《2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第5章 數(shù)列 第4節(jié) 數(shù)列求和教學(xué)案 理(含解析)新人教A版》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第5章 數(shù)列 第4節(jié) 數(shù)列求和教學(xué)案 理(含解析)新人教A版(8頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第四節(jié) 數(shù)列求和
[考綱傳真] 1.掌握等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.2.掌握特殊的非等差、等比數(shù)列的幾種常見的求和方法.
1.公式法
(1)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式:
Sn==na1+d;
(2)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式:
Sn=
2.幾種數(shù)列求和的常用方法
(1)分組求和法:一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差或等比或可求和的數(shù)列組成的,則求和時(shí)可用分組求和法,分別求和而后相加減.
(2)裂項(xiàng)相消法:把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差,在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消,從而求得前n項(xiàng)和.裂項(xiàng)時(shí)常用的三種變形:
①=-;
②=;
③=-.
(3)錯(cuò)位相減法:如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由
2、一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的,那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用錯(cuò)位相減法求解.
(4)倒序相加法:如果一個(gè)數(shù)列{an}與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù),那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法求解.
(5)并項(xiàng)求和法:一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中,可兩兩結(jié)合求解,則稱之為并項(xiàng)求和.形如an=(-1)nf(n)類型,可采用兩項(xiàng)合并求解.
例如,Sn=1002-992+982-972+…+22-12
=(100+99)+(98+97)+…+(2+1)=5 050.
[常用結(jié)論]
常用求和公式
(1)1+2+3+4+…+n=.
(2)1+3+5+7+…+2n-
3、1=n2.
(3)2+4+6+8+…+2n=n2+n.
(4)12+22+…+n2=.
[基礎(chǔ)自測(cè)]
1.(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)
(1)已知等差數(shù)列{an}的公差為d,則有=.( )
(2)當(dāng)n≥2時(shí),=.( )
(3)求Sn=a+2a2+3a3+…+nan之和時(shí)只要把上式等號(hào)兩邊同時(shí)乘以a即可根據(jù)錯(cuò)位相減法求得.( )
(4)如果數(shù)列{an}是周期為k(k為大于1的正整數(shù))的周期數(shù)列,那么Skm=mSk.( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√
2.(教材改編)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若an=,則S
4、5等于( )
A.1 B.
C. D.
B [∵an==-,
∴S5=a1+a2+…+a5=1-+-+…-=.]
3.?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=,前n項(xiàng)和為9,則n等于( )
A.9 B.99
C.10 D.100
B [∵an==-,∴Sn=a1+a2+…+an=(-)+(-)+…+(-)+(-)=-1,令-1=9,得n=99,故選B.]
4.?dāng)?shù)列{1+2n-1}的前n項(xiàng)和為( )
A.1+2n B.2+2n
C.n+2n-1 D.n+2+2n
C [Sn=(1+1+…+1)+(20+21+…+2n-1)
=n+=2n+n-1.故選
5、C.]
5.?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知Sn=1-2+3-4+…+(-1)n-1·n,則S17=________.
9 [S17=1-2+3-4+5-6+…+15-16+17=1+(-2+3)+(-4+5)+(-6+7)+…+(-14+15)+(-16+17)=1+1+1+…+1=9.]
分組轉(zhuǎn)化法求和
【例1】 (2018·合肥檢測(cè))已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足S4=24,S7=63.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若bn=2an+(-1)n·an,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.
[解] (1)因?yàn)閧an}為等差數(shù)列,
所以??an
6、=2n+1.
(2)因?yàn)閎n=2an+(-1)n·an=22n+1+(-1)n·(2n+1)=2×4n+(-1)n·(2n+1),
所以Tn=2×(41+42+…+4n)+[-3+5-7+9-…+(-1)n·(2n+1)]=+Gn.
當(dāng)n=2k(k∈N*)時(shí),Gn=2×=n,
所以Tn=+n;
當(dāng)n=2k-1(k∈N*)時(shí),Gn=2×-(2n+1)=-n-2,
所以Tn=-n-2,
所以Tn=.
[規(guī)律方法] 分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型
(1)若an =bn±cn,且{bn},{cn}為等差或等比數(shù)列,則可采用分組求和法求{an}的前n項(xiàng)和.
(2)通項(xiàng)公式為an=的數(shù)列,其
7、中數(shù)列{bn},{cn}是等比數(shù)列或等差數(shù)列,可采用分組求和法求和.
易錯(cuò)警示:注意在含有字母的數(shù)列中對(duì)字母的分類討論.
(2016·北京高考)已知{an}是等差數(shù)列,{bn}是等比數(shù)列,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4.
(1)求{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)cn=an+bn,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和.
[解] (1)設(shè)等比數(shù)列{bn}的公比為q,
則q===3,
所以b1==1,b4=b3q=27,所以bn=3n-1(n∈N*).
設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.
因?yàn)閍1=b1=1,a14=b4=27,
所以1+13d=27,即d=2.
所以an=2n
8、-1(n=1,2,3,…).
(2)由(1)知an=2n-1,bn=3n-1.
因此cn=an+bn=2n-1+3n-1.
從而數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和
Sn=1+3+…+(2n-1)+1+3+…+3n-1
=+=n2+.
裂項(xiàng)相消法求和
【例2】 (2019·唐山五校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}滿足:++…+=(32n-1),n∈N*.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn=log3,求++…+.
[解]?。?32-1)=3,
當(dāng)n≥2時(shí),因?yàn)?
=-
=(32n-1)-(32n-2-1)
=32n-1,
當(dāng)n=1時(shí),=32n-1也成立,
所以an
9、=.
(2)bn=log3=-(2n-1),
因?yàn)椋剑剑?
所以++…+===.
[規(guī)律方法] (1)利用裂項(xiàng)相消法求和時(shí),應(yīng)注意抵消后并不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng),也有可能前面剩兩項(xiàng),后面也剩兩項(xiàng).
(2)將通項(xiàng)公式裂項(xiàng)后,有時(shí)侯需要調(diào)整前面的系數(shù),使裂開的兩項(xiàng)之差和系數(shù)之積與原通項(xiàng)公式相等.
(2019·銀川質(zhì)檢)正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足:S-(n2+n-1)Sn-(n2+n)=0.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an;
(2)令bn=,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn,證明:對(duì)于任意的n∈N*,都有Tn<.
[解] (1)∵S-(n2+n-1)Sn-(n2+n)
10、=0,
∴[Sn-(n2+n)](Sn+1)=0,
∴Sn=n2+n或Sn=-1(舍去)
當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=2,
當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=2n,
∴an=2n(n∈N*).
(2)bn==.
∴Tn=
=1+--
=-
又n∈N*,∴Tn<.
錯(cuò)位相減法求和
【例3】 已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=3,前n項(xiàng)和為Sn,an+1=2Sn+3,n∈N*.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
(2)設(shè)bn=log3an,求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.
[解] (1)由an+1=2Sn+3,
得an=2Sn-1+3(n≥2),
兩式相減得an+1-an=2(S
11、n-Sn-1)=2an,故an+1=3an(n≥2),
所以當(dāng)n≥2時(shí),{an}是以3為公比的等比數(shù)列.
因?yàn)閍2=2S1+3=2a1+3=9,=3,
所以{an}是首項(xiàng)為3,公比為3的等比數(shù)列,an=3n.
(2)an=3n,故bn=log3an=log33n=n,
==n·n,
Tn=1×+2×2+3×3+…+n×n,①
Tn=1×2+2×3+3×4+…+(n-1)×n+n×n+1.②
①-②,得
Tn=+2+3+…+n-n×n+1
=-n×n+1
=-n+1,
所以Tn=-n.
[規(guī)律方法] 錯(cuò)位相減法求和的具體步驟
步驟1→寫出Sn=c1+c2+…+cn;
12、
步驟2→等式兩邊同乘等比數(shù)列的公比q,即qSn=qc1+qc2+…+qcn;
步驟3→兩式錯(cuò)位相減轉(zhuǎn)化成等比數(shù)列求和;
步驟4→兩邊同除以1-q,求出Sn.同時(shí)注意對(duì)q是否為1進(jìn)行討論.
(2017·天津高考)已知{an}為等差數(shù)列,前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*),{bn}是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.
(1)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列{a2nb2n-1}的前n項(xiàng)和(n∈N*).
[解] (1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,等比數(shù)列{bn}的公比為q.
由已知b2+b3=12,得b1(q+q2)=1
13、2,
而b1=2,所以q2+q-6=0.
又因?yàn)閝>0,解得q=2,所以bn=2n.
由b3=a4-2a1,可得3d-a1=8①
由S11=11b4,可得a1+5d=16②
聯(lián)立①②,解得a1=1,d=3,
由此可得an=3n-2.
所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=3n-2,數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn=2n.
(2)設(shè)數(shù)列{a2nb2n-1}的前n項(xiàng)和為Tn,由a2n=6n-2,
b2n-1=2×4n-1,得a2nb2n-1=(3n-1)×4n,故
Tn=2×4+5×42+8×43+…+(3n-1)×4n,①
4Tn=2×42+5×43+8×44+…+(3n-4)×4
14、n+(3n-1)×4n+1,②
①-②,得
-3Tn=2×4+3×42+3×43+…+3×4n-(3n-1)×4n+1=-4-(3n-1)×4n+1
=-(3n-2)×4n+1-8,
得Tn=×4n+1+.
所以數(shù)列{a2nb2n-1}的前n項(xiàng)和為×4n+1+.
1.(2017·全國(guó)卷Ⅱ)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a3=3,S4=10,則 =________.
[設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,則
由得
∴Sn=n×1+×1=,
==2.
∴ =+++…+
=2
=2=.]
2.(2015·全國(guó)卷Ⅰ)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.已知an>0,a+2
15、an=4Sn+3.
(1)求{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn=,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和.
[解] (1)由a+2an=4Sn+3,①
可知a+2an+1=4Sn+1+3.②
②-①,得a-a+2(an+1-an)=4an+1,
即2(an+1+an)=a-a=(an+1+an)(an+1-an).
由an>0,得an+1-an=2.
又a+2a1=4a1+3,解得a1=-1(舍去)或a1=3.
所以{an}是首項(xiàng)為3,公差為2的等差數(shù)列,通項(xiàng)公式為an=2n+1.
(2)由an=2n+1可知
bn===
.
設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn,則
Tn=b1+b2+…+bn=
=.
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