《2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù) 3.1 函數(shù)的概念與性質(zhì) 3.1.3 函數(shù)的奇偶性 第2課時(shí) 函數(shù)奇偶性的應(yīng)用學(xué)案 新人教B版必修第一冊(cè)》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù) 3.1 函數(shù)的概念與性質(zhì) 3.1.3 函數(shù)的奇偶性 第2課時(shí) 函數(shù)奇偶性的應(yīng)用學(xué)案 新人教B版必修第一冊(cè)（7頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第2課時(shí)　函數(shù)奇偶性的應(yīng)用 (教師獨(dú)具內(nèi)容) 課程標(biāo)準(zhǔn)：會(huì)利用函數(shù)的奇偶性研究函數(shù)的定義域、值域、解析式、單調(diào)性等． 教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的應(yīng)用． 教學(xué)難點(diǎn)：函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的綜合應(yīng)用． 【情境導(dǎo)學(xué)】(教師獨(dú)具內(nèi)容) 通過(guò)上節(jié)課的學(xué)習(xí)，我們知道函數(shù)的奇偶性描述了函數(shù)圖像具有的對(duì)稱性，這節(jié)課我們就來(lái)學(xué)習(xí)如何應(yīng)用函數(shù)的奇偶性來(lái)解決問題． 【知識(shí)導(dǎo)學(xué)】 知識(shí)點(diǎn)一　函數(shù)奇偶性的應(yīng)用 如果知道一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)，那么其定義域能分成關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩部分，得出函數(shù)在其中一部分上的性質(zhì)和圖像，就可得出這個(gè)函數(shù)在另一部分上的性質(zhì)和圖像． 知識(shí)點(diǎn)二 偶函數(shù)的性質(zhì) 如果y

2、＝f(x)是偶函數(shù)，那么其在x>0與x<0時(shí)的單調(diào)性相反． 知識(shí)點(diǎn)三 奇函數(shù)的性質(zhì) 如果y＝f(x)是奇函數(shù)，那么其在x>0與x<0時(shí)的單調(diào)性相同． 1．判一判(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)偶函數(shù)的圖像一定與y軸相交．(　　) (2)奇函數(shù)的圖像一定通過(guò)原點(diǎn)．(　　) (3)若函數(shù)y＝f(x)是偶函數(shù)，且在[1,2]上單調(diào)遞增，那么該函數(shù)在[－2，－1]上也單調(diào)遞增．(　　) (4)若函數(shù)y＝f(x)是奇函數(shù)，且在(0,3)上單調(diào)遞減，那么該函數(shù)在(－3,0)上單調(diào)遞增．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 　 　　　　　　　　　　　　　

3、　　　　　 2．做一做 (1)函數(shù)y＝f(x)，x∈[－1，a](a>－1)是奇函數(shù)，則a等于(　　) A．－1 B．0 C．1 D．無(wú)法確定 (2)已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝x2＋，則f(－1)＝________. (3)如果奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[2,5]上是減函數(shù)，且最大值為8，最小值為3，那么f(x)在[－5，－2]上是________函數(shù)，最大值是________，最小值是________． 答案　(1)C　(2)－2　(3)減?。??。? 題型一 利用函數(shù)的奇偶性求值或求參數(shù) 例1　(1)已知函數(shù)f(x)＝x3＋a

4、x2＋bx＋c是定義在[2b－5,2b－3]上的奇函數(shù)，則f的值為(　　) A. B. C．1 D．無(wú)法確定 (2)已知f(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx＋2，若f(－3)＝－3，則f(3)＝________. (3)已知函數(shù)f(x)＝(x＋a)(x＋b)(a，b∈R)為R上的偶函數(shù)． ①求a，b的關(guān)系式； ②求關(guān)于x的方程f(x)＝0的解集． [解析]　(1)∵奇函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱， ∴2b－5＝－(2b－3)＝－2b＋3.解得b＝2. ∴f(x)是定義在[－1,1]上的奇函數(shù)， ∴f(0)＝c＝0，f(－1)＝－f(1)． 即－1＋a－2＝－(1

5、＋a＋2)．∴a＝0. ∴f(x)＝x3＋2x. ∴f＝3＋2×＝＋1＝. (2)令g(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx，則g(x)為奇函數(shù)． ∴f(－3)＝g(－3)＋2＝－g(3)＋2. 又f(－3)＝－3，∴g(3)＝5. 又f(3)＝g(3)＋2，∴f(3)＝5＋2＝7. (3)①因?yàn)閒(x)＝(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab是偶函數(shù)，所以f(－x)＝f(x)對(duì)于x∈R恒成立， 所以(－x)2－(a＋b)x＋ab＝x2＋(a＋b)x＋ab， 即2(a＋b)x＝0對(duì)于x∈R恒成立， 所以a＋b＝0，即b＝－a. ②由①可知，f(x)＝x2－a2. 當(dāng)

6、a＝0時(shí)，f(x)＝x2＝0，解得x＝0； 當(dāng)a≠0時(shí)，f(x)＝x2－a2＝0，解得x＝±a. 綜上所述，當(dāng)a＝0時(shí)，方程f(x)＝0的解集為{0}； 當(dāng)a≠0時(shí)，方程f(x)＝0的解集為{－a，a}． [答案]　(1)B　(2)7　(3)見解析 金版點(diǎn)睛 利用奇偶性求參數(shù)的常見類型及策略 (1)定義域含參數(shù)：奇、偶函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇a，b]，根據(jù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，利用a＋b＝0求參數(shù)． (2)解析式含參數(shù)：根據(jù)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比較系數(shù)即可求解． 　(1)設(shè)函數(shù)f(x)＝若f(x)是奇函數(shù)，則g(2)的值是(　　) A．3

7、 B．5 C．－5 D．－3 (2)若f(x)＝ax2＋bx＋b＋1是定義在[a－1,2a]上的偶函數(shù)，則a＋b的值為(　　) A．－ B. C．－ D. 答案　(1)A　(2)B 解析　(1)∵函數(shù)f(x)＝且f(x)是奇函數(shù)，∴g(2)＝f(2)＝－f(－2)＝－(－2×2＋1)＝3.故選A. (2)∵f(x)＝ax2＋bx＋b＋1是定義在[a－1,2a]上的偶函數(shù)，∴a－1＝－2a，f(－x)＝ax2－bx＋b＋1＝f(x)＝ax2＋bx＋b＋1.∴a＝，b＝0.∴a＋b＝.故選B. 題型二 利用函數(shù)的奇偶性求解析式 例2　若f(x)是定義

8、在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝x(1－x)，求當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)的解析式． [解]　∵當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝x(1－x)， 設(shè)x>0，則－x<0. ∴f(－x)＝－x(1＋x)， 又f(x)是奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)， ∴f(x)＝x(1＋x)． 當(dāng)x＝0時(shí)，f(0)＝－f(0)，即f(0)＝0. ∴當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝x(1＋x)． 金版點(diǎn)睛 利用函數(shù)奇偶性求解析式的方法 注意求給定哪個(gè)區(qū)間的解析式就設(shè)這個(gè)區(qū)間上的變量x，然后把x轉(zhuǎn)化為－x為另一已知區(qū)間上的解析式中的變量，通過(guò)互化，求得所求區(qū)間上的解析式． 　已知f(x)是定義在R上的奇

9、函數(shù)，并且當(dāng)x>0時(shí)f(x)＝x3＋x＋1，求f(x)的解析式． 解　∵當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝x3＋x＋1， 設(shè)x<0，∴－x>0. ∴f(－x)＝(－x)3＋(－x)＋1＝－x3－x＋1. 又f(x)是奇函數(shù)，∴f(0)＝0，f(－x)＝－f(x)． ∴－f(x)＝－x3－x＋1，即f(x)＝x3＋x－1. 故f(x)＝ 題型三 函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用 例3　(1)已知函數(shù)y＝f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，在[2,6]上是減函數(shù)，試比較f(－5)與f(3)的大小； (2)設(shè)定義在[－2,2]上的奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞減，若f(m)＋f(m－1)>0

10、，求實(shí)數(shù)m的取值范圍． [解]　(1)因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，所以f(－5)＝f(5)， 因?yàn)閒(x)在[2,6]上是減函數(shù)， 所以f(5)0，得 f(m)>－f(m－1)，即f(1－m)

11、不在同一單調(diào)區(qū)間上，需利用函數(shù)的奇偶性把自變量轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上，然后利用單調(diào)性比較大?。? (2)解不等式 ①利用已知條件，結(jié)合函數(shù)的奇偶性，把已知不等式轉(zhuǎn)化為f(x1)f(x2)的形式； ②根據(jù)奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性一致，偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)性相反，脫掉不等式中的“f”轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單不等式求解． 　(1)已知函數(shù)f(x)在[－5,5]上是偶函數(shù)，f(x)在[0,5]上是單調(diào)函數(shù)，且f(－4)

12、f(1) (2)設(shè)函數(shù)f(x)在R上是偶函數(shù)，在(－∞，0)上單調(diào)遞減，若f(a2－2a＋3)>f(a2＋a＋1)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 答案　(1)D　(2)見解析 解析　(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在[－5,5]上是偶函數(shù)， 所以f(－4)f(1)． (2)由題意，知f(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)． 又a2－2a＋3＝(a－1)2＋2>0， a2＋a＋1＝2＋>0， 且f(a2－2a＋3)>f(a2＋a＋1)， 所以a2－2a＋3>a2＋a＋1，即3a<2，

13、a<. 綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．若函數(shù)f(x)＝為奇函數(shù)，則a等于(　　) A. B. C. D．1 答案　A 解析　函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?又f(x)為奇函數(shù)，定義域應(yīng)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴a＝. 2．若函數(shù)f(x)＝ax2＋(2＋a)x＋1是偶函數(shù)，則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(　　) A．(－∞，0] B．[0，＋∞) C．(－∞，＋∞) D．[1，＋∞) 答案　A 解析　因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為偶函數(shù)，所以a＋2＝0，a＝－2，即該函數(shù)f(x)＝－2x2＋1，所以函數(shù)在(－∞，0]上單調(diào)遞增

14、．故選A. 3．設(shè)f(x)是R上的偶函數(shù)，且在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，則f(－2)，f(－π)，f(3)的大小順序是(　　) A．f(－π)>f(3)>f(－2) B．f(－π)>f(－2)>f(3) C．f(3)>f(－2)>f(－π) D．f(3)>f(－π)>f(－2) 答案　A 解析　∵f(x)是R上的偶函數(shù)，∴f(－2)＝f(2)，f(－π)＝f(π)，又f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，且2<3<π，∴f(π)>f(3)>f(2)，即f(－π)>f(3)>f(－2)． 4．奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[3,6]上是增函數(shù)，在區(qū)間[3,6]上的最大值是4，最小值是－1

15、，則2f(－6)＋f(－3)＝________. 答案?。? 解析　∵f(x)是奇函數(shù)，且在[3,6]上是增函數(shù)， ∴f(3)＝－1，f(6)＝4.∴2f(－6)＋f(－3)＝－2f(6)－f(3)＝－2×4＋1＝－7. 5．已知函數(shù)f(x)＝x2＋4x＋3. (1)若g(x)＝f(x)＋bx為偶函數(shù)，求b的值； (2)求函數(shù)f(x)在[－3,3]上的最大值． 解　(1)g(x)＝f(x)＋bx＝x2＋(b＋4)x＋3， g(－x)＝x2－(b＋4)x＋3， ∵g(x)＝g(－x)，∴b＋4＝0，∴b＝－4. (2)∵f(x)＝x2＋4x＋3的圖像關(guān)于直線x＝－2對(duì)稱，∴f(x)在x＝－2時(shí)取得最小值－1，在x＝3時(shí)取得最大值24. 7