數(shù)大2，排除B；B組數(shù)

8、據(jù)的中位數(shù)比A組數(shù)據(jù)的中位數(shù)大2，排除D；A，B兩組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差相同，C正確，故選C.] 2．甲、乙兩人在一次射擊比賽中各射靶5次，兩人成績(jī)的條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示，則(　　) 甲　　　　乙 A．甲的成績(jī)的平均數(shù)小于乙的成績(jī)的平均數(shù) B．甲的成績(jī)的中位數(shù)等于乙的成績(jī)的中位數(shù) C．甲的成績(jī)的方差小于乙的成績(jī)的方差 D．甲的成績(jī)的極差小于乙的成績(jī)的極差 C　[根據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖可知甲的中靶情況為4環(huán)、5環(huán)、6環(huán)、7環(huán)、8環(huán)；乙的中靶情況為5環(huán)、5環(huán)、5環(huán)、6環(huán)、9環(huán).甲＝(4＋5＋6＋7＋8)＝6，乙＝(5×3＋6＋9)＝6，甲的成績(jī)的方差為 ＝2，乙的成績(jī)的方差為＝2.4；甲的成績(jī)的

9、極差為4環(huán)，乙的成績(jī)的極差為4環(huán)；甲的成績(jī)的中位數(shù)為6環(huán)，乙的成績(jī)的中位數(shù)為5環(huán)，綜上可知C正確，故選C.] 3．某人5次上班途中所花的時(shí)間(單位：分鐘)分別為x，y,10,11,9.已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，方差為2，則|x－y|的值為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 D　[由題意可知 ∴ ∴(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy，即208＋2xy＝400，∴xy＝96. ∴(x－y)2＝x2＋y2－2xy＝16，∴|x－y|＝4，故選D.] [規(guī)律方法]　眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差的意義及常用結(jié)論 (1)平均數(shù)與方差都是重要的數(shù)字特征，是對(duì)總體的一種簡(jiǎn)明的

10、描述，它們所反映的情況有著重要的實(shí)際意義，平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)描述其集中趨勢(shì)，方差和標(biāo)準(zhǔn)差描述波動(dòng)大小. (2)方差的簡(jiǎn)化計(jì)算公式：，或?qū)懗蓅2＝，即方差等于原數(shù)據(jù)平方的平均數(shù)減去平均數(shù)的平方. 莖葉圖 【例1】　某良種培育基地正在培育一小麥新品種A，將其與原有的一個(gè)優(yōu)良品種B進(jìn)行對(duì)照試驗(yàn)，兩種小麥各種植了25畝，所得畝產(chǎn)量的數(shù)據(jù)(單位：千克)如下： 品種A： 357,359,367,368,375,388,392,399,400,405,412,414,415,421,423,423,427,430,430,434,443,445,445,451,454. 品種B： 3

11、63,371,374,383,385,386,391,392,394,394,395,397,397,400,401,401,403,406,407,410,412,415,416,422,430 (1)作出品種A與B畝產(chǎn)量數(shù)據(jù)的莖葉圖； (2)用莖葉圖處理現(xiàn)有的數(shù)據(jù)，有什么優(yōu)點(diǎn)？ (3)通過(guò)觀察莖葉圖，對(duì)品種A與B的畝產(chǎn)量及其穩(wěn)定性進(jìn)行比較，寫出統(tǒng)計(jì)結(jié)論． [解]　(1)畫出莖葉圖如圖所示． (2)由于每個(gè)品種的數(shù)據(jù)都只有25個(gè)，樣本容量不大，畫莖葉圖很方便；此時(shí)莖葉圖不僅清晰明了地展示了數(shù)據(jù)的分布情況，便于比較，沒(méi)有任何信息損失，而且可以隨時(shí)記錄新的數(shù)據(jù)． (3)通過(guò)觀察莖

12、葉圖可以看出：①品種A的畝產(chǎn)量的平均數(shù)(或均值)比品種B高；②品種A的畝產(chǎn)量的標(biāo)準(zhǔn)差(或方差)比品種B大，故品種A的畝產(chǎn)量的穩(wěn)定性較差． [規(guī)律方法]　莖葉圖中的兩個(gè)關(guān)注點(diǎn) (1)重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)據(jù)要重復(fù)記錄，不能遺漏. (2)給定兩組數(shù)據(jù)的莖葉圖，估計(jì)數(shù)字特征，莖上的數(shù)字由小到大排列，一般“重心”下移者平均數(shù)較大，數(shù)據(jù)集中者方差較小. 易錯(cuò)警示：莖葉圖中數(shù)字大小排列不一定從小到大排列，一定要看清楚. (1)空氣質(zhì)量指數(shù)(Air Quality Index，簡(jiǎn)稱AQI)是定量描述空氣質(zhì)量狀況的指數(shù)，空氣質(zhì)量按照AQI大小分為六級(jí)，0～50為優(yōu)；51～100為良；101～150為輕度污

13、染；151～200為中度污染；201～300為重度污染；大于300為嚴(yán)重污染．從某地一環(huán)保人士某年的AQI記錄數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽取10個(gè)，用莖葉圖記錄如圖．根據(jù)該統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，估計(jì)此地該年AQI大于100的天數(shù)約為________．(該年為365天) (2)如圖所示的莖葉圖是甲、乙兩位選手在某次比賽中的比賽得分，則下列說(shuō)法正確的是(　　) A．甲的平均數(shù)大于乙的平均數(shù) B．甲的中位數(shù)大于乙的中位數(shù) C．甲的方差大于乙的方差 D．甲的平均數(shù)等于乙的中位數(shù) (1)146　(2)C　[(1)該樣本中AQI大于100的頻數(shù)是4，頻率為， 由此估計(jì)該地全年AQI大于100的頻率為， 估計(jì)此地

14、該年AQI大于100的天數(shù)約為365×＝146. (2)由莖葉圖可知，甲＝×(59＋45＋32＋38＋24＋26＋11＋12＋14)＝29，乙＝×(51＋43＋30＋34＋20＋25＋27＋28＋12)＝30，s＝×(302＋162＋32＋92＋52＋32＋182＋172＋152)≈235.3，s＝×(212＋132＋02＋42＋102＋52＋32＋22＋182)≈120.9，甲的中位數(shù)為26，乙的中位數(shù)為28.所以甲的方差大于乙的方差．故選C.] 頻率分布直方圖 【例2】　某城市100戶居民的月平均用電量(單位：千瓦時(shí))，以[160,180)，[180,200)，[200,22

15、0)，[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]分組的頻率分布直方圖如圖． (1)求直方圖中x的值． (2)求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù)． (3)在月平均用電量為[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]的四組用戶中，用分層抽樣的方法抽取11戶居民，則月平均用電量在[220,240]的用戶中應(yīng)抽取多少戶？ [解]　(1)(0.002＋0.009 5＋0.011＋0.012 5＋x＋0.005＋0.002 5)×20＝1，解得x＝0.007 5. 即直方圖中x的值為0.007 5. (2)月平均用電量的眾數(shù)是

16、＝230. ∵(0.002＋0.009 5＋0.011)×20＝0.45＜0.5， (0.002＋0.009 5＋0.011＋0.012 5)×20＝0.7＞0.5， ∴月平均用電量的中位數(shù)在[220,240)內(nèi)． 設(shè)中位數(shù)為a，則0.45＋0.012 5×(a－220)＝0.5，解得a＝224，即中位數(shù)為224. (3)月平均用電量在[220,240]的用戶有0.012 5×20×100＝25(戶)．同理可得月平均用電量在[240,260)的用戶有15戶，月平均用電量在[260,280)的用戶有10戶，月平均用電量在[280,300]的用戶有5戶，故抽取比例為＝. ∴月平均用電量

17、在[220,240)的用戶中應(yīng)抽取25×＝5(戶)． [規(guī)律方法]　頻率、頻數(shù)、樣本容量的計(jì)算方法 (1) (2) 從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取100件，測(cè)量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，由測(cè)量結(jié)果得如下頻數(shù)分布表： 質(zhì)量指標(biāo) 值分組 [75,85) [85,95) [95,105) [105,115) [115,125] 頻數(shù) 6 26 38 22 8 (1)作出這些數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖： (2)估計(jì)這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)及方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)； (3)根據(jù)以上抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，能否認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標(biāo)值不

18、低于95的產(chǎn)品至少要占全部產(chǎn)品的80%”的規(guī)定？ [解]　(1)如圖所示： (2)質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù)為＝80×0.06＋90×0.26＋100×0.38＋110×0.22＋120×0.08＝100. 質(zhì)量指標(biāo)值的樣本方差為s2＝(－20)2×0.06＋(－10)2×0.26＋0×0.38＋102×0.22＋202×0.08＝104. 所以這種產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的平均數(shù)的估計(jì)值為100，方差的估計(jì)值為104. (3)質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的產(chǎn)品所占比例的估計(jì)值為0.38＋0.22＋0.08＝0.68.由于該估計(jì)值小于0.8，故不能認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品符合“質(zhì)量指標(biāo)值不低于95的產(chǎn)

19、品至少要占全部產(chǎn)品的80%”的規(guī)定． 1．(2017·全國(guó)卷Ⅲ)某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務(wù)質(zhì)量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量(單位：萬(wàn)人)的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖． 根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是(　　) A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加 C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月 D．各年1月至6月的月接待游客量相對(duì)于7月至12月，波動(dòng)性更小，變化比較平穩(wěn) A　[對(duì)于選項(xiàng)A，由圖易知月接待游客量每年7,8月份明顯高于12月份，故A錯(cuò)； 對(duì)于選項(xiàng)B，觀察折線圖的變化趨勢(shì)可知年接待游客量逐年增加

20、，故B正確； 對(duì)于選項(xiàng)C，D，由圖可知顯然正確． 故選A.] 2．(2018·全國(guó)卷Ⅰ)某地區(qū)經(jīng)過(guò)一年的新農(nóng)村建設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入增加了一倍，實(shí)現(xiàn)翻番．為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入變化情況，統(tǒng)計(jì)了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例，得到如下餅圖： 則下面結(jié)論中不正確的是(　　) A．新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少 B．新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以上 C．新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍 D．新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過(guò)了經(jīng)濟(jì)收入的一半 A　[設(shè)新農(nóng)村建設(shè)前經(jīng)濟(jì)收入的總量為x，則新農(nóng)村建設(shè)后經(jīng)濟(jì)收入的總量為2x. 建設(shè)前種植收入為0.6x，建設(shè)后種植收入為0.74x，故A不正確； 建設(shè)前其他收入為0.04x，建設(shè)后其他收入為0.1x，故B正確； 建設(shè)前養(yǎng)殖收入為0.3x，建設(shè)后養(yǎng)殖收入為0.6x，故C正確； 建設(shè)后養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和占建設(shè)后經(jīng)濟(jì)收入總量的58%，故D正確．] - 9 -