2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第7章 立體幾何 第6節(jié) 立體幾何中的向量方法教學(xué)案 理(含解析)新人教A版
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1、第六節(jié) 立體幾何中的向量方法 [考綱傳真] 能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計(jì)算問題,了解向量方法在研究立體幾何問題中的應(yīng)用. 1.異面直線所成的角 設(shè)a,b分別是兩異面直線l1,l2的方向向量,則 a與b的夾角〈a,b〉 l1與l2所成的角θ 范圍 0<〈a,b〉<π 0<θ≤ 關(guān)系 cos〈a,b〉= cos θ=|cos〈a,b〉|= 2.直線與平面所成的角 設(shè)直線l的方向向量為a,平面α的法向量為n,直線l與平面α所成的角為θ,則sin θ=|cos〈a,n〉|=. 3.二面角 (1)如圖①,AB,CD是二面角α-l-β的
2、兩個(gè)面內(nèi)與棱l垂直的直線,則二面角的大小θ=〈,〉. (2)如圖②③,n1,n2分別是二面角α-l-β的兩個(gè)半平面α,β的法向量,則二面角的大小θ滿足|cos θ|=|cos〈n1,n2〉|,二面角的平面角大小是向量n1與n2的夾角(或其補(bǔ)角). [常用結(jié)論] 點(diǎn)到平面的距離 如圖所示,已知AB為平面α的一條斜線段,n為平面α的法向量,則B到平面α的距離為||=. [基礎(chǔ)自測(cè)] 1.(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”) (1)兩直線的方向向量所成的角就是兩條直線所成的角.( ) (2)直線的方向向量和平面的法向量所成的角就是直線與平面所成的角
3、.( ) (3)兩個(gè)平面的法向量所成的角是這兩個(gè)平面所成的角.( ) (4)兩異面直線夾角的范圍是,直線與平面所成角的范圍是,二面角的范圍是[0,π].( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ 2.已知兩平面的法向量分別為m=(0,1,0),n=(0,1,1),則兩平面所成的二面角為( ) A. B.π C.或π D.或π C [∵m=(0,1,0),n=(0,1,1), ∴m·n=1,|m|=1,|n|=, ∴cos〈m,n〉==, ∴〈m,n〉=. ∴兩平面所成的二面角為或π,故選C.] 3.如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D
4、1中,已知M,N分別是BD和AD的中點(diǎn),則B1M與D1N所成角的余弦值為( ) A. B. C. D. A [以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz,如圖, 設(shè)AB=2,則N(1,0,0),D1(0,0,2),M(1,1,0),B1(2,2,2), ∴=(-1,-1,-2), =(1,0,-2), ∴·=-1+4=3, ||=,||=, ∴cos〈,〉==>0, ∴B1M與D1N所成角的余弦值為.故選A.] 4.已知向量m,n分別是直線l和平面α的方向向量和法向量,若cos〈m,n〉=-,則l與α所成的角為________. [設(shè)l與α所成的角為θ,則sin
5、 θ=|cos〈m,n〉|=, 又θ∈,∴θ=.] 5.過正方形ABCD的頂點(diǎn)A作線段PA⊥平面ABCD,若AB=PA,則平面ABP與平面CDP所成的二面角為________. 45° [如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AB=PA=1,則A(0,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1),由題意,AD⊥平面PAB,設(shè)E為PD的中點(diǎn),連接AE,則AE⊥PD,又CD⊥平面PAD, ∴CD⊥AE,從而AE⊥平面PCD. ∴=(0,1,0),=分別是平面PAB,平面PCD的法向量,且〈,〉=45°. 故平面PAB與平面PCD所成的二面角為45°.] 求異面直線所成的角 1
6、.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為( ) A. B. C. D. C [在平面ABC內(nèi)過點(diǎn)B作AB的垂線,以B為原點(diǎn),以該垂線,BA,BB1所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系B-xyz,則A(0,2,0),B1(0,0,1),C,C1,=(0,-2,1),=,cos〈,〉===,故選C.] 2.如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,AB=2,∠BAD=60°. (1)求證:BD⊥平面PAC; (2)若PA=AB,求PB與AC所成角的余弦
7、值. [解] (1)證明:因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形, 所以AC⊥BD. 因?yàn)镻A⊥平面ABCD,所以PA⊥BD. 又因?yàn)锳C∩PA=A,所以BD⊥平面PAC. (2)設(shè)AC∩BD=O. 因?yàn)椤螧AD=60°,PA=AB=2, 所以BO=1,AO=CO=. 如圖,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz, 則P(0,-,2),A(0,-,0),B(1,0,0),C(0,,0). 所以=(1,,-2),=(0,2,0). 設(shè)PB與AC所成角為θ,則 cos θ===. 即PB與AC所成角的余弦值為. [規(guī)律方法] 用向量法求異面直線所成角的一般步驟 (1)選擇三條兩
8、兩垂直的直線建立空間直角坐標(biāo)系; (2)確定異面直線上兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),從而確定異面直線的方向向量; (3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值; (4)兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角余弦值的絕對(duì)值. 求直線與平面所成的角 【例1】 (2018·合肥一模)如圖,在多面體ABCDEF中,四邊形ABCD是正方形,BF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,BF=DE,M為棱AE的中點(diǎn). (1)求證:平面BDM∥平面EFC; (2)若DE=2AB,求直線AE與平面BDM所成角的正弦值. [解] (1)連接AC,交BD于點(diǎn)N,連接MN,則N為AC的中點(diǎn), 又M為AE的中點(diǎn),
9、∴MN∥EC. ∵M(jìn)N?平面EFC,EC?平面EFC,∴MN∥平面EFC. ∵BF,DE都垂直底面 ABCD,∴BF∥DE. ∵BF=DE,∴四邊形BDEF為平行四邊形,∴BD∥EF. ∵BD?平面EFC,EF?平面EFC, ∴BD∥平面EFC. 又MN∩BD=N,∴平面BDM∥平面EFC. (2)∵DE⊥平面ABCD,四邊形ABCD是正方形,∴DA,DC,DE兩兩垂直,如圖,建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz. 設(shè)AB=2,則DE=4,從而D(0,0,0),B(2,2,0),M(1,0,2),A( 2,0,0),E(0,0,4), ∴=(2,2,0),=(1,0,2), 設(shè)
10、平面BDM的法向量為n=(x,y,z), 則得 令x=2,則y=-2,z=-1,從而n=(2,-2,-1)為平面BDM的一個(gè)法向量. ∵=(-2,0,4),設(shè)直線AE與平面BDM所成的角為θ,則 sin θ=|cos〈n,〉|==, ∴直線AE與平面BDM所成角的正弦值為. [規(guī)律方法] 利用向量法求線面角的方法 (1)分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量,轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角(或其補(bǔ)角); (2)通過平面的法向量來求,即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角或鈍角的補(bǔ)角,取其余角就是斜線和平面所成的角. 如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA
11、1=2,點(diǎn)P,Q分別為A1B1,BC的中點(diǎn). (1)求異面直線BP與AC1所成角的余弦值; (2)求直線CC1與平面AQC1所成角的正弦值. [解] 如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,設(shè)AC,A1C1的中點(diǎn)分別為O,O1,連接OB,OO1,則OB⊥OC,OO1⊥OC,OO1⊥OB, 如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.因?yàn)锳B=AA1=2,所以A(0,-1,0),B(,0,0),C(0,1,0),A1(0,-1,2),B1(,0,2),C1(0,1,2). (1)因?yàn)镻為A1B1的中點(diǎn),所以P, 從而=,=(0,2,2), 故|cos〈,〉|===. 因此,異面直
12、線BP與AC1所成角的余弦值為. (2)因?yàn)镼為BC的中點(diǎn),所以Q, 因此=,=(0,2,2),=(0,0,2). 設(shè)n=(x,y,z)為平面AQC1的法向量, 則即 不妨取n=(,-1,1). 設(shè)直線CC1與平面AQC1所成角為θ, 則sin θ=|cos〈,n〉|===, 所以直線CC1與平面AQC1所成角的正弦值為. 求二面角 【例2】 (2018·湖北二模)如圖1,等腰直角三角形ABC的底邊AB=2,點(diǎn)D在線段AC上,DE⊥AB于點(diǎn)E,現(xiàn)將△ADE沿DE折起到△PDE的位置(如圖2). 圖1 圖2 (1)求證:PB⊥DE; (2)若PE⊥B
13、E,直線PD與平面PBC所成的角為30°,求平面PDE與平面PBC所成的銳二面角的正弦值. [解] (1)證明:∵DE⊥PE,DE⊥BE,PE∩BE=E, ∴DE⊥平面PBE,又PB?平面PBE,∴PB⊥DE. (2)由題知DE⊥PE,DE⊥EB,且PE⊥EB, ∴DE,BE,PE兩兩互相垂直. 分別以,,的方向?yàn)閤軸,y軸,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系E-xyz. 設(shè)|PE|=a(0<a<1), 則B(0,2-a,0),D(a,0,0),C(1,1-a,0),P(0,0,a), ∴=(0,2-a,-a),=(1,-1,0). 設(shè)平面PBC的法向量為n=(x,y,z),則
14、 ∴ ∴平面PBC的一個(gè)法向量為n=(a,a,2-a), ∵直線PD與平面PBC所成的角為30°,且=(a,0,-a), ∴sin 30°=, ∴a=2(舍)或a=. ∴平面PBC的一個(gè)法向量為n=. 易知平面PDE的一個(gè)法向量為m=(0,1,0), 設(shè)所求的銳二面角為θ,則cos θ==, 所以sin θ=, 即平面PDE與平面PBC所成的銳二面角的正弦值為. [規(guī)律方法] 利用向量計(jì)算二面角大小的常用方法 (1)找法向量法:分別求出二面角的兩個(gè)半平面所在平面的法向量,然后通過兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小,但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳(鈍)二面角. (
15、2)找與棱垂直的方向向量法:分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點(diǎn)的兩個(gè)向量,則這兩個(gè)向量的夾角的大小就是二面角的大小. (2019·南昌重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)如圖,四邊形ABCD是矩形,沿對(duì)角線AC將△ACD折起,使得點(diǎn)D在平面ABC內(nèi)的射影恰好落在邊AB上. (1)求證:平面ACD⊥平面BCD; (2)當(dāng)=2時(shí),求二面角D-AC-B的余弦值. [解] (1)證明:如圖,設(shè)點(diǎn)D在平面ABC內(nèi)的射影為點(diǎn)E,連接DE, 則DE⊥平面ABC,所以DE⊥BC. 因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形,所以AB⊥BC,所以BC⊥平面ABD,所以BC⊥AD. 又AD⊥CD,所以AD⊥平面BC
16、D,而AD?平面ACD, 所以平面ACD⊥平面BCD. (2)以點(diǎn)B為原點(diǎn),線段BC所在的直線為x軸,線段AB所在的直線為y軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示. 設(shè)AD=a,則AB=2a,所以A(0,-2a,0),C(-a,0,0). 由(1)知AD⊥BD,又=2,所以∠DBA=30°,∠DAB=60°,所以AE=ADcos∠DAB=a,BE=AB-AE=a,DE=ADsin∠DAB=a, 所以D, 所以=,=(-a,2a,0). 設(shè)平面ACD的法向量為m=(x,y,z), 則 即 取y=1,則x=2,z=-, 所以m=. 因?yàn)槠矫鍭BC的一個(gè)法向量為n=(0,0,1),
17、 所以cos〈m,n〉===-. 所以二面角D-AC-B的余弦值為. 1.(2018·全國(guó)卷Ⅱ)如圖所示,在三棱錐P-ABC中,AB=BC=2,PA=PB=PC=AC=4,O為AC的中點(diǎn). (1)證明:PO⊥平面ABC; (2)若點(diǎn)M在棱BC上,且二面角M-PA-C為30°,求PC與平面PAM所成角的正弦值. [解] (1)證明:因?yàn)锳P=CP=AC=4,O為AC的中點(diǎn),所以O(shè)P⊥AC,且OP=2. 連接OB.因?yàn)锳B=BC=AC,所以△ABC為等腰直角三角形, 且OB⊥AC,OB=AC=2. 由OP2+OB2=PB2知PO⊥OB. 由OP⊥OB,OP⊥AC,O
18、B∩AC=O,知PO⊥平面ABC. (2)如圖,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)閤軸正方向,建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz. 由已知得O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0),P(0,0,2),=(0,2,2).取平面PAC的一個(gè)法向量=(2,0,0). 設(shè)M(a,2-a,0)(0<a≤2),則=(a,4-a,0). 設(shè)平面PAM的法向量為n=(x,y,z). 由·n=0,·n=0得 可取n=((a-4),a,-a), 所以cos〈,n〉=.由已知可得|cos〈,n〉|=, 所以=,解得a=-4(舍去)或a=, 所以n=. 又=(0,2,-2),所以c
19、os〈,n〉=. 所以PC與平面PAM所成角的正弦值為. 2.(2016·全國(guó)卷Ⅱ)如圖所示,菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O,AB=5,AC=6,點(diǎn)E,F(xiàn)分別在AD,CD上,AE=CF=,EF交BD于點(diǎn)H.將△DEF沿EF折到△D′EF的位置,OD′=. (1)證明:D′H⊥平面ABCD; (2)求二面角B-D′A-C的正弦值. [解] (1)證明:由已知得AC⊥BD,AD=CD. 又由AE=CF得=, 故AC∥EF. 因此EF⊥HD,從而EF⊥D′H. 由AB=5,AC=6得DO=BO==4. 由EF∥AC得==. 所以O(shè)H=1,D′H=DH=3. 于是D′H
20、2+OH2=32+12=10=D′O2,故D′H⊥OH. 又D′H⊥EF,而OH∩EF=H, 所以D′H⊥平面ABCD. (2)如圖,以H為坐標(biāo)原點(diǎn),的方向?yàn)閤軸正方向,的方向?yàn)閥軸正方向,的方向?yàn)閦軸正方向,建立空間直角坐標(biāo)系H-xyz,則H(0,0,0),A(-3,-1,0),B(0,-5,0),C(3,-1,0),D′(0,0,3), =(3,-4,0),=(6,0,0),=(3,1,3). 設(shè)m=(x1,y1,z1)是平面ABD′的法向量,則 即 所以可取m=(4,3,-5). 設(shè)n=(x2,y2,z2)是平面ACD′的法向量,則 即 所以可取n=(0,-3,1). 于是cos〈m,n〉===-, sin〈m,n〉=. 因此二面角B-D′A-C的正弦值是. - 11 -
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