《2020版高考數(shù)學一輪復習 第10章 計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布 第6節(jié) 離散型隨機變量的均值與方差、正態(tài)分布教學案 理（含解析）北師大版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2020版高考數(shù)學一輪復習 第10章 計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布 第6節(jié) 離散型隨機變量的均值與方差、正態(tài)分布教學案 理（含解析）北師大版（10頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第六節(jié)　離散型隨機變量的均值與方差、正態(tài)分布 [考綱傳真]　1.理解取有限個值的離散型隨機變量的均值、方差的概念.2.會求簡單離散型隨機變量的均值、方差，并能利用離散型隨機變量的均值、方差概念解決一些簡單實際問題.3.借助直觀直方圖認識正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義． 1．離散型隨機變量的均值與方差 若離散型隨機變量X的分布列為P(X＝ai)＝pi(i＝1,2，…，r)． (1)均值 EX＝a1p1＋a2p2＋…＋arpr，均值EX刻畫的是X取值的“中心位置”． (2)方差 DX＝E(X－EX)2為隨機變量X的方差，它刻畫了隨機變量X與其均值EX的平均偏離程度． 2．

2、均值與方差的性質(zhì) (1)E(aX＋b)＝aEX＋b． (2)D(aX＋b)＝a2DX(a，b為常數(shù))． 3．兩點分布與二項分布的均值、方差 均值 方差 變量X服從兩點分布 EX＝p DX＝p(1－p) X～B(n，p) EX＝np DX＝np(1－p) 4.正態(tài)分布 (1)X～N(μ，σ2)，表示X服從參數(shù)為μ和σ2的正態(tài)分布． (2)正態(tài)分布密度函數(shù)的性質(zhì)： ①函數(shù)圖像關于直線x＝μ對稱； ②σ(σ＞0)的大小決定函數(shù)圖像的“胖”“瘦”； ③p(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝68.3%； p(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝95.4%； p(μ－3σ＜X＜μ＋3σ

3、)＝99.7%. 1．均值與方差的關系：DX＝EX2－E2X. 2．超幾何分布的均值：若X服從參數(shù)為N，M，n的超幾何分布，則EX＝. [基礎自測] 1．(思考辨析)判斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)離散型隨機變量的各個可能值表示的事件是彼此互斥的． (　　) (2)若X～N(μ，σ2)，則μ，σ2分別表示正態(tài)分布的均值和方差． (　　) (3)隨機變量的均值是常數(shù)，樣本的平均值是隨機變量． (　　) (4)隨機變量的方差和標準差都反映了隨機變量取值偏離均值的平均程度，方差或標準差越小，則偏離均值的平均程度越小. (　　) [答案]　(1)√

4、　(2)√　(3)×　(4)√ 2．(教材改編)已知X的分布列為 X －1 0 1 P a 設Y＝2X＋3，則EY的值為(　　) A.　　　　B．4　　　　C．－1　　　　D．1 A　[由概率分布列的性質(zhì)可知：＋＋a＝1，∴a＝. ∴EX＝－1×＋0×＋1×＝－. ∴EY＝3＋2EX＝3－＝.] 3．已知隨機變量X＋η＝8，若X～B(10,0.6)，則隨機變量η的均值Eη及方差Dη分別是(　　) A．6和2.4 B．2和2.4 C．2和5.6 D．6和5.6 B　[設隨機變量X的均值及方差分別為EX，DX，因為X～B(10,0.6)，所以EX＝1

5、0×0.6＝6，DX＝10×0.6×(1－0.6)＝2.4，故Eη＝E(8－X)＝8－EX＝2，Dη＝D(8－X)＝DX＝2.4，故選B．] 4．已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(2，σ2)，且P(ξ＜4)＝0.8，則P(0＜ξ＜4)＝________. 0.6　[由P(ξ＜4)＝0.8，得P(ξ≥4)＝0.2. 又正態(tài)曲線關于x＝2對稱． 則P(ξ≤0)＝P(ξ≥4)＝0.2， ∴P(0＜ξ＜4)＝1－P(ξ≤0)－P(ξ≥4)＝0.6.] 5．隨機變量X的分布列為P(X＝k)＝，k＝1,2,3，C為常數(shù)，則P(0.5＜X＜2.5)＝________. 　[由P(X＝1)＋P(X＝

6、2)＋P(X＝3)＝1，得＋＋＝1，解得C＝.所以P(0.5＜X＜2.5)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝.] 求離散型隨機變量的均值、方差 【例1】　(1)(2017·全國卷Ⅱ改編)一批產(chǎn)品的二等品率為0.02，從這批產(chǎn)品中每次隨機取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件數(shù)，則DX＝(　　) A．1.96　　　B．1.98　　　C．2　　　 D．2.02 (2)甲、乙兩人輪流投籃，每人每次投一球．約定甲先投且先投中者獲勝，一直到有人獲勝或每人都投球3次時投籃結束．設甲每次投籃投中的概率為，乙每次投籃投中的概率為，且各次投籃互不影響． ①求甲獲勝的概率； ②求投

7、籃結束時甲的投球次數(shù)ξ的分布列與期望． (1)A　[依題意，X～B(100,0.02)，所以DX＝100×0.02×(1－0.02)＝1.96.] (2)[解]　設Ak，Bk分別表示“甲、乙在第k次投籃投中”， 則P(Ak)＝，P(Bk)＝，其中k＝1,2,3. ①記“甲獲勝”為事件C，由互斥事件與相互獨立事件的概率計算公式知 P(C)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝P(A1)＋P()P()P(A2)＋P()P()P()P()P(A3)＝＋××＋2×2×＝＋＋＝. ②ξ的所有可能取值為1,2,3，且 P(ξ＝1)＝P(A1)＋P(B1)＝＋×＝， P(ξ＝2)＝P(A2)

8、＋P(B2)＝××＋2×2＝， P(ξ＝3)＝P()＝2×2＝. 綜上知，ξ的分布列為 ξ 1 2 3 P 所以Eξ＝1×＋2×＋3×＝. [規(guī)律方法]　求離散型隨機變量X的均值與方差的步驟 (1)理解X的意義，寫出X可能取的全部值． (2)求X取每個值時的概率． (3)寫出X的分布列． (4)由均值的定義求EX. (5)由方差的定義求DX. 設袋子中裝有a個紅球，b個黃球，c個藍球，且規(guī)定：取出一個紅球得1分，取出一個黃球得2分，取出一個藍球得3分． (1)當a＝3，b＝2，c＝1時，從該袋子中任取(有放回，且每球取到的機會均等)2個球，記隨機變

9、量ξ為取出此2球所得分數(shù)之和，求ξ的分布列； (2)從該袋子中任取(每球取到的機會均等)1個球，記隨機變量η為取出此球所得分數(shù)．若Eη＝，Dη＝，求a∶b∶c. [解]　(1)由題意得ξ＝2,3,4,5,6， 故P(ξ＝2)＝＝， P(ξ＝3)＝＝， P(ξ＝4)＝＝， P(ξ＝5)＝＝， P(ξ＝6)＝＝. 所以ξ的分布列為 ξ 2 3 4 5 6 P (2)由題意知η的分布列為 η 1 2 3 P 所以Eη＝＋＋＝， Dη＝2·＋2·＋2·＝，化簡得 解得a＝3c，b＝2c，故a∶b∶c＝3∶2∶1. 均值與

10、方差在決策中的應用 【例2】　根據(jù)某水文觀測點的歷史統(tǒng)計數(shù)據(jù)，得到某河流每年最高水位X(單位：米)的頻率分布直方圖如圖： 將河流最高水位落入各組的頻率視為概率，并假設每年河流最高水位相互獨立． (1)求在未來三年里，至多有一年河流最高水位X∈[27,31)的概率(結果用分數(shù)表示)； (2)該河流對沿河A企業(yè)影響如下：當X∈[23,27)時，不會造成影響；當X∈[27,31)時，損失10 000元；當X∈[31,35]時，損失60 000元．為減少損失，現(xiàn)有三種應對方案： 方案一：防御35米的最高水位，每年需要工程費用3 800元； 方案二：防御31米的最高水位，每年需要工程

11、費用2 000元； 方案三：不采取措施． 試比較上述三種方案，哪種方案好，并請說明理由． [解]　(1)由題意得P(27≤X＜31)＝0.25＝. 設在未來3年里，河流最高水位x∈[27,31)發(fā)生的年數(shù)為Y，則Y～N. 設事件“在未來三年里，至多有一年河流最高水位X∈[27,31)”為事件A， 則P(A)＝P(Y＝0)＋P(Y＝1)＝C3＋C2×＝. 所以在未來三年里，至多有一年河流最高水位X∈[27,31)的概率為. (2)方案二好，理由如下： 由題意得P(23≤X＜27)＝0.74， P(31≤X≤35)＝0.01， 用X1，X2，X3分別表示方案一、方案二、方案三

12、的損失， 由題意得X1＝3 800，X2的分布列為 X2 2 000 62 000 P 0.99 0.01 所以EX2＝62 000×0.01＋2 000×0.99＝2 600. X3的分布列為 X3 0 10 000 60 000 P 0.74 0.25 0.01 所以EX3＝0×0.74＋60 000×0.01＋10 000×0.25＝3 100. 因為三種方案中方案二的平均損失最小，所以采取方案二好． [規(guī)律方法]　利用均值、方差進行決策的兩個方略 (1)當均值不同時，兩個隨機變量取值的水平可見分歧，可對問題作出判斷． (2)若兩隨機變量均值相

13、同或相差不大，則可通過分析兩變量的方差來研究隨機變量的離散程度或者穩(wěn)定程度，進而進行決策． 某供貨商計劃將某種大型節(jié)日商品分別配送到甲、乙兩地銷售，據(jù)以往數(shù)據(jù)統(tǒng)計，甲、乙兩地該商品需求量(單位：件)的頻率分布表如下： 甲地需求量頻率分布表 需求量/件 4 5 6 頻率 0.5 0.3 0.2 乙地需求量頻率分布表 需求量/件 3 4 5 頻率 0.6 0.3 0.1 以兩地需求量的頻率估計需求量的概率． (1)若此供貨商計劃將10件該商品全部配送至甲、乙兩地，為保證兩地不缺貨(配送量≥需求量)的概率均大于0.7，問該商品的配送方案有哪幾種？ (2)

14、已知甲、乙兩地該商品的銷售相互獨立，該商品售出，供貨商獲利2萬元/件；未售出的，供貨商虧損1萬元/件．在(1)的前提下，若僅考慮此供貨商所獲凈利潤，試確定最佳配送方案． [解]　(1)由表格可知，甲地不缺貨的概率大于0.7時，至少需配貨5件；乙地不缺貨的概率大于0.7時，至少需配貨4件． 故共有兩種方案：方案一是甲地配5件，乙地配5件；方案二是甲地配6件，乙地配4件． (2)方案一：甲地配5件，乙地配5件時，記甲地的利潤為X1萬元，乙地的利潤為Y1萬元，則X1，Y1的分布列分別為 X1 7 10 P 0.5 0.5 Y1 4 7 10 P 0.6 0.3

15、0.1 所以選擇方案一時，此供貨商凈利潤的期望為E(X1)＋E(Y1)＝(7×0.5＋10×0.5)＋(4×0.6＋7×0.3＋10×0.1)＝8.5＋5.5＝14(萬元)． 方案二：甲地配6件，乙地配4件時，記甲地的利潤為X2萬元，乙地的利潤為Y2萬元，則X2，Y2的分布列分別為 X2 6 9 12 P 0.5 0.3 0.2 Y2 5 8 P 0.6 0.4 所以選擇方案二時，此供貨商凈利潤的期望為E(X2)＋E(Y2)＝(6×0.5＋9×0.3＋12×0.2)＋(5×0.6＋8×0.4)＝8.1＋6.2＝14.3(萬元)． 綜上，僅考慮此供貨商所獲

16、凈利潤，選擇方案二更佳． 正態(tài)分布 【例3】　(2017·全國卷Ⅰ)為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗員每天從該生產(chǎn)線上隨機抽取16個零件，并測量其尺寸(單位：cm)．根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗，可以認為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N(μ，σ2)． (1)假設生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件數(shù)，求P(X≥1)及X的數(shù)學期望； (2)一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就認為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查． ①試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方

17、法的合理性； ②下面是檢驗員在一天內(nèi)抽取的16個零件的尺寸： 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 經(jīng)計算得＝xi＝9.97，s＝＝)≈0.212，其中xi為抽取的第i個零件的尺寸，i＝1,2，…，16. 用樣本平均數(shù)作為μ的估計值μ，用樣本標準差s作為σ的估計值σ，利用估計值判斷是否需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查？剔除(μ－3σ，μ＋3σ)之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計μ和σ(精確到0.01)． 附：若隨機變量Z服從正態(tài)分

18、布N(μ，σ2)，則P(μ－3σ

19、的零件的概率只有0.040 8，發(fā)生的概率很小，因此一旦發(fā)生這種情況，就有理由認為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查，可見上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法是合理的． ②由＝9.97，s≈0.212，得μ的估計值為μ＝9.97，σ的估計值為σ＝0.212，由樣本數(shù)據(jù)可以看出有一個零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外，因此需對當天的生產(chǎn)過程進行檢查． 剔除(μ－3σ，μ＋3σ)之外的數(shù)據(jù)9.22，剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為×(16×9.97－9.22)＝10.02. 因此μ的估計值為10.02. x＝16×0.2122＋16×9.972≈1 591.134， 剔除

20、(μ－3σ，μ＋3σ)之外的數(shù)據(jù)9.22，剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為×(1 591.134－9.222－15×10.022)≈0.008， 因此σ的估計值為≈0.09. [規(guī)律方法]　正態(tài)分布下的概率計算常見的兩類問題 (1)利用正態(tài)分布密度曲線的對稱性研究相關概率問題，涉及的知識主要是正態(tài)曲線關于直線x＝μ對稱，及曲線與x軸之間的面積為1的性質(zhì)． (2)利用3σ原則求概率問題時，要注意把給出的區(qū)間或范圍與正態(tài)變量的μ，σ進行對比聯(lián)系，確定它們屬于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一個． (1)在如圖所示的正方形中隨機投擲10 000個點，則落入陰影

21、部分(曲線C為正態(tài)分布N(－1,1)的密度曲線)的點的個數(shù)的估計值為(　　) 附：若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝68.3%， P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝95.4%. A．1 193 　　　 B．1 355 C．2 718 　　　 D．3 413 (2)甲、乙兩廠生產(chǎn)的一批零件尺寸服從N(5,0.12)，如果零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)以外，我們就有理由認為生產(chǎn)中可能出現(xiàn)了異常情況．現(xiàn)從甲、乙兩廠各抽取10件零件檢測，尺寸如莖葉圖所示： 則以下判斷正確的是(　　) A．甲、乙兩廠生產(chǎn)都出現(xiàn)異常 B．甲、乙兩廠生產(chǎn)都正常 C．甲廠生產(chǎn)正常，乙廠

22、出現(xiàn)異常 D．甲廠生產(chǎn)出現(xiàn)異常，乙廠正常 (1)B　(2)D　[(1)對于正態(tài)分布N(－1,1)，μ＝－1，σ＝1，正態(tài)曲線關于x＝－1對稱，故題圖中陰影部分的面積為×[P(－3＜X＜1)－P(－2＜X＜0)]＝×[P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)－P(μ－σ＜X＜μ＋σ)]＝×(95.4%－68.3%)＝0.135 5，所以點落入題圖中陰影部分的概率P＝＝0.135 5，投入10 000個點，落入陰影部分的個數(shù)約為10 000×0.135 5＝1 355. (2)由甲、乙兩廠生產(chǎn)的一批零件尺寸服從N(5,0.12)，得μ＝5，σ＝0.1，區(qū)間(μ－3σ，μ＋3σ)，即區(qū)間(4.7,5.3)

23、，根據(jù)莖葉圖可知，甲廠生產(chǎn)的零件有1件尺寸超出上述區(qū)間，乙廠生產(chǎn)的零件尺寸均在上述區(qū)間，所以甲廠生產(chǎn)出現(xiàn)異常、乙廠生產(chǎn)正常．故選D．] 　(2018·全國卷Ⅰ)某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品．檢驗時，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗，再根據(jù)檢驗結果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗．設每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p(0＜p＜1)，且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨立． (1)記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p)，求f(p)的最大值點p0. (2)現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗了20件，結果恰有2件不合格品，以(1)中

24、確定的p0作為p的值．已知每件產(chǎn)品的檢驗費用為2元，若有不合格品進入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用． ①若不對該箱余下的產(chǎn)品作檢驗，這一箱產(chǎn)品的檢驗費用與賠償費用的和記為X，求EX； ②以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗？ [解]　(1)20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p)＝Cp2(1－p)18.因此 f′(p)＝C[2p(1－p)18－18p2(1－p)17]＝2Cp(1－p)17(1－10p)． 令f′(p)＝0，得p＝0.1.當p∈(0,0.1)時，f′(p)＞0；當p∈(0.1,1)時，f′(p)＜0.所以f(p)的最大值點為p0＝0.1. (2)由(1)知，p＝0.1. ①令Y表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù)，依題意知Y～B(180,0.1)，X＝20×2＋25Y，即X＝40＋25Y. 所以EX＝E(40＋25Y)＝40＋25EY＝490. ②如果對余下的產(chǎn)品作檢驗，則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗費為400元． 由于EX＞400，故應該對余下的產(chǎn)品作檢驗． - 10 -