《2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第2章 函數(shù) 1 生活中的變量關(guān)系 2 對函數(shù)的進一步認識 2.2 函數(shù)的表示法學(xué)案 北師大版必修1》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第2章 函數(shù) 1 生活中的變量關(guān)系 2 對函數(shù)的進一步認識 2.2 函數(shù)的表示法學(xué)案 北師大版必修1（11頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、2.2　函數(shù)的表示法 學(xué) 習(xí) 目 標 核 心 素 養(yǎng) 1.掌握函數(shù)的三種表示方法．(重點) 2．會根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù)．(難點) 3．了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應(yīng)用．(重點、難點) 1.通過應(yīng)用函數(shù)的表示方法提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)． 2．通過分段函數(shù)的簡單應(yīng)用提升數(shù)學(xué)運算素養(yǎng). 1．函數(shù)的表示法 閱讀教材P28～P29“例2”以上內(nèi)容，完成下列問題． 函數(shù)的三種表示方法 表示法 定義 解析法 用自變量的解析表達式表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系 圖像法 用圖像表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系 列表法 列出表格來表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系 思考1：函

2、數(shù)的三種表示方法各有什么優(yōu)、缺點？ [提示]　三種表示方法的優(yōu)、缺點比較： 優(yōu)點 缺點 解析法 ①簡明、全面地概括了變量間的關(guān)系；②可以通過解析式求出任意一個自變量所對應(yīng)的函數(shù)值 不夠形象、直觀 列表法 不通過計算就可以直接看出與自變量的值相對應(yīng)的函數(shù)值 一般只能表示部分自變量的函數(shù)值 圖像法 直觀、形象地表示出函數(shù)的變化情況，有利于通過圖形研究函數(shù)的某些性質(zhì) 只能近似地求出自變量所對應(yīng)的函數(shù)值，有時誤差較大 思考2：任何一個函數(shù)是不是都可以用解析法、列表法、圖像法三種形式來表示． [提示]　并不是所有的函數(shù)都可以用解析式表示，例如人的心跳強度與時間的函數(shù)關(guān)系．

3、圖像法也不適用于所有函數(shù)，例如D(x)＝對于函數(shù)值有無限個的情況，無法用列表法表示． 2．分段函數(shù) 閱讀教材P29“例2”～P31，完成下列問題． 在函數(shù)的定義域內(nèi)，對于自變量x的不同取值，對應(yīng)關(guān)系也不同，這樣的函數(shù)通常稱為分段函數(shù)． 思考3：如何求分段函數(shù)的值域？ [提示]　先求出每一段中函數(shù)值的取值范圍，再求其并集． 1．已知函數(shù)f(x)由下表給出，則f(3)＝(　　) x 1≤x<2 2 2

4、如圖所示，則f(x)的定義域是______，值域是______． [－1,2)　(－1,1]　[觀察圖像，得f(x)的定義域為：[－1，2)．值域為：(－1,1]．] 3．已知f(x)是一次函數(shù)，且其圖像過點A(－2,0)，B(1,5)，則f(x)的解析式為________． f(x)＝x＋　[設(shè)f(x)＝kx＋b，依題意，得 解得所以，f(x)＝x＋.] 4．函數(shù)f(x)，g(x)分別由下表給出 x 1 2 3 f(x) 1 3 1 x 1 2 3 g(x) 3 2 1 則f(g(2))的值為________． 3　[因為g(2)＝2，f

5、(2)＝3，所以f(g(2))＝3.] 函數(shù)圖像的作法 【例1】　作出下列函數(shù)的圖像并求出其值域． (1)y＝2x＋1，x∈[0,2]； (2)y＝，x∈[2，＋∞)； (3)y＝x2＋2x，x∈[－2,2]． [解]　(1)列表： x 0 1 2 y 1 2 3 4 5 當(dāng)x∈[0,2]時，圖像是直線的一部分，觀察圖像可知，其值域為[1,5]． (2)列表： x 2 3 4 5 … y 1 當(dāng)x∈[2，＋∞)時，圖像是反比例函數(shù)y＝的一部分，觀察圖像可知其值域為(0,1]． (3)列表： x

6、－2 －1 0 1 2 y 0 －1 0 3 8 畫圖像，圖像是拋物線y＝x2＋2x在－2≤x≤2之間的部分． 由圖可得函數(shù)的值域是[－1,8]． 1．作函數(shù)圖像主要有三步：列表、描點、連線．作圖像時一般應(yīng)先確定函數(shù)的定義域，再在定義域內(nèi)化簡函數(shù)解析式，再列表畫出圖像． 2．函數(shù)的圖像可能是平滑的曲線，也可能是一群孤立的點，畫圖時要注意關(guān)鍵點，如圖像與坐標軸的交點、區(qū)間端點、二次函數(shù)的頂點等等，還要分清這些關(guān)鍵點是實心點還是空心點． 1．作出下列函數(shù)的圖像． (1)y＝x＋1(x≤0)； (2)y＝x2－2x(x>1，或x<－1)． [解]　

7、(1)y＝x＋1(x≤0)表示一條射線，圖像如圖①. (2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1(x>1，或x<－1)是拋物線y＝x2－2x去掉－1≤x≤1之間的部分后剩余的曲線．如圖②. 求函數(shù)的解析式 【例2】　(1)若f(x＋1)＝x2＋x，則f(x)＝________. (2)若f(x)是一次函數(shù)，且f(f(x))＝4x－1，則f(x)＝________. (3)已知函數(shù)y＝f(x)滿足2f(x)＋f＝2x(x∈R且x≠0)，則f(x)＝________. (1)x2－x　(2)2x－或－2x＋1 (3)x－　[(1)因為x∈R， 所以令t＝x＋1∈R，則x＝t

8、－1， 代入f(x＋1)＝x2＋x， 得f(t)＝(t－1)2＋(t－1)＝t2－t，t∈R， 即f(x)＝x2－x. (2)由f(x)是一次函數(shù)，設(shè)f(x)＝ax＋b(a≠0)， 則f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝4x－1， 所以 解得或 所以f(x)＝2x－或f(x)＝－2x＋1. (3)由2f(x)＋f＝2x， ① 將x換成，則換成x， 得2f＋f(x)＝， ② ①×2－②，得3f(x)＝4x－， 所以f(x)＝x－.] 求函數(shù)解析式的常用方法 (1)待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型，可用待定系數(shù)法求解，即由函數(shù)類型設(shè)出

9、函數(shù)解析式，再根據(jù)條件列方程(組)，通過解方程(組)求出待定系數(shù)，進而求出函數(shù)解析式. (2)換元法(有時可用“配湊法”)：已知函數(shù)f[g(x)]的解析式求f(x)的解析式，可用換元法(或“配湊法”)，即令g(x)＝t，反解出x，然后代入f[g(x)]中求出f(t)，從而求出f(x). (3)消元法(或解方程組法)：在已知式子中，含有關(guān)于兩個不同變量的函數(shù)，而這兩個變量有著某種關(guān)系，這時就要依據(jù)兩個變量的關(guān)系，建立一個新的關(guān)于這兩個變量的式子，由兩個式子建立方程組，通過解方程組消去一個變量，得到目標變量的解析式，這種方法叫做消元法(或解方程組法). 2．(1)設(shè)函數(shù)g(x)＝2x

10、－1，則g(x＋2)＝(　　) A．2x＋1　　　　　 B．2x－1 C．2x＋3 D．2x－3 (2)設(shè)f(x)＝2x－3，g(x＋2)＝f(x)，則g(x)＝(　　) A．2x＋1 B．2x＋3 C．2x－7 D．2x－3 (1)C　(2)C　[(1)因為g(x)＝2x－1，所以g(x＋2)＝2(x＋2)－1＝2x＋3. (2)g(x＋2)＝f(x)＝2x－3，令t＝x＋2，則x＝t－2. 所以g(t)＝2(t－2)－3＝2t－7，即g(x)＝2x－7.] 分段函數(shù)及應(yīng)用 [探究問題] 1．已知函數(shù)f(x)＝3|x－1|－2. (1)把函數(shù)f(x

11、)寫成分段的形式； (2)畫出函數(shù)f(x)的圖像； (3)觀察f(x)的圖像，它是軸對稱圖形嗎？若是，它的對稱軸是什么？ (4)如何由函數(shù)g(x)＝3|x|的圖像得到f(x)＝3|x－1|－2的圖像？ 提示：(1)f(x)＝ (2)分段畫函數(shù)圖像： (3)f(x)的圖像是軸對稱圖形，其對稱軸為直線x＝1. (4)把函數(shù)y＝3|x|的圖像向右平移1個單位長度，再向下平移2個單位長度可得到函數(shù)y＝3|x－1|－2的圖像． 2．設(shè)函數(shù)f(x)＝ (1)求f與f； (2)若f(x0)＝4，求實數(shù)x0的值． 提示：(1)f＝－＝，f＝2＝. (2)由f(x0)＝4， 得或

12、 解得x0＝－4或2. 3．對于探究2中的函數(shù)，探究以下問題． (1)若f(x)≤，求x的取值范圍； (2)求函數(shù)f(x)的值域． 提示：(1)由f(x)≤， 得或 解得－≤x≤0，或00時，f(x)>0， 所以，f(x)的值域為[0，＋∞)∪(0，＋∞)＝[0，＋∞)． 【例3】　已知f(x)＝ (1)求f{f[f(5)]}的值； (2)畫出該函數(shù)的圖像； (3)根據(jù)所畫圖像，寫出函數(shù)的定義域，值域． [思路探究]　(1)從里向外依次求值，每一次求值時，應(yīng)先判斷自變量的取值屬于哪一段，再利用該

13、段的解析式求值；(2)分段畫函數(shù)圖像；(3)觀察函數(shù)圖像寫出定義域，值域． [解]　(1)f{f[f(5)]}＝f[f(－3)]＝f(1)＝－1. (2) (3)定義域為(－∞，0]∪(0,4]∪(4，＋∞)＝R，值域為(－∞，4]∪[－1,8]∪(－∞，－2)＝R. 1．分段函數(shù)求值，一定要注意所給自變量的值所在的范圍，代入相應(yīng)的解析式求得． 2．多層“f”的問題，要按照“由里到外”的順序，層層處理． 3．已知分段函數(shù)的函數(shù)值求相對應(yīng)的自變量的值，可分段利用函數(shù)解析式求得自變量的值，但應(yīng)注意檢驗分段解析式的適用范圍，也可先判斷每一段上的函數(shù)值的范圍，確定解析式再求解．

14、4．研究分段函數(shù)的性質(zhì)時，應(yīng)根據(jù)“先分后合”的原則，尤其是在作分段函數(shù)的圖像時，可先將各段的圖像分別畫出來，再將它們連在一起得到整個函數(shù)的圖像． 3．(1)函數(shù)f(x)＝則f(2)＝(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 (2)已知f(x)＝若f(x)>2，求x的取值范圍． (1)A　[f(2)＝f(2－1)＝f(1)＝1－2＝－1.] (2)解：當(dāng)x≥－2時，f(x)＝x＋2， 由f(x)>2，得x＋2>2， 解得x>0，故x>0； 當(dāng)x<－2時，f(x)＝－x－2， 由f(x)>2，得－x－2>2， 解得x<－4，故x<－4. 綜上可得：x>0或

15、x<－4. 1．函數(shù)三種表示法的優(yōu)缺點 2．理解分段函數(shù)應(yīng)注意的問題 (1)分段函數(shù)是一個函數(shù)，其定義域是各段“定義域”的并集，其值域是各段“值域”的并集．寫定義域時，區(qū)間的端點需不重不漏． (2)求分段函數(shù)的函數(shù)值時，自變量的取值屬于哪一段，就用哪一段的解析式． (3)研究分段函數(shù)時，應(yīng)根據(jù)“先分后合”的原則，尤其是作分段函數(shù)的圖像時，可先將各段的圖像分別畫出來，從而得到整個函數(shù)的圖像． 3．求函數(shù)解析式常用的方法有：(1)待定系數(shù)法；(2)換元法；(3)配湊法；(4)消元法等. 1．思考辨析 (1)任何一個函數(shù)都可以用解析法表示．(　　) (2)y＝是分段函數(shù)

16、．(　　) (3)函數(shù)y＝的值域是[0，＋∞)．(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√ 2．已知f(x2－1)＝x4－x2＋1，則f(x)＝________. x2＋x＋1(x≥－1)　[因為f(x2－1)＝x4－x2＋1＝(x2－1)2＋(x2－1)＋1，所以f(x)＝x2＋x＋1(x≥－1)．] 3．如圖，函數(shù)f(x)的圖像是曲線OAB，其中點O，A，B的坐標分別為(0,0)，(1,2)，(3,1)，那么f的值等于________． 2　[由函數(shù)f(x)圖像，知f(1)＝2，f(3)＝1， ∴f＝f(1)＝2.] 4．已知函數(shù)y＝|x－1|＋|x＋2|. (

17、1)作出函數(shù)的圖像； (2)寫出函數(shù)的值域； (3)判斷方程|x－1|＋|x＋2|＝4有多少個實數(shù)解？ [解]　(1)首先考慮去掉解析式中的絕對值符號，第一個絕對值的分段點x＝1，第二個絕對值的分段點x＝－2，這樣數(shù)軸被分為三部分：(－∞，－2]，(－2,1]，(1，＋∞)． 所以已知函數(shù)可寫成分段函數(shù)形式： y＝|x－1|＋|x＋2|＝ 在相應(yīng)的x取值范圍內(nèi)，分別作出相應(yīng)函數(shù)的圖像，如圖所示，即為所求函數(shù)的圖像． (2)根據(jù)函數(shù)的圖像可知：值域為[3，＋∞)． (3)由于直線y＝4與函數(shù)y＝|x－1|＋|x＋2|的圖像有2個交點，所以，方程|x－1|＋|x＋2|＝4有2個實數(shù)解． - 11 -