《2017-2018版高中數(shù)學 第三單元 導數(shù)及其應用章末復習課教學案 新人教B版選修1-1》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2017-2018版高中數(shù)學 第三單元 導數(shù)及其應用章末復習課教學案 新人教B版選修1-1（14頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第三單元 導數(shù)及其應用 學習目標　1.理解導數(shù)的幾何意義并能解決有關(guān)斜率、切線方程等的問題.2.掌握初等函數(shù)的求導公式，并能夠綜合運用求導法則求函數(shù)的導數(shù).3.掌握利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，會用導數(shù)求函數(shù)的極值和最值.4.會用導數(shù)解決一些簡單的實際應用問題． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知識點一　在x＝x0處的導數(shù) 1．定義：函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的瞬時變化率是li ＝________________，我們稱它為函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導數(shù)． 2．幾何意義：函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導數(shù)是函數(shù)圖象在點(x0，f(x0))處的切線________．

2、 知識點二　導函數(shù) 當x變化時，f′(x)便是x的一個函數(shù)，我們稱它為f(x)的__________(簡稱________)，f′(x)＝y(tǒng)′＝____________. 知識點三　基本初等函數(shù)的導數(shù)公式 原函數(shù) 導函數(shù) y＝C(C為常數(shù)) y′＝________ y＝xu(u∈Q*) y′＝________ y＝sin x y′＝________ y＝cos x y′＝________ y＝ax y′＝________(a>0，a≠1) y＝ex y′＝________ y＝logax y′＝________(a>0且a≠1，x>0) y＝ln x

3、 y′＝________ 知識點四　導數(shù)的運算法則 和差的導數(shù) [f(x)±g(x)]′＝________ 積的導數(shù) [f(x)·g(x)]′＝____________ 商的導數(shù) ′＝________________(g(x)≠0) 知識點五　函數(shù)的單調(diào)性、極值與導數(shù) 1．函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù) 如果在(a，b)內(nèi)，________，則f(x)在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；________，則f(x)在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減． 2．函數(shù)的極值與導數(shù) 已知函數(shù)y＝f(x)及其定義域內(nèi)一點x0，對于存在一個包含x0的開區(qū)間內(nèi)的所有點x，如果都有________，則稱函數(shù)f(x)在點x0

4、處取____________，記作y極大值＝f(x0)，并把x0稱為函數(shù)f(x)的一個極大值點；如果都有________，則稱函數(shù)f(x)在點x0處取____________，記作y極小值＝f(x0)，并把x0稱為函數(shù)f(x)的一個極小值點． 極大值與極小值統(tǒng)稱為極值．極大值點與極小值點統(tǒng)稱為極值點． 知識點六　求函數(shù)y＝f(x)在[a，b]上的最大值與最小值的步驟 1．求f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)所有____________． 2．計算函數(shù)f(x)在極值點和________________，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

5、 類型一　導數(shù)幾何意義的應用 例1　已知函數(shù)f(x)＝x－aln x(a∈R)． (1)當a＝2時，求曲線y＝f(x)在點A(1，f(1))處的切線方程； (2)求函數(shù)f(x)的極值． 　 反思與感悟　利用導數(shù)求切線方程時關(guān)鍵是找到切點，若切點未知需設出．常見的類型有兩種，一類是求“在某點處的切線方程”，則此點一定為切點，易求斜率進而寫出直線方程即可得；另一類是求“過某點的切線方程”，這種類型中的點不一定是切點，可先設切點為Q(x1，y1)，由＝f′(x1)和y1＝f(x1)求出x1，y1的值，轉(zhuǎn)化為第一類類型． 跟蹤訓練1　已知函數(shù)f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，

6、g(x)＝3x2＋6x＋12，直線m：y＝kx＋9，且f′(－1)＝0. (1)求a的值； (2)是否存在實數(shù)k，使直線m既是曲線y＝f(x)的切線，又是y＝g(x)的切線？如果存在，求出k的值；如果不存在，說明理由． 　 類型二　函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù) 例2　已知函數(shù)f(x)＝. (1)當a＝1時，求f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)若對任意t∈[，2]，f(t)>t恒成立，求實數(shù)a的取值范圍． 　 反思與感悟　(1)關(guān)注函數(shù)的定義域，單調(diào)區(qū)間應為定義域的子區(qū)間． (2)已知函數(shù)在某個區(qū)間上的單調(diào)性時轉(zhuǎn)化要等價． (3)分類討論求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間實質(zhì)是討論不等式的解

7、集． (4)求參數(shù)的范圍時常用到分離參數(shù)法． 跟蹤訓練2　已知函數(shù)f(x)＝x3－ax－1. (1)若f(x)在實數(shù)集R上單調(diào)遞增，求a的取值范圍； (2)是否存在實數(shù)a，使f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞減，若存在，求出a的取值范圍，若不存在，請說明理由． 　 類型三　函數(shù)的極值、最值與導數(shù) 例3　已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，過曲線y＝f(x)上的點P(1，f(1))的切線方程為y＝3x＋1，y＝f(x)在x＝－2時有極值． (1)求f(x)的表達式； (2)求y＝f(x)在[－3,1]上的單調(diào)區(qū)間和最大值． 　 反思與感悟　(1)已知極值點

8、求參數(shù)的值后，要代回驗證參數(shù)值是否滿足極值的定義． (2)討論極值點的實質(zhì)是討論函數(shù)的單調(diào)性，即f′(x)的正負． (3)求最大值要在極大值與端點值中取最大者，求最小值要在極小值與端點值中取最小者． 跟蹤訓練3　已知函數(shù)f(x)＝＋－ln x－，其中a∈R，且曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線垂直于直線y＝x. (1)求a的值； (2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值． 　 　 類型四　分類討論思想 例4　已知函數(shù)f(x)＝－1. (1)試判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性； (2)設m>0，求f(x)在[m,2m]上的最大值； (3)試證明：對?n∈N＋，不

9、等式ln()e<. 　 　 反思與感悟　(1)分類討論即分別歸類再進行討論，是一種重要的數(shù)學思想，也是一種邏輯方法，同時又是一種重要的解題策略． (2)解題時首先要思考為什么分類，即分類依據(jù)是什么，一般的分類依據(jù)如：方程類型、根的個數(shù)及與區(qū)間的關(guān)系、不等號的方向等；其次考慮分幾類，每一類中是否還需要再分類． (3)分類討論的基本原則是不重不漏． 跟蹤訓練4　設函數(shù)f(x)是定義在[－1,0)∪(0,1]上的偶函數(shù)，當x∈[－1,0)時，f(x)＝x3－ax(a為實數(shù))． (1)當x∈(0,1]時，求f(x)的解析式； (2)若a>3，試判斷f(x)在(0,1]上的單

10、調(diào)性，并證明你的結(jié)論； (3)是否存在a，使得當x∈(0,1]時，f(x)有最大值1? 　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．曲線y＝－在點M處的切線的斜率為(　　 ) A．－ B. C．－ D.. 2．如果函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，那么導函數(shù)y＝f′(x)的圖象可能是(　　) 3．體積為16π的圓柱，它的半徑為________時，圓柱的表面積最小． 4．已知a>0，函數(shù)f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，則a的最大值為________． 5．設f(x)＝aln x＋＋x＋1，其中a∈R，曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的

11、切線垂直于y軸． (1)求a的值； (2)求函數(shù)f(x)的極值． 　 1．利用導數(shù)的幾何意義可以求出曲線上任意一點處的切線方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)．明確“過點P(x0，y0)的曲線y＝f(x)的切線方程”與“在點P(x0，y0)處的曲線y＝f(x)的切線方程”的異同點． 2．借助導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，經(jīng)常同三次函數(shù)，一元二次不等式結(jié)合，融分類討論、數(shù)形結(jié)合于一體． 3．利用導數(shù)求解優(yōu)化問題，注意自變量中的定義域，找出函數(shù)關(guān)系式，轉(zhuǎn)化為求最值問題． 答案精析 知識梳理 知識點一 1． 2．斜率 知識點二 導函數(shù)　導數(shù)　li 知識點三

12、0　uxu－1　cos x?。璼in x　axln a ex　　 知識點四 f′(x)±g′(x)　f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) 知識點五 1．f′(x)>0　f′(x)<0 2．f(x)f(x0)　極小值 知識點六 1．極值點 2．端點的函數(shù)值 題型探究 例1　解　函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝1－. (1)當a＝2時，f(x)＝x－2ln x， f′(x)＝1－(x>0), ∴f(1)＝1，f′(1)＝－1, ∴y＝f(x)在點A(1，f(1))處的切線方程為 y－1＝－(x－1), 即x＋

13、y－2＝0. (2)由f′(x)＝1－＝，x>0. ①當a≤0時，f′(x)>0，函數(shù)f(x)為(0，＋∞)上的增函數(shù)，函數(shù)f(x)無極值； ②當a>0時，由f′(x)＝0，解得x＝a. ∵當x∈(0，a)時，f′(x)<0； 當x∈(a，＋∞)時，f′(x)>0， ∴f(x)在x＝a處取得極小值，且極小值為f(a)＝a－aln a，無極大值． 綜上，當a≤0時，函數(shù)f(x)無極值；當a>0時，函數(shù)f(x)在x＝a處取得極小值a－aln a，無極大值． 跟蹤訓練1　解　(1)因為f′(x)＝3ax2＋6x－6a，且f′(－1)＝0， 所以3a－6－6a＝0，得a＝－2.

14、(2)因為直線m過定點(0,9)，先求過點(0,9)，且與曲線y＝g(x)相切的直線方程． 設切點坐標為(x0,3x＋6x0＋12)，又因為g′(x0)＝6x0＋6， 所以切線方程為 y－(3x＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)． 將點(0,9)代入， 得9－3x－6x0－12＝－6x－6x0， 所以3x－3＝0，得x0＝±1. 當x0＝1時，g′(1)＝12，g(1)＝21，切點坐標為(1,21)， 所以切線方程為y＝12x＋9； 當x0＝－1時，g′(－1)＝0，g(－1)＝9，切點坐標為(－1,9)， 所以切線方程為y＝9. 下面求曲線y＝f(x)的斜率為

15、12和0的切線方程： 因為f(x)＝－2x3＋3x2＋12x－11， 所以f′(x)＝－6x2＋6x＋12. 由f′(x)＝12，得－6x2＋6x＋12＝12， 解得x＝0或x＝1. 當x＝0時，f(0)＝－11，此時切線方程為y＝12x－11； 當x＝1時，f(1)＝2，此時切線方程為y＝12x－10. 所以y＝12x＋9不是公切線． 由f′(x)＝0，得－6x2＋6x＋12＝0， 解得x＝－1或x＝2. 當x＝－1時，f(－1)＝－18，此時切線方程為y＝－18； 當x＝2時，f(2)＝9，此時切線方程為y＝9， 所以y＝9是公切線． 綜上所述，當k＝0時，y＝9

16、是兩曲線的公切線． 例2　解　(1)當a＝1時，f(x)＝， ∴f′(x)＝. 由f′(x)>0，得x<2， 由f′(x)<0，得x>2. 故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，2)，單調(diào)遞減區(qū)間為(2，＋∞)． (2)若對任意t∈[，2]， f(t)>t恒成立， 則當x∈[，2]時，>x恒成立， 即當x∈[，2]時，a>ex＋恒成立． 設g(x)＝ex＋，x∈[，2]， 則g′(x)＝ex－，x∈[，2]． 設h(x)＝ex－， ∵h′(x)＝ex＋>0在x∈[，2]上恒成立， ∴h(x)在[，2]上單調(diào)遞增， 即g′(x)＝ex－在[，2]上單調(diào)遞增． ∵g′(

17、)＝e－4<0， g′(2)＝e2－>0， ∴g′(x)＝ex－在[，2]上有零點m， ∴g(x)＝ex＋在[，m]上單調(diào)遞減，在[m,2]上單調(diào)遞增， ∴即 ∴a>e2＋. 即實數(shù)a的取值范圍為(e2＋，＋∞)． 跟蹤訓練2　解　(1)求導得f′(x)＝3x2－a， 因為f(x)在R上是增函數(shù)， 所以f′(x)≥0在R上恒成立． 即3x2－a≥0在R上恒成立， 即a≤3x2，而3x2≥0，所以a≤0. 當a＝0時，f(x)＝x3－1在R上單調(diào)遞增，符合題意． 所以a的取值范圍是(－∞，0]． (2)假設存在實數(shù)a，使f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞減， 則f′(x

18、)≤0在(－1,1)上恒成立． 即3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立， 即a≥3x2， 又因為在(－1,1)上，0≤3x2<3， 所以a≥3. 當a＝3時，f′(x)＝3x2－3，在(－1,1)上，f′(x)<0， 所以f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞減， 即a＝3符合題意． 所以存在實數(shù)a，使f(x)在(－1,1)上單調(diào)遞減，且a的取值范圍是[3，＋∞)． 例3　解　(1)因為f′(x)＝3x2＋2ax＋b， 所以f′(1)＝3＋2a＋b， 故過曲線上P點的切線方程為 y－f(1)＝(3＋2a＋b)(x－1)， 即y－(a＋b＋c＋1)＝(3＋2a＋b)(x－1)，

19、 已知該切線方程為y＝3x＋1， 所以即 因為y＝f(x)在x＝－2時有極值，所以f′(－2)＝0， 即－4a＋b＝－12， 解方程組得 所以f(x)＝x3＋2x2－4x＋5. (2)由(1)知f′(x)＝3x2＋4x－4 ＝(3x－2)(x＋2)， 令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝. 當x∈[－3，－2)時，f′(x)>0； 當x∈(－2，)時，f′(x)<0； 當x∈(，1]時，f′(x)>0. 所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[－3，－2)和(，1]，單調(diào)遞減區(qū)間為(－2，)． 又f(－2)＝13，f()＝，f(－3)＝8，f(1)＝4， 所以f(x)在區(qū)

20、間[－3,1]上的最大值為13. 跟蹤訓練3　解　(1)對f(x)求導得f′(x)＝－－， 由f(x)在點(1，f(1))處的切線垂直于直線y＝x知，f′(1)＝－－a＝－2， 解得a＝. (2)由(1)知f(x)＝＋－ln x－， 則f′(x)＝. 令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝5. 因為x＝－1不在f(x)的定義域(0，＋∞)內(nèi)，故舍去． 當x∈(0,5)時，f′(x)<0，故f(x)在(0,5)內(nèi)為減函數(shù)； 當x∈(5，＋∞)時，f′(x)>0，故f(x)在(5，＋∞)內(nèi)為增函數(shù)． 所以函數(shù)f(x)在x＝5時取得極小值f(5)＝－ln 5. 例4　(1)解　函

21、數(shù)f(x)的定義域是(0，＋∞)． 由已知f′(x)＝， 令f′(x)＝0，得1－ln x＝0，所以x＝e. 因為當00， 當x>e時，f′(x)＝<0， 所以函數(shù)f(x)在(0，e]上單調(diào)遞增， 在(e，＋∞)上單調(diào)遞減． (2)解　由(1)知函數(shù)f(x)在(0，e]上單調(diào)遞增，在(e，＋∞)上單調(diào)遞減， ①當0<2m≤e，即0

22、≤x0， 當e0，≠e， 所以ln<·?ln()e<， 即對?n∈N＋，不等式ln()e<恒成立． 跟蹤訓練4　解　(1)設x∈(0,1]， 則－x∈[－1,0)． ∵f(x)為偶函數(shù)， ∴f(x)＝f(－x)＝－x3＋ax， 即當x∈(0,1]時，f(x)＝－x

23、3＋ax. (2)f(x)在(0,1]上單調(diào)遞增，證明如下： f′(x)＝－3x2＋a，x∈(0,1]， ∴－3x2∈[－3,0)． 又a>3，∴a－3x2>0，即f′(x)>0. ∴f(x)在(0,1]上單調(diào)遞增． (3)當a>3時，f(x)在(0,1]上單調(diào)遞增， ∴f(x)max＝f(1)＝a－1＝1. ∴a＝2與a>3矛盾． 當0≤a≤3時，令f′(x)＝a－3x2＝0， 得x＝或x＝－(舍去)． 當x∈時，f′(x)>0， ∴f(x)在上單調(diào)遞增． 當x∈時，f′(x)<0， ∴f(x)在上單調(diào)遞減． 又函數(shù)f(x)在x＝處連續(xù)， ∴f(x)max＝f

24、＝－3＋a＝1.解得a＝. 當a<0時，f′(x)＝a－3x2<0， ∴f(x)在(0,1]上單調(diào)遞減，f(x)在(0,1]上無最大值． 綜上，存在a＝，使f(x)在(0,1]上有最大值1. 當堂訓練 1．B　[y′＝ ＝，故y′|x＝＝， ∴曲線在點M處的切線的斜率為.] 2．A　[由f(x)與f′(x)的關(guān)系可知選A.] 3．2 解析　設圓柱底面半徑為r，母線長為l. ∴16π＝πr2l，即l＝， 則S表面積＝2πr2＋2πrl＝2πr2＋2πr×＝2πr2＋， 由S′＝4πr－＝0，得r＝2. ∴當r＝2時，圓柱的表面積最?。? 4．3 解析　由題意知，f′(x)＝3x2－a≥0(x≥1)， ∴a≤3x2，∴a≤3，∴a的最大值為3. 5．解　(1)f′(x)＝－＋. 由題意知，曲線在x＝1處的切線斜率為0，即f′(1)＝0， 從而a－＋＝0，解得a＝－1. (2)由(1)知，f(x)＝－ln x＋＋x＋1(x>0)， 則f′(x)＝－－＋ ＝＝. 令f′(x)＝0， 解得x1＝1，x2＝－(舍去)． 當x∈(0,1)時，f′(x)<0，故f(x)在(0,1)上為減函數(shù)；當x∈(1，＋∞)時，f′(x)>0，故f(x)在(1，＋∞)上為增函數(shù)． 故f(x)在x＝1處取得極小值f(1)＝3，無極大值． 14