《2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第2章 等式與不等式 2.1.2 一元二次方程的解集及其根與系數(shù)的關(guān)系學(xué)案 新人教B版必修第一冊(cè)》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第2章 等式與不等式 2.1.2 一元二次方程的解集及其根與系數(shù)的關(guān)系學(xué)案 新人教B版必修第一冊(cè)（9頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、2.1.2　一元二次方程的解集及其根與系數(shù)的關(guān)系 學(xué) 習(xí) 目 標(biāo) 核 心 素 養(yǎng) 1.理解一元二次方程的定義，并會(huì)求一元二次方程的解集．(重點(diǎn)) 2．掌握一元二次方程的根的判別式，并會(huì)用其判斷根的個(gè)數(shù)．(重點(diǎn)) 3．掌握一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，并會(huì)用其求一些關(guān)于方程兩根的代數(shù)式的值．(重點(diǎn)、難點(diǎn)) 1.通過(guò)對(duì)一元二次方程的解集及根與系數(shù)的關(guān)系的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理的數(shù)學(xué)素養(yǎng)． 2．通過(guò)求一元二次方程的解集，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng). 1．一元二次方程的定義 形如ax2＋bx＋c＝0的方程為一元二次方程，其中a，b，c是常數(shù)，且a≠0. 2．一元二次方程的解

2、法 (1)直接開(kāi)平方法：利用平方根的定義直接開(kāi)平方求一元二次方程的解的方法叫做直接開(kāi)平方法． (2)配方法：通過(guò)方程的簡(jiǎn)單變形，將左邊配成一個(gè)含有未知數(shù)的完全平方式，若右邊是一個(gè)非負(fù)常數(shù)，則可以運(yùn)用直接開(kāi)平方法求解， 這種解一元二次方程的方法叫做配方法． (3)公式法：將一元二次方程中的系數(shù)a，b, c的值代入式子x＝中，就求得方程的根，這種解一元二次方程的方法叫做公式法． 3．一元二次方程根的判別式 式子b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的判別式，通常用Δ表示，即Δ＝b2－4ac.當(dāng)Δ＞0 時(shí)，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有兩個(gè)不相等的實(shí)

3、數(shù)根；當(dāng)Δ＝0時(shí)，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時(shí)，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)沒(méi)有實(shí)數(shù)根． 4．一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系 如果ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的兩根是x1，x2，那么x1＋x2＝－，x1·x2＝，即兩個(gè)根的和等于一次項(xiàng)系數(shù)與二次項(xiàng)系數(shù)的比的相反數(shù)，兩個(gè)根的積等于常數(shù)項(xiàng)與二次項(xiàng)系數(shù)的比． 1．一元二次方程x2－16＝0的解集是(　　) A．{－8,8}　　　　　　 B．{－4} C．{4} D．{－4,4} D　[利用直接開(kāi)平方法解方程，即x2－16＝0，∴x2＝16，解得x1＝4，x2＝－4，故選

4、D.] 2．用配方法解方程x2－8x＋5＝0，將其化為(x＋a)2＝b的形式，正確的是(　　) A．(x＋4)2＝11 B．(x＋4)2＝21 C．(x－8)2＝11 D．(x－4)2＝11 D　[x2－8x＋5＝0，x2－8x＝－5，x2－8x＋16＝－5＋16，(x－4)2＝11，故選D.] 3．用公式法解方程6x－8＝5x2時(shí)，a，b，c的值分別是(　　) A．5、6、－8 B．5、－6、－8 C．5、－6、8 D．6、5、－8 C　[原方程可化為5x2－6x＋8＝0，∴a＝5, b＝－6，c＝8，故選C.] 4．已知一元二次方程2x2＋2x－1＝0的

5、兩個(gè)根為x1，x2，且x1＜x2，下列結(jié)論正確的是(　　) A．x1＋x2＝1 B．x1·x2＝－1 C．|x1|＜|x2| D．x＋x1＝ D　[根據(jù)題意，得x1＋x2＝－＝－1，x1x2＝－，所以A，B選項(xiàng)錯(cuò)誤．∵x1＋x2＜0，x1x2＜0，∴x1，x2異號(hào)，且負(fù)數(shù)的絕對(duì)值大，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤．∵x1為一元二次方程2x2＋2x－1＝0的根，∴2x＋2x1－1＝0，∴x＋x1＝，D選項(xiàng)正確．故選D.] 一元二次方程的解法 角度一　直接開(kāi)平方法 【例1】　用直接開(kāi)平方法求下列一元二次方程的解集： (1)4y2－25＝0；(2)3x2－x＝15－x. [思路點(diǎn)撥]

6、　可將方程轉(zhuǎn)化為x2＝p(p≥0)的形式．再兩邊開(kāi)平方進(jìn)行降次，化為一元一次方程． [解]　(1)移項(xiàng)，得4y2＝25. 兩邊都除以4，得y2＝. 解得y1＝，y2＝－. 所以原一元二次方程的解集是. (2)移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，得3x2＝15. 兩邊都除以3，得x2＝5. 解得x1＝，x2＝－. 所以原一元二次方程的解集是{，－}． 應(yīng)用直接開(kāi)平方法求一元二次方程解集的主要步驟 (1)化為x2＝p(p≥0)的形式；(2)直接開(kāi)平方；(3)解兩個(gè)一元一次方程，寫(xiě)出方程的兩個(gè)根；(4)總結(jié)寫(xiě)成解集的形式. 1．用直接開(kāi)平方法求下列一元二次方程的解集． (1)(x＋

7、1)2＝12； (2)(6x－1)2－25＝0. [解]　(1)直接開(kāi)平方，得x＋1＝±2， ∴x1＝2－1，x2＝－2－1. ∴原一元二次方程的解集是{2－1，－2－1}． (2)移項(xiàng)，得(6x－1)2＝25. 開(kāi)平方，得6x－1＝±5. ∴x1＝1，x2＝－. ∴原一元二次方程的解集是. 角度二　配方法 【例2】　用配方法求下列方程的解集． (1)x2＋4x－1＝0； (2)4x2＋8x＋1＝0. [解]　 (1)∵x2＋4x－1＝0，∴x2＋4x＝1， ∴x2＋4x＋4＝1＋4，∴(x＋2)2＝5， ∴x＝－2±， ∴x1＝－2＋，x2＝－2－. ∴原

8、一元二次方程的解集是{－2＋，－2－}． (2)移項(xiàng)，得4x2＋8x＝－1. 二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得x2＋2x＝－， 配方，得x2＋2x＋12＝12－， 即(x＋1)2＝. ∴x＋1＝±. ∴x1＝－1＋，x2＝－1－， ∴原一元二次方程的解集是. 利用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，先把二次項(xiàng)系數(shù)變?yōu)?，即方程兩邊都除以a，然后把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊，再把方程兩邊加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，把方程的一邊配方化為一個(gè)完全平方式，另一邊化為非負(fù)數(shù)，然后用直接開(kāi)平方法求解(若另一邊為負(fù)數(shù)，則此方程無(wú)實(shí)數(shù)根). 2．用配方法求下列方程的解集． (1)x2

9、＋3＝2x； (2)2x2－5＋x＝0. [解]　(1)移項(xiàng)，得x2－2x＝－3. 配方，得x2－2x＋()2＝－3＋()2， 即(x－)2＝0.∴x1＝x2＝. ∴原一元二次方程的解集是{}． (2)移項(xiàng)，得2x2＋x＝5. 二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得x2＋x＝. 配方，得x2＋x＋＝＋. ∴＝. ∴x＋＝±. ∴x1＝，x2＝， ∴原一元二次方程的解集是，. 角度三　公式法 【例3】　用公式法求下列方程的解集． (1)x2－4x＋10＝0； (2)x2＋x＋＝0. [思路點(diǎn)撥]　先化成一元二次方程的一般形式，再求Δ，然后根據(jù)求根公式求解． [解]　(1)∵a＝

10、1，b＝－4，c＝10， Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×1×10＝8＞0， ∴x＝＝＝2±， ∴x1＝2＋，x2＝2－. ∴原一元二次方程的解集是{2＋，2－}． (2)方程兩邊都乘以8，得4x2＋4x＋1＝0. ∵a＝4，b＝4，c＝1， Δ＝b2－4ac＝42－4×4×1＝0， ∴x＝＝－， ∴x1＝x2＝－. ∴原一元二次方程的解集是. 利用公式法解一元二次方程時(shí)，首先將方程化為一般形式，找出二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)，計(jì)算b2－4ac的值；當(dāng)b2－4ac≥0時(shí)，把a(bǔ)，b，c的值代入求根公式即可求出原方程的解，然后總結(jié)寫(xiě)出解集. 3．用公式法求

11、下列方程的解集． (1)x2＋3＝2x； (2)3x2＝－6x－1. [解]　(1)將方程化為一般形式為x2－2x＋3＝0. ∵a＝1，b＝－2，c＝3， Δ＝b2－4ac＝(－2)2－4×1×3＝－4＜0， ∴原方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根． ∴原一元二次方程的解集是?. (2)將方程化為一般形式為3x2＋6x＋1＝0， ∵a＝3，b＝6，c＝1， Δ＝b2－4ac＝62－4×3×1＝24＞0， ∴x＝＝. ∴x1＝，x2＝. ∴原一元二次方程的解集是. 一元二次方程的根的判別式 【例4】　不解方程，判斷下列一元二次方程的解集情況． (1)3x2－2x－1＝0；

12、(2)2x2－x＋1＝0； (3)4x－x2＝x2＋2. [解]　(1)∵Δ＝(－2)2－4×3×(－1)＝16＞0，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．∴方程的解集中有兩個(gè)元素． (2)∵Δ＝(－1)2－4×2×1＝－7＜0，∴方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．∴方程的解集為空集． (3)方程整理為x2－2x＋1＝0, ∵Δ＝(－2)2－4×1×1＝0, ∴方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．∴方程的解集中有一個(gè)元素． 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判別式Δ＝b2－4ac.當(dāng)Δ＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根. 4．下列一

13、元二次方程中，解集為空集的是(　　) A．x2－2x＝0　　　　　　B．x2＋4x－1＝0 C．2x2－4x＋3＝0 D．3x2＝5x－2 C　[利用根的判別式Δ＝b2－4ac分別進(jìn)行判定即可． A．Δ＝(－2)2－4×1×0＝4＞0，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故此選項(xiàng)不合題意； B．Δ＝42－4×1×(－1)＝20＞0，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根， 故此選項(xiàng)不合題意； C．Δ＝(－4)2－4×2×3＝－8＜0，沒(méi)有實(shí)數(shù)根，故此選項(xiàng)符合題意； D．Δ＝(－5)2－4×3×2＝1＞0，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故此選項(xiàng)不合題意．故選C.] 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系 【例5】

14、　設(shè)x1，x2是方程2x2－9x＋6＝0的兩個(gè)根，求下列各式的值． (1)＋； (2)x＋x； (3)(x1－3)(x2－3)； (4)x1－x2. [解]　由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1＋x2＝，x1x2＝3. (1)＋＝＝÷3＝； (2)x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2 ＝－2×3＝； (3)(x1－3)(x2－3) ＝x1x2－3(x1＋x2)＋9 ＝3－3×＋9 ＝－； (4)∵(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2 ＝－4×3＝， ∴x1－x2＝±. 利用根與系數(shù)的關(guān)系求有關(guān)代數(shù)式的值的一般方法 (1)利用根與系數(shù)的關(guān)系求出x1＋x2，x1

15、x2的值； (2)將所求的代數(shù)式變形轉(zhuǎn)化為含x1＋x2，x1x2的代數(shù)式的形式； (3)將x1＋x2，x1x2的值整體代入，求出待求代數(shù)式的值． 5．已知α，β是一元二次方程x2＋x－2＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則α＋β－αβ的值是(　　) A．3　　　　B．1 C．－1　　　　D．－3 B　[∵α，β是方程x2＋x－2＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴α＋β＝－1，αβ＝－2，∴α＋β－αβ＝－1＋2＝1，故選B.] 與一元二次方程相關(guān)的求未知字母的值或范圍問(wèn)題 【例6】　已知關(guān)于x的一元二次方程2x2－kx＋3＝0的解集中只有一個(gè)元素，則k的值為(　　) A．±2

16、B．± C．2或3 D．2或3 A　[∵a＝2，b＝－k，c＝3，∴Δ＝b2－4ac＝k2－4×2×3＝k2－24，∵方程的解集中只有一個(gè)元素，∴Δ＝k2－24＝0, 解得k＝±2.] 根據(jù)已知條件求一元二次方程中字母系數(shù)的取值或取值范圍問(wèn)題，常見(jiàn)情況為根據(jù)方程解的情況判定字母系數(shù)的情況. 6．若關(guān)于x的一元二次方程x2－(2a＋1)x＋a2＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求a的取值范圍． [解]　∵關(guān)于x的一元二次方程x2－(2a＋1)x＋a2＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根， ∴Δ＝[－(2a＋1)]2－4a2＝4a＋1＞0，∴a＞－. 1．一元二次方程的解法：(1)直

17、接開(kāi)平方法；(2) 配方法； (3)公式法． 2．一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系 如果ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的兩根是x1，x2，那么x1＋x2＝－，x1x2＝.利用這個(gè)關(guān)系，可以求一些關(guān)于方程兩根的代數(shù)式的值的問(wèn)題． 注意：一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系需滿足的前提條件是：①a≠0；②Δ≥0. 1．一元二次方程x2－9＝0的解集是(　　) A．{3}　　　　　　　 B．{－3} C．{－3,3} D．{－9,9} C　[∵x2－9＝0，∴x2＝9，∴x＝±3，故選C.] 2．一元二次方程x2＝3x的解集是(　　) A．{0}　　　B．{3} C．{－3}　　　

18、D．{0,3} D　[x2＝3x，x2－3x＝0，x(x－3)＝0，解得x1＝0，x2＝3，故選D.] 3．一元二次方程4x2＋1＝4x的解集情況是(　　) A．為空集 B．只有一個(gè)元素 C．有兩個(gè)元素 D．無(wú)法確定元素的個(gè)數(shù) B　[原方程可化為4x2－4x＋1＝0，∵Δ＝(－4)2－4×4×1＝0，∴方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．解集中只有一個(gè)元素．故選B.] 4．將方程x2－2x＝3化為(x－m)2＝n的形式，則m，n分別是________． 1,4　[x2－2x＝3，配方得x2－2x＋1＝4, 即(x－1)2＝4，∴m＝1，n＝4.] - 9 -