《2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第4章 平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 第1節(jié) 平面向量的概念及線性運(yùn)算教學(xué)案 文（含解析）北師大版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第4章 平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 第1節(jié) 平面向量的概念及線性運(yùn)算教學(xué)案 文（含解析）北師大版（8頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第一節(jié)　平面向量的概念及線性運(yùn)算 [考綱傳真]　1.了解向量的實(shí)際背景，理解平面向量的概念和兩個向量相等的含義，理解向量的幾何表示.2.掌握向量加法、減法的運(yùn)算，理解其幾何意義.3.掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義，理解兩個向量共線的含義.4.了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義． 1．向量的有關(guān)概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長度(或模)． (2)零向量：長度為0的向量，其方向是任意的． (3)單位向量：長度等于1個單位的向量． (4)相等向量：長度相等且方向相同的向量． (5)相反向量：長度相等且方向相反的向量．規(guī)定零向量的相反向量仍是零向

2、量． (6)向量平行或共線：如果表示兩個向量的有向線段所在的直線平行或重合，則稱這兩個向量平行或共線，規(guī)定零向量與任一向量平行． 2．向量的線性運(yùn)算 向量運(yùn)算 定義 法則(或幾何意義) 運(yùn)算律 加法 求兩個向量和的運(yùn)算 三角形法則 平行四邊形法則 (1)交換律： a＋b＝b＋a； (2)結(jié)合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 減法 求a與b的相反向量－b的和的運(yùn)算叫做a與b的差 三角形法則 a－b＝a＋(－b) 數(shù)乘 求實(shí)數(shù)λ與向量a的積的運(yùn)算 (1)|λa|＝|λ||a|； (2)當(dāng)λ>0時，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ<0時，λa

3、的方向與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時，λa＝0 λ(μa)＝λμa； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 3.向量共線的判定定理和性質(zhì)定理 (1)判定定理：a是一個非零向量，若存在一個實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa，則向量b與非零向量a共線． (2)性質(zhì)定理：若向量b與非零向量a共線，則存在一個實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa. 1．一般地，首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量起點(diǎn)指向最后一個向量終點(diǎn)的向量，即＋＋＋…＋An－1An＝，特別地，一個封閉圖形，首尾連接而成的向量和為零向量． 2．若P為線段AB的中點(diǎn)，O為平面內(nèi)任一點(diǎn)，則＝(＋)． 3.＝x＋y(x，y為實(shí)數(shù))

4、，若點(diǎn)A，B，C共線，則x＋y＝1. 4．△ABC中，＋＋＝0?點(diǎn)P為△ABC的重心． [基礎(chǔ)自測] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)向量與有向線段是一樣的，因此可以用有向線段來表示向量． (　　) (2)若a∥b，b∥c，則a∥c． (　　) (3)a∥b是a＝λb(λ∈R)的充要條件． (　　) (4)△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，則＝(＋)． (　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(教材改編)如圖，D，E，F(xiàn)分別是△ABC各邊的中點(diǎn)，則下列結(jié)論錯誤的是(　　) A．＝　　 B．與共線 C．與是

5、相反向量 D．＝|| D　[選項D中，＝，故D錯誤．] 3．對于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 A　[由a＋b＝0得a＝－b，根據(jù)向量共線定理知a∥b，但a∥bDa＋b＝0，故選A．] 4．(教材改編)如圖，?ABCD的對角線交于M，若＝a，＝b，用a，b表示為(　　) A．a(chǎn)＋b B．a(chǎn)－b C．－a－b D．－a＋b D　[＝＝＝＝－a＋b，故選D．] 5．(教材改編)化簡： (1)(＋)＋＋＝________. (2)＋＋－＝________. (1)　(2

6、)0　[(1)原式＝＋＋＋＝. (2)原式＝＋＝0.] 平面向量的有關(guān)概念 1．給出下列命題： ①若兩個向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同； ②若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，且＝，則ABCD為平行四邊形； ③a＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥b； ④已知λ，μ為實(shí)數(shù)，若λa＝μb，則a與b共線． 其中正確命題的個數(shù)是(　　) A．1　　 B．2　　　　C．3　　　　D．4 A　[①是錯誤的，兩個向量起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同，則兩個向量相等；但兩個向量相等，不一定有相同的起點(diǎn)和終點(diǎn)． ②是正確的，因為＝，所以||＝||且∥；又A，B，C，D是不共線的四

7、點(diǎn)，所以四邊形ABCD為平行四邊形． ③是錯誤的，當(dāng)a∥b且方向相反時，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要條件，而是必要不充分條件． ④是錯誤的，當(dāng)λ＝μ＝0時，a與b可以為任意向量，滿足λa＝μb，但a與b不一定共線．] 2．設(shè)a0為單位向量，①若a為平面內(nèi)的某個向量，則a＝|a|a0；②若a與a0平行，則a＝|a|a0；③若a與a0平行且|a|＝1，則a＝a0.上述命題中，假命題的個數(shù)是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 D　[向量是既有大小又有方向的量，a與|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命題；若a與a0平

8、行，則a與a0的方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向時a＝－|a|a0，故②③也是假命題．綜上所述，假命題的個數(shù)是3.] [規(guī)律方法]　辨析向量有關(guān)概念的五個關(guān)鍵點(diǎn) (1)向量定義的關(guān)鍵是方向和長度． (2)非零共線向量的關(guān)鍵是方向相同或相反，長度沒有限制． (3)相等向量的關(guān)鍵是方向相同且長度相等． (4)單位向量是長度都是一個單位長度的向量． (5)零向量的關(guān)鍵是方向沒有限制，長度是0，規(guī)定零向量與任何向量共線． 平面向量的線性運(yùn)算 【例1】　(1)在四邊形ABCD中，＝，AC與BD交于點(diǎn)O，E是線段OD的中點(diǎn)，AE的延長線與CD交于點(diǎn)F，則(　　) A．

9、＝＋ B．＝＋ C．＝＋ D．＝＋ (2)設(shè)D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點(diǎn)，AD＝AB，BE＝BC．若＝λ1＋λ2(λ1、λ2為實(shí)數(shù))，則λ1＋λ2的值為________． (1)B　(2)　[(1)在四邊形ABCD中，如圖所示，因為＝，所以四邊形ABCD為平行四邊形．由已知得＝，由題意知△DEF∽△BEA，則＝，所以＝＝(－)＝×＝，所以＝＋＝＋＝＋，故選B． (2)＝＋＝＋＝＋(＋)＝－＋，所以λ1＝－，λ2＝，即λ1＋λ2＝.] [規(guī)律方法]　向量的線性運(yùn)算的求解方法 (1)進(jìn)行向量運(yùn)算時，要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，選用從同一頂點(diǎn)出發(fā)的基本向量或首尾相

10、接的向量，運(yùn)用向量加、減法運(yùn)算及數(shù)乘運(yùn)算來求解． (2)除了充分利用相等向量、相反向量和線段的比例關(guān)系外，有時還需要利用三角形中位線、相似三角形對應(yīng)邊成比例等平面幾何的性質(zhì)，把未知向量轉(zhuǎn)化為與已知向量有直接關(guān)系的向量來求解． (1)設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，＝3，則(　　) A．＝－＋ B．＝－ C．＝＋ D．＝－ (2)在△ABC中，點(diǎn)M，N滿足＝2，＝.若＝x＋y，則x＝________；y＝________. (1)A　(2)　－　[(1)因為＝3， 所以＝， 所以＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋.故選A． (2)由題中條件得，＝＋＝＋＝＋(－)＝－＝x＋y，所以x＝，y

11、＝－.] 共線向量定理的應(yīng)用 【例2】　設(shè)兩個非零向量a與b不共線， (1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求證：A，B，D三點(diǎn)共線； (2)試確定實(shí)數(shù)k，使ka＋b和a＋kb共線． [解]　(1)證明：∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)， ∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b) ＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5. ∴，共線，又∵它們有公共點(diǎn)B， ∴A，B，D三點(diǎn)共線． (2)∵ka＋b和a＋kb共線， ∴存在實(shí)數(shù)λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)， 即ka＋b＝λa＋λkb，∴(k－λ)a＝(λk－1)b. ∵a，b是兩個不共線的非零向量

12、， ∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0，∴k＝±1. [規(guī)律方法]　共線向量定理的3個應(yīng)用 (1)證明向量共線：對于向量a，b，若存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λb(b≠0)，則a與b共線． (2)證明三點(diǎn)共線：若存在實(shí)數(shù)λ，使＝λ，則A，B，C三點(diǎn)共線． (3)求參數(shù)的值：利用共線向量定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值． 易錯警示：證明三點(diǎn)共線時，需說明共線的兩向量有公共點(diǎn)． (1)已知向量＝a＋3b，＝5a＋3b，＝－3a＋3b，則(　　) A．A，B，C三點(diǎn)共線 B．A，B，D三點(diǎn)共線 C．A，C，D三點(diǎn)共線 D．B，C，D三點(diǎn)共線 (2)(2019·黃山模擬)已知

13、向量a，b是兩個不共線的向量，若向量m＝4a＋b與n＝a－λb共線，則實(shí)數(shù)λ的值為(　　) A．－4 B．－ C． D．4 (1)B　(2)B　[(1)∵＝＋＝2a＋6b＝2(a＋3b)＝2，∴，共線，又有公共點(diǎn)B， ∴A，B，D三點(diǎn)共線．故選B． (2)由題意知m＝kn，即4a＋b＝k(a－λb)． ∴解得故選B．] 1．(2018·全國卷Ⅰ)在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點(diǎn)，則＝(　　) A．－　　 B．－ C．＋ D．＋ A　[由題可得＝＋＝－(＋)＋＝－，故選A．] 2．(2014·全國卷Ⅰ)設(shè)D，E，F(xiàn)分別為△ABC的三邊BC，CA，AB的中點(diǎn)，則＋＝(　　) A． B． C． D． C　[如圖，＋＝＋＋＋ ＝＋＝(＋) ＝·2＝.] 3．(2015·全國卷Ⅱ)設(shè)向量a，b不平行，向量λa＋b與a＋2b平行，則實(shí)數(shù)λ＝________. 　[∵λa＋b與a＋2b平行，∴λa＋b＝t(a＋2b)， 即λa＋b＝ta＋2tb，∴解得] - 8 -