《2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第2章 等式與不等式 2.2.4 均值不等式及其應(yīng)用（第1課時(shí)）均值不等式學(xué)案 新人教B版必修第一冊(cè)》由會(huì)員分享，可在線(xiàn)閱讀，更多相關(guān)《2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第2章 等式與不等式 2.2.4 均值不等式及其應(yīng)用（第1課時(shí)）均值不等式學(xué)案 新人教B版必修第一冊(cè)（7頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第1課時(shí)　均值不等式 學(xué) 習(xí) 目 標(biāo) 核 心 素 養(yǎng) 1.掌握均值不等式，明確均值不等式成立的條件．(難點(diǎn)) 2．會(huì)用均值不等式證明一些簡(jiǎn)單的不等式或比較代數(shù)式的大小．(重點(diǎn)) 1.通過(guò)不等式的證明，培養(yǎng)邏輯推理的素養(yǎng)． 2．通過(guò)均值不等式形式求簡(jiǎn)單的最值問(wèn)題，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng). 1．算術(shù)平均值與幾何平均值 對(duì)于正數(shù)a，b，常把叫做a，b的算術(shù)平均值，把叫做a，b的幾何平均值． 2．均值不等式 (1)當(dāng)a＞0，b＞0時(shí)，有≥，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立； (2)均值不等式的常見(jiàn)變形 ①當(dāng)a＞0，b＞0，則a＋b≥2； ②若a＞0，b＞0，則ab≤2.

2、1．不等式a2＋1≥2a中等號(hào)成立的條件是(　　) A．a(chǎn)＝±1　　　　 B．a(chǎn)＝1 C．a(chǎn)＝－1 D．a(chǎn)＝0 B　[當(dāng)a2＋1＝2a，即(a－1)2＝0，即a＝1時(shí)“＝”成立．] 2．已知a，b∈(0,1)，且a≠b，下列各式中最大的是(　　) A．a(chǎn)2＋b2　　　B．2　　　C．2ab　　　D．a(chǎn)＋b D　[∵a，b∈(0,1)，∴a2＜a，b2＜b， ∴a2＋b2＜a＋b，又a2＋b2＞2ab(a≠b)， ∴2ab＜a2＋b2＜a＋b. 又∵a＋b＞2(a≠b)，∴a＋b最大．] 3．已知ab＝1，a>0，b>0，則a＋b的最小值為(　　) A．1 B

3、．2 C．4 D．8 B　[∵a>0，b>0，∴a＋b≥2＝2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝1時(shí)取等號(hào)，故a＋b的最小值為2.] 4．當(dāng)a，b∈R時(shí)，下列不等關(guān)系成立的是________． ①≥；②a－b≥2；③a2＋b2≥2ab；④a2－b2≥2ab. ③　[根據(jù)≥ab，≥成立的條件判斷，知①②④錯(cuò)，只有③正確．] 對(duì)均值不等式的理解 【例1】　給出下面三個(gè)推導(dǎo)過(guò)程： ①∵a，b為正實(shí)數(shù)，∴＋≥2＝2； ②∵a∈R，a≠0，∴＋a≥2＝4； ③∵x，y∈R，xy＜0，∴＋＝－－＋－≤－2＝－2. 其中正確的推導(dǎo)為(　　) A．①②　　　　　　　　B．①③ C．②③

4、 D．①②③ B　[①∵a，b為正實(shí)數(shù)，∴，為正實(shí)數(shù)，符合均值不等式的條件，故①的推導(dǎo)正確． ②∵a∈R，a≠0，不符合均值不等式的條件， ∴＋a≥2＝4是錯(cuò)誤的． ③由xy＜0，得，均為負(fù)數(shù)，但在推導(dǎo)過(guò)程中將整體＋提出負(fù)號(hào)后，，均變?yōu)檎龜?shù)，符合均值不等式的條件，故③正確．] 1．均值不等式≤ (a＞0，b＞0)反映了兩個(gè)正數(shù)的和與積之間的關(guān)系． 2．對(duì)均值不等式的準(zhǔn)確掌握要抓住以下兩個(gè)方面： (1)定理成立的條件是a，b都是正數(shù)． (2)“當(dāng)且僅當(dāng)”的含義：當(dāng)a＝b時(shí)，≤的等號(hào)成立，即a＝b?＝；僅當(dāng)a＝b時(shí)，≥的等號(hào)成立，即＝?a＝b. 1．下列不等式的推導(dǎo)

5、過(guò)程正確的是________． ①若x＞1，則x＋≥2＝2； ②若x＜0，則x＋＝－≤－2＝－4； ③若a，b∈R，則＋≥2＝2. ②　[ ①中忽視了均值不等式等號(hào)成立的條件，當(dāng)x＝時(shí)，即x＝1時(shí)，x＋≥2等號(hào)成立，因?yàn)閤＞1，所以x＋＞2，③中忽視了利用均值不等式時(shí)每一項(xiàng)必須為正數(shù)這一條件．] 利用均值不等式比較大小 【例2】　(1)已知a，b∈(0，＋∞)，則下列各式中不一定成立的是(　　) A．a(chǎn)＋b≥2 B.＋≥2 C.≥2 D.≥ (2)已知a，b，c是兩兩不等的實(shí)數(shù)，則p＝a2＋b2＋c2與q＝ab＋bc＋ca的大小關(guān)系是________． (1

6、)D　(2)a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ac　[(1)由≥得a＋b＝2， ∴A成立； ∵＋≥2＝2，∴B成立； ∵≥＝2，∴C成立； ∵≤＝，∴D不一定成立． (2)∵a，b，c互不相等， ∴a2＋b2＞2ab，b2＋c2>2bc，a2＋c2>2ac. ∴2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac)． 即a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac.] 1．在理解均值不等式時(shí)，要從形式到內(nèi)含中理解，特別要關(guān)注條件． 2．運(yùn)用均值不等式比較大小時(shí)應(yīng)注意成立的條件，即a＋b≥2成立的條件是a>0，b>0，等號(hào)成立的條件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的條件是a，b∈R，等號(hào)成立的

7、條件是a＝b. 2．如果0＜a＜b＜1，P＝，Q＝，M＝，那么P，Q，M的大小順序是(　　) A．P＞Q＞M B．M＞P＞Q C．Q＞M＞P D．M＞Q＞P B　[顯然＞，又因?yàn)椋?，所以＞?故M＞P＞Q.] 利用均值不等式證明不等式 【例3】　已知a，b，c是互不相等的正數(shù)，且a＋b＋c＝1，求證：＋＋>9. [思路點(diǎn)撥]　看到＋＋>9，想到將“1”換成“a＋b＋c”，裂項(xiàng)構(gòu)造均值不等式的形式，用均值不等式證明． [證明]　∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1， ∴＋＋＝＋＋ ＝3＋＋＋＋＋＋ ＝3＋＋＋ ≥3＋2＋2＋2 ＝3＋2＋2＋2

8、 ＝9. 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)取等號(hào)， ∴＋＋>9. 本例條件不變，求證：>8. [證明]　∵a，b，c∈R＋， 且a＋b＋c＝1， ∴－1＝>0，－1＝>0，－1＝>0， ∴ ＝·· ≥＝8， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)取等號(hào)， ∴＞8. 1．條件不等式的證明，要將待證不等式與已知條件結(jié)合起來(lái)考慮，比如本題通過(guò)“1”的代換，將不等式的左邊化成齊次式，一方面為使用均值不等式創(chuàng)造條件，另一方面可實(shí)現(xiàn)約分與不等式的右邊建立聯(lián)系． 2．先局部運(yùn)用均值不等式，再利用不等式的性質(zhì)(注意限制條件)，通過(guò)相加(乘)合成為待證的不等式，既是運(yùn)用均值不等式時(shí)的一種重要技能，也是證明不

9、等式時(shí)的一種常用方法． 3．已知a，b，c∈R，求證：a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2. [證明]　由均值不等式可得 a4＋b4＝(a2)2＋(b2)2≥2a2b2， 同理，b4＋c4≥2b2c2， c4＋a4≥2a2c2， ∴(a4＋b4)＋(b4＋c4)＋(c4＋a4)≥2a2b2＋2b2c2＋2a2c2， 從而a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2. 4．已知a＞1，b＞0，＋＝1，求證：a＋2b≥2＋7. [證明]　由＋＝1，得b＝(a＞1)， 則a＋2b＝a＋＝a＋ ＝a＋＋6＝(a－1)＋＋7 ≥2＋7， 當(dāng)且僅當(dāng)a－1＝時(shí)，

10、即a＝1＋時(shí)，取等號(hào)． 1．應(yīng)用均值不等式時(shí)要時(shí)刻注意其成立的條件，只有當(dāng)a>0，b>0時(shí)，才會(huì)有≤.對(duì)于“當(dāng)且僅當(dāng)……時(shí)，‘＝’成立…”這句話(huà)要從兩個(gè)方面理解：一方面，當(dāng)a＝b時(shí)，＝；另一方面：當(dāng)＝時(shí)，也有a＝b. 2．應(yīng)用均值不等式證明不等式的關(guān)鍵在于進(jìn)行“拼”“湊”“拆”“合”“放縮”等變形，構(gòu)造出符合均值不等式的條件結(jié)構(gòu). 1．思考辨析 (1)對(duì)任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2均成立．(　　) (2)若a≠0，則a＋≥2＝2.(　　) (3)若a>0，b>0，則ab≤.(　　) [提示]　(1)任意a，b∈R，有a2＋b2≥2ab成立，當(dāng)a，b都為正

11、數(shù)時(shí)，不等式a＋b≥2成立． (2)只有當(dāng)a>0時(shí)，根據(jù)均值不等式，才有不等式a＋≥2＝2成立． (3)因?yàn)椤?，所以ab≤. [答案]　(1)×　(2)×　(3)√ 2．設(shè)a>b>0，則下列不等式中一定成立的是(　　) A．a(chǎn)－b<0　　　　　　　B．0<<1 C.< D．a(chǎn)b>a＋b C　[∵a>b>0，由均值不等式知<一定成立．] 3．不等式＋(x－2)≥6(其中x＞2)中等號(hào)成立的條件是(　　) A．x＝3 B．x＝－3 C．x＝5 D．x＝－5 C　[由均值不等式知等號(hào)成立的條件為＝x－2，即x＝5(x＝－1舍去)．] 4．設(shè)a>0，b>0，證明：＋≥a＋b. [證明]　∵a>0，b>0， ∴＋a≥2b，＋b≥2a， ∴＋≥a＋b. - 7 -