《2019屆高考數(shù)學二輪復習 第二部分 突破熱點 分層教學 專項二 專題四 1 第1講 空間幾何體的三視圖、表面積與體積學案》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019屆高考數(shù)學二輪復習 第二部分 突破熱點 分層教學 專項二 專題四 1 第1講 空間幾何體的三視圖、表面積與體積學案（16頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第1講　空間幾何體的三視圖、表面積與體積 年份 卷別 考查內(nèi)容及考題位置 命題分析 2018 卷Ⅰ 空間幾何體的三視圖及側(cè)面展開問題·T7 1.“立體幾何”在高考中一般會以“兩小一大”或“一小一大”的命題形式出現(xiàn)，這“兩小”或“一小”主要考查三視圖，幾何體的表面積與體積，空間點、線、面的位置關(guān)系(特別是平行與垂直)． 2．考查一個小題時，此小題一般會出現(xiàn)在第4～8題的位置上，難度一般；考查兩個小題時，其中一個小題難度一般，另一個小題難度稍高，一般會出現(xiàn)在第10～16題的位置上，此小題雖然難度稍高，主要體現(xiàn)在計算量上，但仍是對基礎(chǔ)知識、基本公式的考查. 空間幾何體的截面問

2、題·T12 卷Ⅱ 圓錐的側(cè)面積·T16 卷Ⅲ 三視圖的識別·T3　三棱錐的體積及外接球問題·T10 2017 卷Ⅰ 空間幾何體的三視圖與直觀圖、面積的計算·T7 卷Ⅱ 空間幾何體的三視圖及組合體體積的計算·T4 卷Ⅲ 球的內(nèi)接圓柱、圓柱的體積的計算·T8 2016 卷Ⅰ 有關(guān)球的三視圖及表面積的計算·T6 卷Ⅱ 空間幾何體的三視圖及組合體表面積的計算·T6 卷Ⅲ 空間幾何體的三視圖及組合體表面積的計算·T9 直三棱柱的體積最值問題·T10 　　　空間幾何體的三視圖(基礎(chǔ)型) 一個物體的三視圖的排列規(guī)則 俯視圖放在正(主)視圖的下面，長度與正

3、(主)視圖的長度一樣，側(cè)(左)視圖放在正(主)視圖的右面，高度與正(主)視圖的高度一樣，寬度與俯視圖的寬度一樣．即“長對正、高平齊、寬相等”． 由三視圖還原到直觀圖的三個步驟 (1)根據(jù)俯視圖確定幾何體的底面． (2)根據(jù)正(主)視圖或側(cè)(左)視圖確定幾何體的側(cè)棱與側(cè)面的特征，調(diào)整實線和虛線所對應的棱、面的位置． (3)確定幾何體的直觀圖形狀． [注意]　在讀圖或者畫空間幾何體的三視圖時，應注意三視圖中的實線和虛線． [考法全練] 1．(2018·高考全國卷Ⅲ)中國古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來．構(gòu)件的凸出部分叫榫頭，凹進部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長方體是榫頭．若如圖擺放的

4、木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長方體，則咬合時帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是(　　) 解析：選A.由題意知，在咬合時帶卯眼的木構(gòu)件中，從俯視方向看，榫頭看不見，所以是虛線，結(jié)合榫頭的位置知選A. 2．(2018·高考全國卷Ⅰ)某圓柱的高為2，底面周長為16，其三視圖如圖．圓柱表面上的點M在正視圖上的對應點為A，圓柱表面上的點N在左視圖上的對應點為B，則在此圓柱側(cè)面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長度為(　　) A．2 B．2 C．3 D．2 解析：選B.由三視圖可知，該幾何體為如圖①所示的圓柱，該圓柱的高為2，底面周長為16.畫出該圓柱的側(cè)面展開圖，如圖②所示，連接MN，

5、則MS＝2，SN＝4，則從M到N的路徑中，最短路徑的長度為＝＝2.故選B. 3．把邊長為1的正方形ABCD沿對角線BD折起，使得平面ABD⊥平面CBD，形成的三棱錐C-ABD的正視圖與俯視圖如圖所示，則側(cè)視圖的面積為(　　) A. B. C. D. 解析：選D.由三棱錐C-ABD的正視圖、俯視圖得三棱錐C-ABD的側(cè)視圖為直角邊長是的等腰直角三角形，如圖所示，所以三棱錐C-ABD的側(cè)視圖的面積為，故選D. 4．(2018·長春質(zhì)量監(jiān)測(二))如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線條畫出的是一個三棱錐的三視圖，則該三棱錐中最長棱的長度為(　　) A．2 B. C

6、．2 D．3 解析：選D.如圖，三棱錐A-BCD即為所求幾何體，根據(jù)題設(shè)條件，知輔助的正方體棱長為2，CD＝1，BD＝2，BC＝，AC＝2，AB＝3，AD＝，則最長棱為AB，長度為3. 5．(2018·石家莊質(zhì)量檢測(一))如圖，網(wǎng)格紙上的小正方形的邊長為1，粗線表示的是某三棱錐的三視圖，則該三棱錐的四個面中，最小面的面積是(　　) A．2 B．2 C．2 D. 解析：選C.在正方體中還原該幾何體，如圖中三棱錐D-ABC所示，其中正方體的棱長為2，則S△ABC＝2，S△DBC＝2，S△ADB＝2，S△ADC＝2，故該三棱錐的四個面中，最小面的面積是2，選C. 　　　

7、空間幾何體的表面積和體積(綜合型) 柱體、錐體、臺體的側(cè)面積公式 (1)S柱側(cè)＝ch(c為底面周長，h為高)． (2)S錐側(cè)＝ch′(c為底面周長，h′為斜高)． (3)S臺側(cè)＝(c＋c′)h′(c′，c分別為上下底面的周長，h′為斜高)． 柱體、錐體、臺體的體積公式 (1)V柱體＝Sh(S為底面面積，h為高)． (2)V錐體＝Sh(S為底面面積，h為高)． (3)V臺＝(S＋＋S′)h(S，S′分別為上下底面面積，h為高)(不要求記憶)． [典型例題] 命題角度一　空間幾何體的表面積 (1)(2018·濰坊模擬)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為(　　

8、) A．4＋2　　　　　　 B．4＋4 C．6＋2 D．6＋4 (2)(2018·合肥第一次質(zhì)量檢測)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為(　　) A．5π＋18 B．6π＋18 C．8π＋6 D．10π＋6 【解析】　(1)由三視圖還原幾何體的直觀圖如圖所示，易知BC⊥平面PAC，又PC?平面PAC，所以BC⊥PC，又AP＝AC＝BC＝2，所以PC＝＝2，又AB＝2，所以S△PBC＝S△PAB＝×2×2＝2，S△ABC＝S△PAC＝×2×2＝2，所以該幾何體的表面積為4＋4. (2)由三視圖可知該幾何體是由一個半圓柱和兩

9、個半球構(gòu)成的，故該幾何體的表面積為2××4π×12＋2××π×12＋2×3＋×2π×1×3＝8π＋6. 【答案】　(1)B　(2)C 求幾何體的表面積的方法 (1)求表面積問題的基本思路是將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，即空間圖形平面化，這是解決立體幾何的主要出發(fā)點． (2)求不規(guī)則幾何體的表面積時，通常將所給幾何體分割成基本的柱、錐、臺體，先求這些柱、錐、臺體的表面積，再通過求和或作差得幾何體的表面積．　 命題角度二　空間幾何體的體積 (1)(2018·武漢調(diào)研)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為(　　) A. B. C. D. (2)(2018

10、·高考全國卷Ⅱ)已知圓錐的頂點為S，母線SA，SB互相垂直，SA與圓錐底面所成角為30°.若△SAB的面積為8，則該圓錐的體積為________． 【解析】　(1)由三視圖知，該幾何體是在長、寬、高分別為2，1，1的長方體中，截去一個三棱柱AA1D1-BB1C1和一個三棱錐C-BC1D后剩下的幾何體，即如圖所示的四棱錐D-ABC1D1，四棱錐D-ABC1D1的底面積為S四邊形ABC1D1＝2×＝2，高h＝，其體積V＝S四邊形ABC1D1h＝×2×＝.故選D. (2)由題意畫出圖形，如圖，設(shè)AC是底面圓O的直徑，連接SO，則SO是圓錐的高．設(shè)圓錐的母線長為l，則由SA⊥SB，△SAB的面

11、積為8，得l2＝8，得l＝4.在Rt△ASO中，由題意知∠SAO＝30°，所以SO＝l＝2，AO＝l＝2. 故該圓錐的體積V＝π×AO2×SO＝π×(2)2×2＝8π. 【答案】　(1)D　(2)8π 求空間幾何體體積的常用方法 (1)公式法：直接根據(jù)相關(guān)的體積公式計算． (2)等積法：根據(jù)體積計算公式，通過轉(zhuǎn)換空間幾何體的底面和高使得體積計算更容易，或是求出一些體積比等． (3)割補法：把不能直接計算體積的空間幾何體進行適當分割或補形，轉(zhuǎn)化為易計算體積的幾何體．　 [對點訓練] 1．(2018·洛陽第一次統(tǒng)考)一個幾何體的三視圖如圖所示，圖中的三個正方形的邊長均為2，則

12、該幾何體的體積為(　　) A．8－ B．4－ C．8－ D．4－ 解析：選A.由三視圖可得該幾何體的直觀圖如圖所示，該幾何體是一個棱長為2的正方體上、下各挖去一個底面半徑為1，高為1的圓錐后剩余的部分，其體積為23－2××π×12×1＝8－.故選A. 2．(2018·唐山模擬)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫的是一個幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為(　　) A．3 B. C．7 D. 解析：選B.由題中的三視圖可得，該幾何體是由一個長方體切去一個三棱錐所得的幾何體，長方體的長，寬，高分別為2，1，2，體積為4，切去的三棱錐的體積為，故該幾何體的體積V

13、＝4－＝.故選B. 　　　多面體與球(綜合型) [典型例題] 命題角度一　外接球 (2018·南寧模擬)三棱錐P-ABC中，△ABC為等邊三角形，PA＝PB＝PC＝3，PA⊥PB，三棱錐P-ABC的外接球的體積為(　　) A.π B.π C．27π D．27π 【解析】　因為三棱錐P-ABC中，△ABC為等邊三角形，PA＝PB＝PC＝3，所以△PAB≌△PBC≌△PAC.因為PA⊥PB，所以PA⊥PC，PC⊥PB.以PA，PB，PC為過同一頂點的三條棱作正方體(如圖所示)，則正方體的外接球同時也是三棱錐P-ABC的外接球．因為正方體的體對角線長為＝3，所以其外接球半徑R

14、＝.因此三棱錐P-ABC的外接球的體積V＝×＝π，故選B. 【答案】　B 解決多面體的外接球問題，關(guān)鍵是確定球心的位置，方法是先選擇多面體中的一面，確定此面外接圓的圓心，再過圓心作垂直此面的垂線，則球心一定在此垂線上，最后根據(jù)其他頂點確定球心的準確位置．對于特殊的多面體還可采用補成正方體或長方體的方法找到球心位置．　 命題角度二　內(nèi)切球 已知一個平放的各棱長為4的三棱錐內(nèi)有一個小球O(重量忽略不計)，現(xiàn)從該三棱錐頂端向內(nèi)注水，小球慢慢上浮，當注入的水的體積是該三棱錐體積的時，小球與該三棱錐各側(cè)面均相切(與水面也相切)，則小球的表面積等于(　　) A. B. C. D

15、. 【解析】　當注入水的體積是該三棱錐體積的時，設(shè)水面上方的小三棱錐的棱長為x(各棱長都相等)，依題意，＝，得x＝2.易得小三棱錐的高為，設(shè)小球半徑為r，則S底面·＝4··S底面·r，得r＝，故小球的表面積S＝4πr2＝.故選C. 【答案】　C 求解多面體的內(nèi)切球的問題，一般是將多面體分割為以球心為頂點，多面體的各面為底面的棱錐，利用多面體的體積等于各棱錐的體積之和求內(nèi)切球的半徑．　 命題角度三　與球有關(guān)的最值問題 (2018·高考全國卷Ⅲ)設(shè)A，B，C，D是同一個半徑為4的球的球面上四點，△ABC為等邊三角形且其面積為9，則三棱錐D-ABC體積的最大值為(　　) A．12

16、 B．18 C．24 D．54 【解析】　如圖，E是AC中點，M是△ABC的重心，O為球心，連接BE，OM，OD，BO.因為S△ABC＝AB2＝9，所以AB＝6，BM＝BE＝＝2.易知OM⊥平面ABC，所以在Rt△OBM中，OM＝＝2，所以當D，O，M三點共線且DM＝OD＋OM時，三棱錐D-ABC的體積取得最大值，且最大值Vmax＝S△ABC×(4＋OM)＝×9×6＝18.故選B. 【答案】　B 多面體與球有關(guān)的最值問題，主要有三種：一是多面體確定的情況下球的最值問題，二是球的半徑確定的情況下與多面體有關(guān)的最值問題；三是多面體與球均確定的情況下，截面的最值問題．　 [對

17、點訓練] 1．(2018·福州模擬)已知圓錐的高為3，底面半徑為，若該圓錐的頂點與底面的圓周都在同一個球面上，則這個球的體積等于(　　) A.π B.π C．16π D．32π 解析：選B.設(shè)該圓錐的外接球的半徑為R，依題意得，R2＝(3－R)2＋()2，解得R＝2，所以所求球的體積V＝πR3＝π×23＝π，故選B. 2．(2018·洛陽第一次聯(lián)考)已知球O與棱長為4的正四面體的各棱均相切，則球O的體積為(　　) A.π B.π C.π D.π 解析：選A.將正四面體補成正方體，則正四面體的棱為正方體面上的對角線，因為正四面體的棱長為4，所以正 方體的棱長為2.因為球O與

18、正四面體的各棱都相切，所以球O為正方體的內(nèi)切球，即球O的直徑為正方體的棱長2，則球O的體積V＝πR3＝π，故選A. 3．已知四棱錐S-ABCD的所有頂點在同一球面上，底面ABCD是正方形且球心O在此平面內(nèi)，當四棱錐的體積取得最大值時，其表面積等于16＋16，則球O的體積等于(　　) A. B. C. D. 解析：選D. 由題意得，當四棱錐的體積取得最大值時，該四棱錐為正四棱錐．因為該四棱錐的表面積等于16＋16，設(shè)球O的半徑為R，則AC＝2R，SO＝R，如圖，所以該四棱錐的底面邊長AB＝R，則有(R)2＋4××R× ＝16＋16，解得R＝2，所以球O的體積是πR3＝π.故選D.

19、 一、選擇題 1．(2018·長沙模擬)如圖是一個正方體，A，B，C為三個頂點，D是棱的中點，則三棱錐A-BCD的正視圖、俯視圖是(注：選項中的上圖為正視圖，下圖為俯視圖)(　　) 解析：選A.正視圖和俯視圖中棱AD和BD均看不見，故為虛線，易知選A. 2．(2018·高考北京卷)某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個數(shù)為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：選C.將三視圖還原為直觀圖，幾何體是底面為直角梯形，且一條側(cè)棱和底面垂直的四棱錐，如圖所示． 易知，BC∥AD，BC＝1，AD＝AB＝PA＝2， AB⊥AD，PA⊥平面ABCD，故△

20、PAD，△PAB為直角三角形， 因為PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD， 所以PA⊥BC，又BC⊥AB，且PA∩AB＝A， 所以BC⊥平面PAB，又PB?平面PAB，所以BC⊥PB， 所以△PBC為直角三角形，容易求得PC＝3，CD＝，PD＝2， 故△PCD不是直角三角形，故選C. 3．(2018·沈陽教學質(zhì)量監(jiān)測(一))如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某簡單幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為(　　) A. B. C. D. 解析：選A.由三視圖可得該幾何體為半圓錐，底面半圓的半徑為2，高為2，則其體積V＝××π×22×2＝，故選A. 4．(2018

21、·西安八校聯(lián)考)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是(　　) A. B. C．2＋ D．4＋ 解析：選B.由三視圖可知，該幾何體為一個半徑為1的半球與一個底面半徑為1，高為2的半圓柱組合而成的組合體，故其體積V＝π×13＋π×12×2＝，故選B. 5．(2018·長春質(zhì)量檢測(一))已知矩形ABCD的頂點都在球心為O，半徑為R的球面上，AB＝6，BC＝2，且四棱錐O-ABCD的體積為8，則R等于(　　) A．4 B．2 C. D. 解析：選A.如圖，設(shè)矩形ABCD的中心為E，連接OE，EC，由球的性質(zhì)可得OE⊥平面ABCD，所以VO-ABCD＝·OE·S矩形ABCD

22、＝×OE×6×2＝8，所以O(shè)E＝2，在矩形ABCD中可得EC＝2，則R＝＝＝4，故選A. 6．(2018·南昌調(diào)研)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線及粗虛線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的體積為(　　) A. B. C．2 D. 解析：選A.由三視圖可知，該幾何體為三棱錐，將其放在棱長為2的正方體中，如圖中三棱錐A-BCD所示，故該幾何體的體積V＝××1×2×2＝. 7．(2018·遼寧五校協(xié)作體聯(lián)考)如圖所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線及粗虛線畫出的是三棱錐的三視圖，則此三棱錐的體積是(　　) A．8 B．16 C．24 D．48 解析：選A

23、.由三視圖還原三棱錐的直觀圖，如圖中三棱錐P-ABC 所示，且長方體的長、寬、高分別為6，2，4，△ABC是直角三角形，AB⊥BC，AB＝2，BC＝6，三棱錐P-ABC的高為4，故其體積為××6×2×4＝8，故選A. 8．將一個底面半徑為1，高為2的圓錐形工件切割成一個圓柱體，能切割出的圓柱的最大體積為(　　) A. B. C. D. 解析：選B.如圖所示，設(shè)圓柱的半徑為r，高為x，體積為V，由題意可得＝，所以x＝2－2r，所以圓柱的體積V＝πr2(2－2r)＝2π(r2－r3)(0

24、r－3r2)＝0得r＝，所以圓柱的最大體積Vmax＝2π＝. 9．(2018·福州模擬)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為　(　　) A．14 B．10＋4 C.＋4 D.＋4 解析：選D.由三視圖可知，該幾何體為一個直三棱柱切去一個小三棱錐后剩余的幾何體，如圖所示．所以該多面體的表面積S＝2×＋×(22－12)＋×22＋2×2＋××()2＝＋4，故選D. 10．(2018·太原模擬)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體中最長的棱長為(　　) A．3 B．2 C. D．2 解析：選B.由三視圖得，該幾何體是四棱錐P-

25、ABCD，如圖所示，ABCD為矩形，AB＝2，BC＝3，平面PAD⊥平面ABCD，過點P作PE⊥AD，則PE＝4，DE＝2，所以CE＝2，所以最長的棱PC＝＝2，故選B. 11．(2018·南昌調(diào)研)已知三棱錐P-ABC的所有頂點都在球O的球面上，△ABC滿足AB＝2，∠ACB＝90°，PA為球O的直徑且PA＝4，則點P到底面ABC的距離為(　　) A. B．2 C. D．2 解析：選B.取AB的中點O1，連接OO1，如圖，在△ABC中，AB＝2，∠ACB＝90°，所以△ABC所在小圓O1是以AB為直徑的圓，所以O(shè)1A＝，且OO1⊥AO1，又球O的直徑PA＝4，所以O(shè)A＝2，所以O(shè)

26、O1＝＝，且OO1⊥底面ABC，所以點P到平面ABC的距離為2OO1＝2. 12．(2018·高考全國卷Ⅰ)已知正方體的棱長為1，每條棱所在直線與平面α所成的角都相等，則α截此正方體所得截面面積的最大值為(　　) A. B. C. D. 解析：選A.記該正方體為ABCD-A′B′C′D′，正方體的每條棱所在直線與平面α所成的角都相等，即共點的三條棱A′A，A′B′，A′D′與平面α所成的角都相等．如圖，連接AB′，AD′，B′D′，因為三棱錐A′-AB′D′是正三棱錐，所以A′A，A′B′，A′D′與平面AB′D′所成的角都相等．分別取C′D′，B′C′，BB′，AB，AD，DD′

27、的中點E，F(xiàn)，G，H，I，J，連接EF，F(xiàn)G，GH，IH，IJ，JE，易得E，F(xiàn)，G，H，I，J六點共面，平面EFGHIJ 與平面AB′D′平行，且截正方體所得截面的面積最大．又EF＝FG＝GH＝IH＝IJ＝JE＝，所以該正六邊形的面積為6××＝，所以α截此正方體所得截面面積的最大值為，故選A. 二、填空題 13．(2018·洛陽第一次聯(lián)考)一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為________． 解析：由題圖可知該幾何體是一個四棱錐，如圖所示，其中PD⊥平面ABCD，底面ABCD是一個對角線長為2的正方形，底面積S＝×2×2＝2，高h＝1，則該幾何體的體積V＝Sh＝. 答

28、案： 14．(2018·福州四校聯(lián)考)已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為________． 解析：在長、寬、高分別為3，3，3的長方體中，由幾何體的三視圖得幾何體為如圖所示的三棱錐C-BAP，其中底面BAP是∠BAP＝90°的直角三角形，AB＝3，AP＝3，所以BP＝6，又棱CB⊥平面BAP且CB＝3，所以AC＝6，所以該幾何體的表面積是×3×3＋×3×3＋×6×3＋×6×3＝27. 答案：27 15．(2018·高考全國卷Ⅱ)已知圓錐的頂點為S，母線SA，SB所成角的余弦值為，SA與圓錐底面所成角為45°.若△SAB的面積為5，則該圓錐的側(cè)面積為________．

29、 解析：如圖所示，設(shè)S在底面的射影為S′，連接AS′，SS′.△SAB的面積為·SA·SB·sin∠ASB＝·SA2·＝·SA2＝5，所以SA2＝80，SA＝4.因為SA與底面所成的角為45°，所以∠SAS′＝45°，AS′＝SA·cos 45°＝4×＝2.所以底面周長l＝2π·AS′＝4π，所以圓錐的側(cè)面積為×4×4π＝40π. 答案：40π 16．(2018·濰坊模擬)已知正四棱柱的頂點在同一個球面上，且球的表面積為12π，當正四棱柱的體積最大時，正四棱柱的高為________． 解析：設(shè)正四棱柱的底面邊長為a，高為h，球的半徑為r，由題意知4πr2＝12π，所以r2＝3，又2a2＋h2＝(2r)2＝12，所以a2＝6－，所以正四棱柱的體積V＝a2h＝h，則V′＝6－h(huán)2，由V′>0，得02，所以當h＝2時，正四棱柱的體積最大，Vmax＝8. 答案：2 16