《2020版高考數(shù)學一輪復習 第4章 平面向量、數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入 第2節(jié) 平面向量的基本定理及坐標表示教學案 文（含解析）北師大版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020版高考數(shù)學一輪復習 第4章 平面向量、數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入 第2節(jié) 平面向量的基本定理及坐標表示教學案 文（含解析）北師大版（8頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第二節(jié)　平面向量的基本定理及坐標表示 [考綱傳真]　1.了解平面向量的基本定理及其意義.2.掌握平面向量的正交分解及其坐標表示.3.會用坐標表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運算.4.理解用坐標表示的平面向量共線的條件． 1．平面向量基本定理 (1)定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，存在唯一一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. (2)基底：不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底． 2．平面向量的坐標表示 在平面直角坐標系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i，j作為基底，該平面內(nèi)的任一向量a可

2、表示成a＝xi＋yj，把有序數(shù)對(x，y)叫做向量a的坐標，記作a＝(x，y)． 3．平面向量的坐標運算 (1)向量加法、減法、數(shù)乘及向量的模 設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)， λa＝(λx1，λy1)，|a|＝. (2)向量坐標的求法 ①若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標． ②設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝(x2－x1，y2－y1)， ||＝. 4．平面向量共線的坐標表示 設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a，b共線?x1y2－x2y1＝0

3、. 1．若a與b不共線，且λa＋μb＝0，則λ＝μ＝0. 2．已知P為線段AB的中點，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則P點坐標為；已知△ABC的頂點A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，則△ABC的重心G的坐標為. [基礎自測] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)平面內(nèi)的任何兩個向量都可以作為一組基底． (　　) (2)若a，b不共線，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，則λ1＝λ2，μ1＝μ2． (　　) (3)相等向量的坐標相同． (　　) (4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條

4、件可以表示成＝． (　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．已知平面向量a＝(2，－1)，b＝(1,3)，那么|a＋b|等于 (　　) A．5　　　B．　　　C．　　　D．13 B　[因為a＋b＝(2，－1)＋(1,3)＝(3,2)，所以|a＋b|＝＝.] 3．如圖，在△ABC中，BE是邊AC的中線，O是邊BE的中點，若＝a，＝b，則＝(　　) A．a(chǎn)＋b B．a(chǎn)＋b C．a(chǎn)＋b D．a(chǎn)＋b D　[＝＋＝＋＝＋(－) ＝＋＝＋＝a＋b，故選D．] 4．(教材改編)已知A(－2，－3)，B(2,1)，C(1,4)，D(－7，t)，若與共線，則t

5、＝________. －4　[＝(4,4)，＝(－8，t－4)，由∥得4(t－4)＝－32，解得t＝－4.] 5．(教材改編)已知?ABCD的頂點A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，則頂點D的坐標為________． (1,5)　[設D(x，y)，則由＝，得(4,1)＝(5－x,6－y)， 即解得] 平面向量基本定理及其應用 1．在下列向量組中，可以把向量a＝(3,2)表示出來的是(　　) A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2) B．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2) C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10) D．e1＝(2，－3)，e2

6、＝(－2,3) B　[當e1與e2不共線時，可表示a. 當e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)時，(－1)×(－2)≠5×2， 因此e1與e2不共線，故選B．] 2．在△ABC中，P，Q分別是AB，BC的三等分點，且AP＝AB，BQ＝BC，若＝a，＝b，則＝(　　) A．a(chǎn)＋b　　　 B．－a＋b C．a(chǎn)－b D．－a－b A　[由題意知＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b.故選A．] 3．如圖，向量a－b等于(　　) A．－4e1－2e2 B．－2e1－4e2 C．e1－3e2 D．3e1－e2 C　[根據(jù)向量的減法和加法的三角形法則知a－b＝e1－3e2，故選C．]

7、 [規(guī)律方法]　平面向量基本定理應用的實質(zhì)和一般思路 (1)應用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運算． (2)用向量基本定理解決問題的一般思路是先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決． 易錯警示：在基底未給出的情況下，合理地選取基底會給解題帶來方便．另外，要熟練運用平面幾何的一些性質(zhì)定理． 平面向量的坐標運算 【例1】　(1)已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若a－2b＋3c＝0，則c等于(　　) A． B． C． D． (2)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，

8、－2)．若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，則m－n的值為________． (3)平面直角坐標系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，C(－1，c)，(c＞0)，且||＝2，若＝λ＋μ，則實數(shù)λ＋μ的值為________． (1)D　(2)－3　(3)－1　[(1)由已知3c＝－a＋2b ＝(－5,2)＋(－8，－6)＝(－13，－4)． 所以c＝. (2)由向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，得ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，則 解得故m－n＝－3. (3)因為||＝2，所以||2＝1＋c2＝4，因為c＞0，所以c＝.因為＝λ＋μ，所以(－1，)

9、＝λ(1,0)＋μ(0,1)，所以λ＝－1，μ＝，所以λ＋μ＝－1.] [規(guī)律方法]　平面向量坐標運算的技巧 (1)利用向量加、減、數(shù)乘運算的法則來進行求解，若已知有向線段兩端點的坐標，則應先求向量的坐標． (2)解題過程中，常利用“向量相等，則坐標相同”這一結(jié)論，由此可列方程(組)進行求解． 已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．設＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b， (1)求3a＋b－3c； (2)求滿足a＝mb＋nc的實數(shù)m，n； (3)求M，N的坐標及向量的坐標． [解]　由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)． (1)3a＋

10、b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)， ∴解得 (3)設O為坐標原點．∵＝－＝3c， ∴＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)． ∴M(0,20)． 又∵＝－＝－2b，∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)，∴N(9,2)，∴＝(9，－18)． 平面向量共線的坐標表示 【例2】　已知a＝(1,0)，b＝(2,1)． (1)當k為何值時，ka－b與a＋2b共線？ (2)若＝2a＋3b，＝a＋mb且A，B，C三點

11、共線，求m的值． [解]　(1)ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)， a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)． ∵ka－b與a＋2b共線，∴2(k－2)－(－1)×5＝0，即2k－4＋5＝0，得k＝－. (2)法一：∵A，B，C三點共線，∴＝λ， 即2a＋3b＝λ(a＋mb)，∴， 解得m＝. 法二：＝2a＋3b＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)， ＝a＋mb＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)． ∵A，B，C三點共線，∴∥. ∴8m－3(2m＋1)＝0，即2m－3＝0， ∴m＝. [規(guī)律方法]　平面向量共線的坐標表示問題的常見類

12、型及解題策略 (1)利用兩向量共線求參數(shù)，如果已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值時，利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是x1y2＝x2y1”解題比較方便． (2)利用兩向量共線的條件求向量坐標．一般地，在求與一個已知向量a共線的向量時，可設所求向量為λa(λ∈R)，然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量． (1)(2019·沈陽模擬)已知平面向量a＝(1，m)，b＝(－3,1)且(2a＋b)∥b，則實數(shù)m的值為(　　) A．　 B．－　　　C．　　　D．－ (2)已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k＋1，

13、k－2)，若A，B，C三點能構(gòu)成三角形，則實數(shù)k應滿足的條件是________． (1)B　(2)k≠1　[(1)2a＋b＝(－1,2m＋1)，由題意知 －3(2m＋1)＝－1，解得m＝－， 故選B． (2)若點A，B，C能構(gòu)成三角形， 則向量，不共線． 因為＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)， ＝－＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)， 所以1×(k＋1)－2k≠0， 解得k≠1.] 1．(2015·全國卷Ⅰ)已知點A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，則向量＝(　　) A．(－7，－4)　 B．(7,4) C．(－1,4) D

14、．(1,4) A　[法一：設C(x，y)，則＝(x，y－1)＝(－4，－3)， 所以從而＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4)．故選A． 法二：＝(3,2)－(0,1)＝(3,1)， ＝－＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)． 故選A．] 2．(2016·全國卷Ⅱ)已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，則m＝________. －6　[∵a＝(m,4)，b＝(3，－2)，a∥b， ∴－2m－4×3＝0. ∴m＝－6.] 3．(2018·全國卷Ⅲ)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，則λ＝________. 　[由題意得2a＋b＝(4,2)，因為c∥(2a＋b)，c＝(1，λ)，所以4λ＝2，得λ＝.] - 8 -