4、1)a＞b?ac2＞bc2. ( )
(2)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集為(x1，x2)，則必有a＞0. ( )
(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a＜0)沒(méi)有實(shí)數(shù)根，則不等式ax2＋bx＋c＞0的解集為R. ( )
(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的條件是a＜0且Δ＝b2－4ac≤0. ( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×
2．(教材改編)設(shè)A＝(x－3)2，B＝(x－2)(x－4)，則A與B的大小關(guān)系為( )
A．A≥B B．A＞B
C．A≤B D．A＜B
B [∵A－B＝(x－3)2－(x－2)(x－
5、4)
＝x2－6x＋9－x2＋6x－8
＝1＞0，
∴A＞B，故選B．]
3．(教材改編)若a＞b＞0，c＜d＜0，則一定有( )
A.＞ B．＜
C.＞ D．＜
B [∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0，
∵a＞b＞0，∴－ac＞－bd，
∴－＞－，即＜.故選B．]
4．不等式－x2－3x＋4>0的解集為_(kāi)_______．(用區(qū)間表示)
(－4,1) [由－x2－3x＋4>0得x2＋3x－4<0，解得－40的解集為(－4,1)．]
5．(教材改編)若不等式ax2＋bx＋2＞0的解集為，則a＋b＝________.
－14
6、[由題意知x1＝－，x2＝是方程ax2＋bx＋2＝0的兩個(gè)根，
則
解得
(經(jīng)檢驗(yàn)知滿足題意)．
∴a＋b＝－14.]
比較大小及不等式性質(zhì)的應(yīng)用
1．設(shè)α∈，β∈[0，π]，那么2α－的取值范圍是( )
A. B．
C. D．
D [∵α∈，β∈[0，π]，
∴2α∈，∈，
即－＜2α＜π，
－≤－≤0.
∴－＜2α－＜π，故選D．]
2．已知a，b，c滿足c＜b＜a，且ac＜0，那么下列選項(xiàng)中一定成立的是( )
A．a(chǎn)b＞ac B．c(b－a)＜0
C．cb2＜ab2 D．a(chǎn)c(a－c)＞0
A [∵c＜b＜a，且ac＜
7、0，
∴c＜0，a＞0，
∴ac＜ab，
即A選項(xiàng)正確．]
3．設(shè)f(x)＝ax2＋bx，若1≤f(－1)≤2,3≤f(1)≤4，則f(－2)的取值范圍是________．
[6,10] [法一：(待定系數(shù)法)由題意知f(－2)＝4a－2b，設(shè)存在實(shí)數(shù)m，n，使得4a－2b＝m(a＋b)＋n(a－b)，
即4a－2b＝(m＋n)a＋(m－n)b，
所以解得所以f(－2)＝4a－2b＝(a＋b)＋3(a－b)．
又3≤a＋b≤4,3≤3(a－b)≤6，
所以6≤(a＋b)＋3(a－b)≤10，即f(－2)的取值范圍是[6,10]．
法二：(運(yùn)用方程思想)由得
所以f(－
8、2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)．
又所以6≤3f(－1)＋f(1)≤10，
即f(－2)的取值范圍是[6,10]．]
[規(guī)律方法] 1.用同向不等式求差范圍的技巧
??a－d＜x－y＜b－c.
這種方法在三角函數(shù)中求角的范圍時(shí)經(jīng)常用到．
2．比較大小的三種常用方法
(1)作差法：直接作差判斷正負(fù)即可．
(2)作商法：直接作商與1的大小比較，注意兩式的符號(hào)．
(3)函數(shù)的單調(diào)性法：把比較的兩個(gè)數(shù)看成一個(gè)函數(shù)的兩個(gè)值，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性比較．
一元二次不等式的解法
【例1】 解下列不等式：
(1)3＋2x－x2≥0；
(2)x2－(a＋1)x＋a<0.
[解
9、] (1)原不等式化為x2－2x－3≤0，
即(x－3)(x＋1)≤0，
故所求不等式的解集為{x|－1≤x≤3}．
(2)原不等式可化為(x－a)(x－1)<0，
當(dāng)a>1時(shí)，原不等式的解集為(1，a)；
當(dāng)a＝1時(shí)，原不等式的解集為?；
當(dāng)a<1時(shí)，原不等式的解集為(a,1)．
[母題探究] 將本例(2)中不等式改為ax2－(a＋1)x＋1<0，求不等式的解集．
[解] 若a＝0，原不等式等價(jià)于－x＋1<0，解得x>1.
若a<0，原不等式等價(jià)于(x－1)>0，
解得x<或x>1.
若a>0，原不等式等價(jià)于(x－1)<0.
①當(dāng)a＝1時(shí)，＝1，(x－1)<0無(wú)解；
10、
②當(dāng)a>1時(shí)，<1，解(x－1)<0得1，解 (x－1)<0得11}；當(dāng)01時(shí)，解集為.
[規(guī)律方法] 1.解一元二次不等式的一般方法和步驟：
(1)化：把不等式變形為二次項(xiàng)系數(shù)大于零的標(biāo)準(zhǔn)形式．
(2)判：計(jì)算對(duì)應(yīng)方程的判別式，根據(jù)判別式判斷方程有沒(méi)有實(shí)根(無(wú)實(shí)根時(shí)，不等式解集為R或?)．
(3)求：求出對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根．
(4)寫(xiě)：利用“大于取兩邊，小于取中間”寫(xiě)出不等式的解集．
2．解含參數(shù)的一元二次不等式的步驟：
11、
(1)二次項(xiàng)中若含有參數(shù)應(yīng)討論是等于0，小于0，還是大于0，然后將不等式轉(zhuǎn)化為一次不等式或二次項(xiàng)系數(shù)為正的形式．
(2)判斷方程的根的個(gè)數(shù)，討論判別式Δ與0的關(guān)系．
(3)確定無(wú)根時(shí)可直接寫(xiě)出解集，確定方程有兩個(gè)根時(shí)，要討論兩根的大小關(guān)系，從而確定解集形式．
(1)已知不等式ax2－bx－1>0的解集是，則不等式x2－bx－a≥0的解集是( )
A．{x|20的解集是，
∴ax2－bx－1＝0的解是x1＝－和x2＝－
12、，且a<0，
∴解得
則不等式x2－bx－a≥0即為x2－5x＋6≥0，解得x≤2或x≥3.
(2)將原不等式移項(xiàng)通分得≥0，
等價(jià)于解得x≤或x＞5.
∴原不等式的解集為.]
一元二次不等式恒成立問(wèn)題
?考法1 在R上恒成立，求參數(shù)的范圍
【例2】 不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0對(duì)一切x∈R恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
(－2,2] [當(dāng)a－2＝0，即a＝2時(shí)，不等式即為－4<0，對(duì)一切x∈R恒成立，
當(dāng)a≠2時(shí)，則有
即∴－2
13、【例3】 設(shè)函數(shù)f(x)＝mx2－mx－1.若對(duì)于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范圍．
[解] 要使f(x)<－m＋5在x∈[1,3]上恒成立，即m2＋m－6<0在x∈[1,3]上恒成立．
有以下兩種方法：
法一：令g(x)＝m2＋m－6，x∈[1,3]．
當(dāng)m>0時(shí)，g(x)在[1,3]上是增函數(shù)，
所以g(x)max＝g(3)?7m－6<0，
所以m<，所以0
14、為x2－x＋1＝2＋>0，
又因?yàn)閙(x2－x＋1)－6<0，所以m<.
因?yàn)楹瘮?shù)y＝＝在[1,3]上的最小值為，所以只需m<即可．
所以m的取值范圍是.
?考法3 變換主元，求x的范圍
【例4】 對(duì)任意的k∈[－1,1]，函數(shù)f(x)＝x2＋(k－4)x＋4－2k的值恒大于零，則x的取值范圍是__________．
{x|x<1或x>3} [對(duì)任意的k∈[－1,1]，x2＋(k－4)x＋4－2k>0恒成立，即g(k)＝(x－2)k＋(x2－4x＋4)>0，在k∈[－1,1]時(shí)恒成立．
只需g(－1)>0且g(1)>0，即
解得x<1或x>3.]
[規(guī)律方法] 一元二次不等式
15、恒成立問(wèn)題的求解思路
(1)形如f(x)＞0或f(x)＜0(x∈R)的不等式確定參數(shù)的范圍時(shí)，結(jié)合一元二次方程，利用判別式來(lái)求解．
(2)形如f(x)＞0或f(x)＜0(x∈[a，b])的不等式確定參數(shù)范圍時(shí)，常轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值或用分離參數(shù)法求最值．
(3)形如f(x)＞0或f(x)＜0(參數(shù)m∈[a，b])的不等式確定x的范圍時(shí)，要注意變換主元，一般地，知道誰(shuí)的范圍，就選誰(shuí)當(dāng)主元，求誰(shuí)的范圍，誰(shuí)就是參數(shù)．
(1)若不等式x2＋ax－2＞0在區(qū)間[1,5]上有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
(2)求使不等式x2＋(a－6)x＋9－3a＞0(|a|≤1)恒成立的x的
16、取值范圍．
(1) [設(shè)f(x)＝x2＋ax－2，由題知Δ＝a2＋8＞0，
所以方程x2＋ax－2＝0恒有一正一負(fù)兩根，
于是不等式x2＋ax－2＞0在區(qū)間[1,5]上有解的充要條件是f(5)＞0，即a∈.]
(2)[解] 將原不等式整理為形式上是關(guān)于a的不等式(x－3)a＋x2－6x＋9＞0.
令f(a)＝(x－3)a＋x2－6x＋9，
因?yàn)閒(a)＞0在|a|≤1時(shí)恒成立，所以
(1)若x＝3，則f(a)＝0，不符合題意，舍去．
(2)若x≠3，則由一次函數(shù)的單調(diào)性，可得即解得x＜2或x＞4.
綜上可知，使原不等式恒成立的x的取值范圍是(－∞，2)∪(4，＋∞)．
17、1．(2016·全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2x－3>0}，則A∩B＝( )
A. B．
C. D．
D [∵x2－4x＋3＜0，∴1＜x＜3，∴A＝{x|1＜x＜3}．
∵2x－3＞0，∴x＞，∴B＝.
∴A∩B＝{x|1＜x＜3}∩＝.
故選D．]
2.(2016·全國(guó)卷Ⅲ)設(shè)集合S＝{x|(x－2)(x－3)≥0}，T＝{x|x>0}，則S∩T＝( )
A．[2,3] B．(－∞，2]∪[3，＋∞)
C．[3，＋∞) D．(0,2]∪[3，＋∞)
D [由題意知S＝{x|x≤2或x≥3}，則S∩T＝{x|0＜x≤2或x≥3}．故選D．]
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2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第6章 不等式、推理與證明 第1節(jié) 不等式的性質(zhì)與一元二次不等式教學(xué)案 理（含解析）北師大版
