《2020版高考數(shù)學一輪復習 第5章 數(shù)列 第2節(jié) 等差數(shù)列及其前n項和教學案 理(含解析)新人教A版》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2020版高考數(shù)學一輪復習 第5章 數(shù)列 第2節(jié) 等差數(shù)列及其前n項和教學案 理(含解析)新人教A版(8頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第二節(jié) 等差數(shù)列及其前n項和
[考綱傳真] 1.理解等差數(shù)列的概念.2.掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式.3.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關(guān)系,并能用等差數(shù)列的有關(guān)知識解決相應的問題.4.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系.
1.等差數(shù)列
(1)定義:一般地,如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列,這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差,公差通常用字母d表示.數(shù)學語言表示為an+1-an=d(n∈N*),d為常數(shù).
(2)等差中項:數(shù)列a,A,b成等差數(shù)列的充要條件是A=,其中A叫做a,b的等差中項.
(3)等差數(shù)列的通項公式:an=a1
2、+(n-1)d,可推廣為an=am+(n-m)d.
(4)等差數(shù)列的前n項和公式:Sn==na1+d.
2.等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式與函數(shù)的關(guān)系
(1)an=a1+(n-1)d可化為an=dn+a1-d的形式.當d≠0時,an是關(guān)于n的一次函數(shù);當d>0時,數(shù)列為遞增數(shù)列;當d<0時,數(shù)列為遞減數(shù)列.
(2)數(shù)列{an}是等差數(shù)列,且公差不為0?Sn=An2+Bn(A,B為常數(shù)).
[常用結(jié)論]
1.已知數(shù)列{an}的通項公式是an=pn+q(其中p,q為常數(shù)),則數(shù)列{an}一定是等差數(shù)列,且公差為p.
2.若數(shù)列{an}與{bn}均為等差數(shù)列,且前n項和分別是Sn和T
3、n,則=.
[基礎(chǔ)自測]
1.(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)若一個數(shù)列從第2項起每一項與它的前一項的差都是常數(shù),則這個數(shù)列是等差數(shù)列.( )
(2)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是對任意n∈N*,都有2an+1=an+an+2.( )
(3)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是其通項公式為n的一次函數(shù).( )
(4)等差數(shù)列的前n項和公式是常數(shù)項為0的二次函數(shù).( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×
2.等差數(shù)列{an}中,a4+a8=10,a10=6,則公差d等于( )
A. B. C.2
4、 D.-
A [∵a4+a8=2a6=10,∴a6=5,
又a10=6,∴公差d===.故選A.]
3.(教材改編)設(shè)數(shù)列{an}是等差數(shù)列,其前n項和為Sn,若a6=2且S5=30,則S8等于( )
A.31 B.32 C.33 D.34
B [設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,
法一:由S5=5a3=30得a3=6,
又a6=2,∴S8====32.
法二:由得
∴S8=8a1+d=8×-28×=32.]
4.在等差數(shù)列{an}中,a1=7,公差為d,前n項和為Sn,當且僅當n=8時Sn取得最大值,則d的取值范圍為________.
[由題意可知即解得-1
5、<d<-.]
5.(教材改編)在等差數(shù)列{an}中,若a3+a4+a5+a6+a7=450,則a2+a8=________.
180 [∵{an}為等差數(shù)列,
∴a3+a4+a5+a6+a7=5a5=450,∴a5=90,
∴a2+a8=2a5=180.]
等差數(shù)列基本量的運算
1.若等差數(shù)列{an}的前5項和S5=25,且a2=3,則a7=( )
A.12 B.13 C.14 D.15
B [由題意得S5==5a3=25,a3=5,公差d=a3-a2=2,a7=a2+5d=3+5×2=13.故選B.]
2.已知在等差數(shù)列{an}中,a1=20
6、,an=54,Sn=3 700,則數(shù)列的公差d,項數(shù)n分別為( )
A.d=0.34,n=100 B.d=0.34,n=99
C.d=,n=100 D.d=,n=99
C [由
得解得故選C.]
3.(2018·寧德二模)已知等差數(shù)列{an}滿足a3+a5=14,a2a6=33,則a1a7=( )
A.33 B.16 C.13 D.12
C [由得
解得或
當a1=1,d=2時,a7=1+6×2=13,∴a1a7=13;
當a1=13,d=-2時,a7=13+6×(-2)=1,∴a1a7=13.
綜上可知a1a7=13.故選C.]
4.(2018·
7、西寧一模)我國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)·均輸》中記載了這樣一個問題:“今有五人分五錢,令上二人所得與下三人等,問各得幾何?”其意思為“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5錢,甲、乙兩人所得與丙、丁、戊三人所得相同,且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數(shù)列,問五人各得多少錢?”(“錢”是古代一種重量單位).這個問題中,等差數(shù)列的通項公式為( )
A.-n+(n∈N*,n≤5)
B.n+(n∈N*,n≤5)
C.n+(n∈N*,n≤5)
D.-n+(n∈N*,n≤5)
D [由題意可設(shè)五人所得依次對應等差數(shù)列中的a1,a2,a3,a4,a5,公差為d,則
∴
∴
∴通項公式為an=+(n-
8、1)×=-n(n∈N*,n≤5),故選D.]
[規(guī)律方法] 解決等差數(shù)列運算問題的思想方法
(1)方程思想:等差數(shù)列的基本量為首項a1和公差d,通常利用已知條件及通項公式或前n項和公式列方程(組)求解,等差數(shù)列中包含a1,d,n,an,Sn五個量,可“知三求二”.
(2)整體思想:當所給條件只有一個時,可將已知和所求都用a1,d表示,尋求兩者間的聯(lián)系,整體代換即可求解.
(3)利用性質(zhì):運用等差數(shù)列性質(zhì)可以化繁為簡、優(yōu)化解題過程.
等差數(shù)列的判定與證明
【例1】 數(shù)列{an}滿足an+1=,a1=1.
(1)證明:數(shù)列是等差數(shù)列;
(2)求數(shù)列的前n項和Sn,并證明++
9、…+>.
[解] (1)證明:∵an+1=,
∴=,化簡得=2+,即-=2,
故數(shù)列是以1為首項,2為公差的等差數(shù)列.
(2)由(1)知=2n-1,
所以Sn==n2.
證明:++…+=++…+>++…+
=++…+=1-=.
[規(guī)律方法] 等差數(shù)列的四個判定方法
(1)定義法:證明對任意正整數(shù)n都有an+1-an等于同一個常數(shù).
(2)等差中項法:證明對任意正整數(shù)n都有2an+1=an+an+2.
(3)通項公式法:得出an=pn+q后,再根據(jù)定義判定數(shù)列{an}為等差數(shù)列.
(4)前n項和公式法:得出Sn=An2+Bn后,再使用定義法證明數(shù)列{an}為等差數(shù)列.
10、 已知數(shù)列{an}滿足a1=1,且nan+1-(n+1)an=2n2+2n.
(1)求a2,a3;
(2)證明數(shù)列是等差數(shù)列,并求{an}的通項公式.
[解] (1)由已知,得a2-2a1=4,
則a2=2a1+4,又a1=1,所以a2=6.
由2a3-3a2=12,
得2a3=12+3a2,所以a3=15.
(2)由已知nan+1-(n+1)an=2n(n+1),
得=2,即-=2,
所以數(shù)列是首項=1,公差d=2的等差數(shù)列.
則=1+2(n-1)=2n-1,所以an=2n2-n.
等差數(shù)列的性質(zhì)及應用
【例2】 (1)設(shè)數(shù)列{an},{bn}都是等差數(shù)列,且a1
11、=25,b1=75,a2+b2=100,則a37+b37等于( )
A.0 B.37 C.100 D.-37
(2)(2019·商洛模擬)等差數(shù)列{an}中,a1+3a8+a15=120,則2a9-a10的值是( )
A.20 B.22 C.24 D.8
(3)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若S3=9,S6=36,則a7+a8+a9等于( )
A.63 B.45 C.36 D.27
(1)C (2)C (3)B [(1)設(shè){an},{bn}的公差分別為d1,d2,則(an+1+bn+1)-(an+bn)=(an+1-an)+(bn+1
12、-bn)=d1+d2,所以{an+bn}為等差數(shù)列.又a1+b1=a2+b2=100,所以{an+bn}為常數(shù)列,所以a37+b37=100.
(2)因為a1+3a8+a15=5a8=120,
所以a8=24,所以2a9-a10=a10+a8-a10=a8=24.
(3)由{an}是等差數(shù)列,得S3,S6-S3,S9-S6為等差數(shù)列.
即2(S6-S3)=S3+(S9-S6),
得到S9-S6=2S6-3S3=45.]
[規(guī)律方法] 等差數(shù)列的常用性質(zhì)和結(jié)論
(1)在等差數(shù)列{an}中,若m+n=p+q=2k(m,n,p,q,k∈N*),則am+an=ap+aq=2ak.
(2
13、)在等差數(shù)列{an}中,數(shù)列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m也成等差數(shù)列.
(1)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若m>1,且am-1+am+1-a-1=0,S2m-1=39,則m等于( )
A.39 B.20 C.19 D.10
(2)設(shè)等差數(shù)列{an},{bn}的前n項和分別為Sn,Tn,若對任意的n∈N*,都有=,則+的值為( )
A. B. C. D.
(1)B (2)C [(1)數(shù)列{an}為等差數(shù)列,則am-1+am+1=2am,則am-1+am+1-a-1=0可化為2am-a-1=0,解得am=1.又S2m-1=(2m-1)am=39,則m
14、=20.故選B.
(2)由題意可知b3+b13=b5+b11=b1+b15=2b8,
∴+======.故選C.]
等差數(shù)列前n項和的最值問題
【例3】 在等差數(shù)列{an}中,已知a1=20,前n項和為Sn,且S10=S15,求當n取何值時,Sn取得最大值,并求出它的最大值.
[解] ∵a1=20,S10=S15,
∴10×20+d=15×20+d,
∴d=-.
法一:由an=20+(n-1)×=-n+,
得a13=0.
即當n≤12時,an>0,
當n≥14時,an<0.
∴當n=12或n=13時,Sn取得最大值,
且最大值為S12=S13=12×20+×=
15、130.
法二:Sn=20n+·=-n2+n
=-2+.
∵n∈N*,∴當n=12或n=13時,Sn有最大值,且最大值為S12=S13=130.
法三:由S10=S15,得a11+a12+a13+a14+a15=0.
∴5a13=0,即a13=0.
∴當n=12或n=13時,Sn有最大值,且最大值為S12=S13=130.
[規(guī)律方法] 求等差數(shù)列前n項和Sn最值的兩種方法
(1)函數(shù)法:利用等差數(shù)列前n項和的函數(shù)表達式Sn=an2+bn,通過配方或借助圖象求二次函數(shù)最值的方法求解.
(2)鄰項變號法.
①當a1>0,d<0時,滿足的項數(shù)m使得Sn取得最大值為Sm;
②當
16、a1<0,d>0時,滿足的項數(shù)m使得Sn取得最小值為Sm.
易錯警示:易忽視n∈N+.
(1)設(shè)數(shù)列{an}是公差d<0的等差數(shù)列,Sn為其前n項和,若S6=5a1+10d,則Sn取最大值時,n的值為( )
A.5 B.6 C.5或6 D.11
(2)已知等差數(shù)列{an}的首項a1=20,公差d=-2,則前n項和Sn的最大值為________.
(1)C (2)110 [(1)由題意得S6=6a1+15d=5a1+10d,化簡得a1=-5d,所以a6=0,故當n=5或6時,Sn最大.
(2)因為等差數(shù)列{an}的首項a1=20,公差d=-2,
Sn=na1+d=20
17、n-×2
=-n2+21n=-2+2,
又因為n∈N*,所以n=10或n=11時,Sn取得最大值,最大值為110.]
1.(2018·全國卷Ⅰ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和.若3S3=S2+S4,a1=2,則a5=( )
A.-12 B.-10 C.10 D.12
B [設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,∵3S3=S2+S4,∴3=2a1+d+4a1+d,解得d=-a1,∵a1=2,∴d=-3,
∴a5=a1+4d=2+4×(-3)=-10.故選B.]
2.(2017·全國卷Ⅲ)等差數(shù)列{an}的首項為1,公差不為0.若a2,a3,a6成等比數(shù)列,則{
18、an}前6項的和為( )
A.-24 B.-3 C.3 D.8
A [由已知條件可得a1=1,d≠0,
由a=a2a6可得(1+2d)2=(1+d)(1+5d),解得d=-2.
所以S6=6×1+=-24.
故選A.]
3.(2016·全國卷Ⅰ)已知等差數(shù)列{an}前9項的和為27,a10=8,則a100=( )
A.100 B.99 C.98 D.97
C [∵{an}是等差數(shù)列,設(shè)其公差為d,
∴S9=9a5=27,∴a5=3.
又∵a10=8,∴∴
∴a100=a1+99d=-1+99×1=98.故選C.]
4.(2018·全國卷Ⅱ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和,已知a1=-7,S3=-15.
(1)求{an}的通項公式;
(2)求Sn,并求Sn的最小值.
[解] (1)設(shè){an}的公差為d,由題意得3a1+3d=-15.
由a1=-7得d=2.所以{an}的通項公式為an=2n-9.
(2)由(1)得Sn=n2-8n=(n-4)2-16.
所以當n=4時,Sn取得最小值,最小值為-16.
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