《2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第4章 平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 第3節(jié) 平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例教學(xué)案 理（含解析）新人教A版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第4章 平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 第3節(jié) 平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例教學(xué)案 理（含解析）新人教A版（8頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第三節(jié)　平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例 [考綱傳真]　1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義.2.了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系.3.掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.4.能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系.5.會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題.6.會用向量方法解決簡單的力學(xué)問題與其他一些實(shí)際問題． 1．向量的夾角 已知兩個(gè)非零向量a和b，作＝a，＝b，則∠AOB就是向量a與b的夾角，向量夾角的范圍是：[0，π]． 2．平面向量的數(shù)量積 定義 設(shè)兩個(gè)非零向量a，b的夾角為θ，則數(shù)量|a||b|cos θ叫做a

2、與b的數(shù)量積，記作a·b 投影 |a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影， |b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影 幾何 意義 數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘積 3.平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律 (1)交換律：a·b＝b·a； (2)數(shù)乘結(jié)合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)； (3)分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 4．平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示 設(shè)非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉． 結(jié)論 幾何表示 坐標(biāo)表示 模 |a|＝ |a|＝ 數(shù)量積 a·b＝|a||

3、b|cos θ a·b＝x1x2＋y1y2 夾角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 |a·b|與 |a||b|的 關(guān)系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2| ≤· [常用結(jié)論] 1．平面向量數(shù)量積運(yùn)算的常用公式 (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2； (2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2. 2．兩個(gè)向量a，b的夾角為銳角?a·b＞0且a，b不共線； 兩個(gè)向量a，b的夾角為鈍角?a·b＜0且a，b不共線． [基礎(chǔ)自測] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1

4、)兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，向量的數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算結(jié)果是向量．(　　) (2)向量在另一個(gè)向量方向上的投影為數(shù)量，而不是向量．(　　) (3)由a·b＝0可得a＝0或b＝0.(　　) (4)(a·b)c＝a(b·c)．(　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)× 2．(教材改編)已知|a|＝6，|b|＝3，向量a在b方向上的投影是4，則a·b為(　　) A．12　　B．8　　C．－8　　 D．2 A　[∵a·b＝|a||b|cos〈a，b〉 ＝|b||a|cos〈a，b〉 ＝3×4＝12.] 3．已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，則m

5、＝(　　) A．－8 B．－6 C．6 D．8 D　[∵a＝(1，m)，b＝(3，－2)， ∴a＋b＝(4，m－2)，由(a＋b)⊥b可得 (a＋b)·b＝12－2m＋4＝16－2m＝0，即m＝8.] 4．已知a，b是平面向量，如果|a|＝3，|b|＝4，|a＋b|＝2，那么|a－b|＝(　　) A. B．7 C．5 D. A　[∵|a|＝3，|b|＝4，|a＋b|＝2，∴a2＋b2＋2a·b＝4，即2a·b＝－21. ∴|a－b|＝＝＝.] 5．已知向量a＝(1，)，b＝(，1)，則a與b夾角的大小為________． 　[由題意得|a|＝＝2，|b|＝＝2

6、， a·b＝1×＋×1＝2. 設(shè)a與b的夾角為θ，則cos θ＝＝. ∵θ∈[0，π]，∴θ＝.] 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算 1．已知點(diǎn)A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，則向量在方向上的投影是(　　) A．－3　　　B．－　　　C．3　　　D. A　[依題意得，＝(－2，－1)，＝(5,5)，·＝－15，||＝，因此向量在方向上的投影是＝＝－3，故選A.] 2．在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠ABC＝，D是AC的中點(diǎn)，E在BC上，且AE⊥BD，則·＝(　　) A．16 B．12 C．8 D．－4 A　[建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系

7、，則A(4,0)，B(0,0)，C(0,6)，D(2,3)．設(shè)E(0，b)，因?yàn)锳E⊥BD，所以·＝0，即(－4，b)·(2,3)＝0，所以b＝，所以E，＝，所以·＝16，故選A.] 3．已知菱形ABCD的邊長為6，∠ABD＝30°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，DC上，BC＝2BE，CD＝λCF.若·＝－9，則λ的值為(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 B　[依題意得＝＋＝－，＝＋，因此·＝·＝2－2＋·，于是有×62＋×62×cos 60°＝－9，由此解得λ＝3，故選B.] [規(guī)律方法]　1.向量數(shù)量積的兩種運(yùn)算方法 (1)當(dāng)已知向量的模和夾角時(shí)，可利用定義法求解，即a·b＝

8、|a||b|cos〈a，b〉； (2)當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時(shí)，可利用坐標(biāo)法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2. 2.解決涉及幾何圖形的向量的數(shù)量積運(yùn)算問題時(shí)，常利用解析法，巧妙構(gòu)造坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)求解. 平面向量的夾角與模 ?考法1　平面向量的模 【例1】　(1)設(shè)向量a，b滿足|a|＝2，|b|＝|a＋b|＝3，則|a＋2b|＝________. (2)已知向量a＝(cos θ，sin θ)，b＝(－，1)，則|2a－b|的最大值為________． (1)4　(2)4　[(1)因?yàn)閨a|＝2，|b|＝|a＋b|＝3， 所以(a

9、＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝4＋9＋2a·b＝9， 所以a·b＝－2，所以|a＋2b|＝＝＝＝4. (2)由題意得|a|＝1，|b|＝2，a·b＝sin θ－cos θ＝2sin，所以|2a－b|2＝4|a|2＋|b|2－4a·b＝4×12＋22－8sin＝8－8sin，所以|2a－b|2的最大值為8－8×(－1)＝16，故|2a－b|的最大值為4(此時(shí)θ＝2kπ－，k∈Z)．] ?考法2　平面向量的夾角 【例2】　(1)若非零向量a，b滿足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，則a與b的夾角為(　　) A. B. C. D．π (2)(2018·遼南一

10、模)設(shè)向量a＝(1，)，b＝(m，)，且a，b的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________． (1)A　(2)(－3,1)∪(1，＋∞)　[(1)∵(a－b)⊥(3a＋2b)，∴(a－b)·(3a＋2b)＝0，即3a2－a·b－2b2＝0，∴a·b＝3a2－2b2，又|a|＝|b|，∴cos〈a，b〉＝＝＝＝，又〈a，b〉∈[0，π]，∴a與b的夾角為，故選A. (2)由a，b的夾角是銳角得a·b＞0且a，b不共線，則解得m＞－3且m≠1，即實(shí)數(shù)m的取值范圍為(－3,1)∪(1，＋∞)．] [規(guī)律方法]　1.求解平面向量模的方法 (1)寫出有關(guān)向量的坐標(biāo)，利用公式|a|＝ (2

11、)當(dāng)利用向量的線性運(yùn)算和向量的數(shù)量積公式進(jìn)行求解， 2.求平面向量的夾角的方法 (1)定義法：注意θ的取值范圍為[0，π]； (2)坐標(biāo)法：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則 (3)解三角形法：可以把所求兩向量的夾角放到三角形中進(jìn)行求解. (1)(2018·廣州一模)已知向量a＝(m,2)，b＝(1,1)，若|a＋b|＝|a|＋|b|，則實(shí)數(shù)m＝________. (2)(2017·山東高考)已知e1，e2是互相垂直的單位向量．若e1－e2與e1＋λe2的夾角為60°，則實(shí)數(shù)λ的值是________． (1)2　(2)　[(1)|a＋b|＝|a|＋|b|兩邊平方，得

12、2a·b＝2|a||b|，即m＋2＝×，解得m＝2. (2)由題意知|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0， |e1－e2|＝ ＝＝＝2. 同理|e1＋λe2|＝. 所以cos 60°＝ ＝＝＝， 解得λ＝.] 平面向量的應(yīng)用 【例3】　(1)在△ABC中，已知向量＝(2,2)，||＝2，·＝－4，則△ABC的面積為(　　) A．4 B．5 C．2 D．3 (2)(2017·全國卷Ⅱ)已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則·(＋)的最小值是(　　) A．－2 B．－ C．－ D．－1 (1)C　(2)B　　[(1)∵＝(2,

13、2)，∴||＝2， ∴·＝||||cos A ＝2×2cos A＝－4， ∴cos A＝－， 又A∈(0，π)，∴sin A＝， ∴S△ABC＝||||sin A＝2，故選C. (2)建立坐標(biāo)系如圖所示，則A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(0，)，B(－1,0)，C(1,0)． 設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，則＝(－x，－y)，＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)， ∴·(＋)＝(－x，－y)·(－2x，－2y)＝2(x2＋y2－y)＝2≥2×＝－. 當(dāng)且僅當(dāng)x＝0，y＝時(shí)，·(＋)取得最小值，最小值為－. 故選B.] [規(guī)律方法]　1.用向量法解決平面(解析)幾何問題的兩種

14、方法： (1)幾何法：選取適當(dāng)?shù)幕?基底中的向量盡量已知模或夾角)，將題中涉及的向量用基底表示，利用向量的運(yùn)算法則、運(yùn)算律或性質(zhì)計(jì)算； (2)坐標(biāo)法：建立平面直角坐標(biāo)系，實(shí)現(xiàn)向量的坐標(biāo)化，將幾何問題中的長度、垂直、平行等問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算． 一般地，存在坐標(biāo)系或易建坐標(biāo)系的題目適合用坐標(biāo)法． 2．平面向量與三角函數(shù)的綜合問題，運(yùn)用向量共線或垂直或等式成立等，得到三角函數(shù)的關(guān)系式然后求解． 　(1)(2019·廈門模擬)平行四邊形ABCD中，AB＝4，AD＝2，·＝4，點(diǎn)P在邊CD上，則·的取值范圍是(　　) A．[－1,8]　　 B．[－1，＋∞) C．[0,8] D．[

15、－1,0] (2)(2019·沈陽模擬)已知向量a，b滿足|a|＝|b|＝a·b＝2且(a－c)·(b－c)＝0，則|2b－c|的最大值為________． (1)A　(2)＋1　[(1)由題意得·＝||·||·cos∠BAD＝4，解得∠BAD＝.以A為原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系(圖略)，則A(0,0)，B(4,0)，C(5，)，D(1，)，因?yàn)辄c(diǎn)P在邊CD上，所以不妨設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(a，)(1≤a≤5)，則·＝(－a，－)·(4－a，－)＝a2－4a＋3＝(a－2)2－1，則當(dāng)a＝2時(shí)，·取得最小值－1；當(dāng)a＝5時(shí)，·取得最大值8，故選A. (2)∵|a|＝|b|＝a

16、·b＝2， ∴cos〈a，b〉＝＝， ∴〈a，b〉＝60°. 設(shè)＝a＝(2,0)，＝b＝(1，)，＝c， ∵(a－c)·(b－c)＝0， ∴⊥， ∴點(diǎn)C在以AB為直徑的圓M上，其中M，半徑r＝1. 延長OB到D，使得＝2b(圖略)，則D(2,2)． ∵2b－c＝－＝， ∴|2b－c|的最大值為CD的最大值． ∵DM＝ ＝， ∴CD的最大值為DM＋r＝＋1.] 1．(2018·全國卷Ⅱ)已知向量a，b滿足|a|＝1，a·b＝－1，則a·(2a－b)＝(　　) A．4　　B．3　　C．2　　 D．0 B　[a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2－(－1)＝3

17、，故選B.] 2．(2016·全國卷Ⅲ)已知向量＝，＝，則∠ABC＝(　　) A．30° B．45° C．60° D．120° A　[因?yàn)椋剑?，所以·＝＋?又因?yàn)椤ぃ絴|||cos∠ABC＝1×1×cos∠ABC，所以cos∠ABC＝.又0°≤∠ABC≤180°，所以∠ABC＝30°.故選A.] 3．(2014·全國卷Ⅱ)設(shè)向量a，b滿足|a＋b|＝，|a－b|＝，則a·b＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．5 A　[|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝10，① |a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝6，② ①－②，得4a·b＝4，∴a·b＝1.] 4．(2017·全國卷Ⅰ)已知向量a，b的夾角為60°，|a|＝2，|b|＝1，則|a＋2b|＝________. 2　[|a＋2b|＝ ＝ ＝ ＝＝2.] 5．(2016·全國卷Ⅰ)設(shè)向量a＝(m,1)，b＝(1,2)，且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2，則m＝________. －2　[∵|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝|a|2＋|b|2， ∴a·b＝0. 又a＝(m,1)，b＝(1,2)，∴m＋2＝0，∴m＝－2.] - 8 -