《2020版高考數學一輪復習 第8章 平面解析幾何 第5節(jié) 橢圓（第1課時）橢圓的定義、標準方程及其性質教學案 理（含解析）新人教A版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2020版高考數學一輪復習 第8章 平面解析幾何 第5節(jié) 橢圓（第1課時）橢圓的定義、標準方程及其性質教學案 理（含解析）新人教A版（10頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、第五節(jié)　橢圓 [考綱傳真]　1.了解橢圓的實際背景，了解橢圓在刻畫現實世界和解決實際問題中的作用.2.掌握橢圓的定義、幾何圖形、標準方程及簡單性質(范圍、對稱性、頂點、離心率).3.理解數形結合思想.4.了解橢圓的簡單應用． 1．橢圓的定義 (1)平面內與兩個定點F1，F2的距離的和等于常數(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓．這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距． (2)集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c為常數且a>0，c>0. ①當2a>|F1F2|時，M點的軌跡為橢圓； ②當2a＝|F1F2|時，M點的軌跡為線

2、段F1F2； ③當2a<|F1F2|時，M點的軌跡不存在． 2．橢圓的標準方程和幾何性質 標準方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 圖形 性質 范圍 －a≤x≤a－b≤y≤b －b≤x≤b－a≤y≤a 對稱性 對稱軸：坐標軸；對稱中心：原點 頂點 A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b,0)，B2(b,0) 離心率 e＝，且e∈(0,1) a，b，c的關系 c2＝a2－b2 [常用結論] 1．點P(x0，y0)和橢圓的位置關系 (1)點P(x0，y0)

3、在橢圓內?＋＜1. (2)點P(x0，y0)在橢圓上?＋＝1. (3)點P(x0，y0)在橢圓外?＋＞1. 2．焦點三角形 橢圓上的點P(x0，y0)與兩焦點構成的△PF1F2叫做焦點三角形．r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面積為S，則在橢圓＋＝1(a＞b＞0)中： (1)當r1＝r2時，即點P的位置為短軸端點時，θ最大； (2)S＝b2tan ＝c|y0|，當|y0|＝b時，即點P的位置為短軸端點時，S取最大值，最大值為bc. (3)a－c≤|PF1|≤a＋c. 3．橢圓的一個焦點、中心和短軸的一個端點構成直角三角形，其中a是斜邊長，a2＝

4、b2＋c2. 4．已知過焦點F1的弦AB，則△ABF2的周長為4a. 5．橢圓中點弦的斜率公式 若M(x0，y0)是橢圓＋＝1(a＞b＞0)的弦AB(AB不平行y軸)的中點，則有kAB·kOM＝－，即kAB＝－. 6．弦長公式：直線與圓錐曲線相交所得的弦長 |AB|＝|x1－x2| ＝ ＝|y1－y2|＝(k為直線斜率)． [基礎自測] 1．(思考辨析)判斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)平面內與兩個定點F1，F2的距離之和等于常數的點的軌跡是橢圓．(　　) (2)橢圓上一點P與兩焦點F1，F2構成△PF1F2的周長為2a＋2c(其中a為橢圓的長

5、半軸長，c為橢圓的半焦距)．(　　) (3)橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓．(　　) (4)關于x，y的方程mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)表示的曲線是橢圓．(　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2．橢圓＋＝1的焦點坐標為(　　) A．(±3,0)　　　 B．(0，±3) C．(±9,0) D．(0，±9) B　[由題意可知a2＝25，b2＝16，∴c2＝25－16＝9，∴c＝±3， 又焦點在y軸上，故焦點坐標為(0，±3)．] 3．已知動點M到兩個定點A(－2,0)，B(2,0)的距離之和為6，則動點M的軌跡方程為(　　) A.＋y2

6、＝1 B.＋＝1 C.＋x2＝1 D.＋＝1 D　[由題意有6＞2＋2＝4，故點M的軌跡為焦點在x軸上的橢圓，則2a＝6，c＝2，故a2＝9，所以b2＝a2－c2＝5，故橢圓的方程為＋＝1，故選D.] 4．若一個橢圓長軸的長、短軸的長和焦距成等比數列，則該橢圓的離心率是(　　) A. B. C. D. C　[由題意有b2＝ac.又b2＝a2－c2，則a2－c2＝ac，即1－2＝，則e2＋e－1＝0，解得e＝.因為0＜e＜1，所以e＝.故選C.] 5．(教材改編)橢圓C：＋＝1的左、右焦點分別為F1，F2，過F2的直線交橢圓C于A，B兩點，則△F1AB的周長為___

7、_____． 20　[由橢圓的定義可知，△F1AB的周長為4a＝4×5＝20.] 第1課時　橢圓的定義、標準方程及其性質 橢圓的定義及其應用 【例1】　(1)已知兩圓C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，動圓在圓C1內部且和圓C1相內切，和圓C2相外切，則動圓圓心M的軌跡方程為(　　) A.－＝1　　 B.＋＝1 C.－＝1 D.＋＝1 (2)F1，F2是橢圓＋＝1的兩個焦點，A為橢圓上一點，且∠AF1F2＝45°，則△AF1F2的面積為(　　) A．7 B. C. D. (1)D　(2)C　[(1)設圓M的半徑為r，則

8、|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16，又|C1C2|＝8＜16，∴動圓圓心M的軌跡是以C1，C2為焦點的橢圓，且2a＝16,2c＝8，則a＝8，c＝4，∴b2＝48，故所求的軌跡方程為＋＝1. (2)由題意得a＝3，b＝，c＝， ∴|F1F2|＝2，|AF1|＋|AF2|＝6. ∵|AF2|2＝|AF1|2＋|F1F2|2－2|AF1|·|F1F2|cos 45°＝|AF1|2－4|AF1|＋8， ∴(6－|AF1|)2＝|AF1|2－4|AF1|＋8. ∴|AF1|＝，∴S△AF1F2＝××2×＝.] [規(guī)律方法]　1.橢圓定義的應用主要有兩個方面：一是判定平面

9、內動點的軌跡是否為橢圓；二是利用定義求焦點三角形的周長、面積、弦長、最值和離心率等. 2.橢圓的定義式必須滿足2a＞|F1F2|. (1)如圖所示，一圓形紙片的圓心為O，F是圓內一定點，M是圓周上一動點，把紙片折疊使M與F重合，然后抹平紙片，折痕為CD，設CD與OM交于點P，則點P的軌跡是(　　) A．橢圓 B．雙曲線 C．拋物線 D．圓 (2)(2019·徐州模擬)已知F1，F2是橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的兩個焦點，P為橢圓C上的一點，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面積為9，則b＝________. (1)A　(2)3　[(1)由題意可知，CD是線段MF的垂直

10、平分線， ∴|MP|＝|PF|， ∴|PF|＋|PO|＝|PM|＋|PO|＝|MO|(定值)． 又|MO|＞|FO|， ∴點P的軌跡是以F，O為焦點的橢圓，故選A. (2)設|PF1|＝r1，|PF2|＝r2， 則所以2r1r2＝(r1＋r2)2－(r＋r)＝4a2－4c2＝4b2，所以S△PF1F2＝r1r2＝b2＝9，所以b＝3.] 橢圓的標準方程 【例2】　(1)在△ABC中，A(－4,0)，B(4,0)，△ABC的周長是18，則頂點C的軌跡方程是(　　) A.＋＝1(y≠0) B.＋＝1(y≠0) C.＋＝1(y≠0) D.＋＝1(y≠0) (2)

11、已知橢圓的中心在原點，以坐標軸為對稱軸，且經過兩點，(，)，則橢圓方程為________． (3)過點(，－)，且與橢圓＋＝1有相同焦點的橢圓的標準方程為________． (1)A　(2)＋＝1　(3)＋＝1　[(1)由|AC|＋|BC|＝18－8＝10＞8知，頂點C的軌跡是以A，B為焦點的橢圓(A，B，C不共線)．設其方程為＋＝1(a＞b＞0)，則a＝5，c＝4，從而b＝3.由A，B，C不共線知y≠0.故頂點C的軌跡方程是＋＝1(y≠0)． (2)設橢圓方程為mx2＋ny2＝1(m，n＞0，m≠n)． 由 解得m＝，n＝. ∴橢圓方程為＋＝1. (3)法一：橢圓＋＝1的焦點為

12、(0，－4)，(0,4)，即c＝4. 由橢圓的定義知， 2a＝＋， 解得a＝2. 由c2＝a2－b2可得b2＝4， ∴所求橢圓的標準方程為＋＝1. 法二：∵所求橢圓與橢圓＋＝1的焦點相同， ∴其焦點在y軸上，且c2＝25－9＝16. 設它的標準方程為＋＝1(a＞b＞0)． ∵c2＝16，且c2＝a2－b2， 故a2－b2＝16.① 又點(，－)在所求橢圓上， ∴＋＝1， 則＋＝1.② 由①②得b2＝4，a2＝20， ∴所求橢圓的標準方程為＋＝1.] [規(guī)律方法]　(1)求橢圓的標準方程多采用定義法和待定系數法. (2)利用定義法求橢圓方程，要注意條件2a＞|F

13、1F2|；利用待定系數法要先定形(焦點位置)，再定量，也可把橢圓方程設為mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)的形式. (1)已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1，F2，離心率為，過F2的直線l交C于A，B兩點，若△AF1B的周長為4，則C的方程為(　　) A.＋＝1 B.＋y2＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 (2)橢圓E的焦點在x軸上，中心在原點，其短軸上的兩個頂點和兩個焦點恰為邊長是2的正方形的頂點，則橢圓E的標準方程為(　　) A.＋＝1 B.＋y2＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 (3)設F1，F2分別是橢圓E：x2＋＝1(0＜b＜1)

14、的左、右焦點，過點F1的直線交橢圓E于A，B兩點．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x軸，則橢圓E的方程為________． (1)A　(2)C　(3)x2＋y2＝1　[(1)△AF1B的周長是4a＝4， 所以a＝，e＝＝， 所以c＝1， 那么b2＝a2－c2＝2， 所以方程是＋＝1.故選A. (2)由條件可知b＝c＝，a＝2，所以橢圓方程為＋＝1，故選C. (3)不妨設點A在第一象限，如圖所示． ∵AF2⊥x軸，∴A(c，b2)(其中c2＝1－b2,0＜b＜1，c＞0)． 又∵|AF1|＝3|F1B|， ∴由＝3得B， 代入x2＋＝1得＋＝1. 又c2＝1－b2，

15、∴b2＝. 故橢圓E的方程為x2＋y2＝1.] 橢圓的幾何性質 ?考法1　求離心率或范圍 【例3】　(1)(2019·深圳模擬)設橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F1，F2，P是C上的點，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，則C的離心率為(　　) A. B. C. D. (2)(2017·全國卷Ⅰ)設A，B是橢圓C：＋＝1長軸的兩個端點，若C上存在點M滿足∠AMB＝120°，則m的取值范圍是(　　) A．(0,1]∪[9，＋∞) B．(0，]∪[9，＋∞) C．(0,1]∪[4，＋∞) D．(0，]∪[4，＋∞) (1)D　(2

16、)A　[(1)法一：如圖，在Rt△PF2F1中， ∠PF1F2＝30°，|F1F2|＝2c， ∴|PF1|＝＝， |PF2|＝2c·tan 30°＝. ∵|PF1|＋|PF2|＝2a， 即＋＝2a，可得c＝a. ∴e＝＝. 法二：(特殊值法)在Rt△PF2F1中 ，令|PF2|＝1， ∵∠PF1F2＝30°， ∴|PF1|＝2，|F1F2|＝. ∴e＝＝＝.故選D. (2)由題意知，當M在短軸頂點時，∠AMB最大． ①如圖1，當焦點在x軸，即m＜3時， a＝，b＝，tan α＝≥tan 60°＝，∴0＜m≤1. 圖1　　　　圖2 ②如圖2，當焦點在y軸，即m＞

17、3時， a＝，b＝，tan α＝≥tan 60°＝，∴m≥9. 綜上，m∈(0,1]∪[9，＋∞)，故選A.] ?考法2　與橢圓幾何性質有關的范圍問題 【例4】　(2019·合肥質檢)如圖，焦點在x軸上的橢圓＋＝1的離心率e＝，F，A分別是橢圓的一個焦點和頂點，P是橢圓上任意一點，則·的最大值為________． 4　[由題意知a＝2，因為e＝＝，所以c＝1，b2＝a2－c2＝3.故橢圓方程為＋＝1. 設P點坐標為(x0，y0)．所以－2≤x0≤2，－≤y0≤. 因為F(－1,0)，A(2,0)， ＝(－1－x0，－y0)，＝(2－x0，－y0)， 所以·＝x－x0－2＋y＝

18、x－x0＋1＝(x0－2)2. 則當x0＝－2時，·取得最大值4.] [規(guī)律方法]　(1)求橢圓離心率的方法,①直接求出a，c的值，利用離心率公式直接求解.,②列出含有a，b，c的齊次方程(或不等式)，借助于b2＝a2－c2消去b，轉化為含有e的方程(或不等式)求解. (2)利用橢圓幾何性質求值或范圍的思路,求解與橢圓幾何性質有關的參數問題時，要結合圖形進行分析，當涉及頂點、焦點、長軸、短軸等橢圓的基本量時，要理清它們之間的關系.建立關于a、b、c的方程或不等式. (1)(2018·全國卷Ⅱ)已知F1，F2是橢圓C的兩個焦點，P是C上的一點．若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°

19、，則C的離心率為(　　) A．1－ B．2－ C. D.－1 (2)若點O和點F分別為橢圓＋＝1的中心和左焦點，點P為橢圓上的任意一點，則·的最大值為(　　) A．2 B．3 C．6 D．8 (1)D　(2)C　[(1)由題設知∠F1PF2＝90°，∠PF2F1＝60°，|F1F2|＝2c，所以|PF2|＝c，|PF1|＝c.由橢圓的定義得|PF1|＋|PF2|＝2a，即c＋c＝2a，所以(＋1)c＝2a，故橢圓C的離心率e＝＝＝－1.故選D. (2)由橢圓＋＝1可得F(－1,0)，點O(0,0)，設P(x，y)(－2≤x≤2)， 則·＝x2＋x＋y2＝x2＋x

20、＋3＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2，－2≤x≤2， 當且僅當x＝2時，·取得最大值6.] 1.(2018·全國卷Ⅱ)已知F1，F2是橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點，A是C的左頂點，點P在過A且斜率為的直線上，△PF1F2為等腰三角形，∠F1F2P＝120°，則C的離心率為(　　) A.　　　 B. C. D. D　[由題意可得橢圓的焦點在x軸上，如圖所示，設|F1F2|＝2c，∵△PF1F2為等腰三角形，且∠F1F2P＝120°，∴|PF2|＝|F1F2|＝2c.∵|OF2|＝c，∴點P坐標為(c＋2ccos 60°，2csin 60°)，即點P(2c，c)．∵點P在過點A，且斜率為的直線上，∴＝，解得＝，∴e＝，故選D.] 2．(2016·全國卷Ⅰ)直線l經過橢圓的一個頂點和一個焦點，若橢圓中心到l的距離為其短軸長的，則該橢圓的離心率為(　　) A.　　 B. C. D. B　[如圖，|OB|為橢圓中心到l的距離，則|OA|·|OF|＝|AF|·|OB|，即bc＝a·，所以e＝＝.] - 10 -