《2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù) 3.1 函數(shù)的概念與性質(zhì) 3.1.2 函數(shù)的單調(diào)性 第1課時 單調(diào)性的定義與證明學(xué)案 新人教B版必修第一冊》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù) 3.1 函數(shù)的概念與性質(zhì) 3.1.2 函數(shù)的單調(diào)性 第1課時 單調(diào)性的定義與證明學(xué)案 新人教B版必修第一冊（11頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第1課時　單調(diào)性的定義與證明 (教師獨(dú)具內(nèi)容) 課程標(biāo)準(zhǔn)：借助函數(shù)圖像，會用符號語言表達(dá)函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值，理解它們的作用和實(shí)際意義． 教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的定義及其應(yīng)用，函數(shù)單調(diào)性的證明． 教學(xué)難點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的證明. 【情境導(dǎo)學(xué)】(教師獨(dú)具內(nèi)容) 下圖是某市一天24小時內(nèi)的氣溫變化圖，從圖中你能發(fā)現(xiàn)什么？ 提示：從圖像上可以看出0～4時氣溫下降，4～14時氣溫逐漸上升，14～24時氣溫又逐漸下降． 學(xué)習(xí)了本節(jié)內(nèi)容——函數(shù)的單調(diào)性，可以使我們更好地認(rèn)識圖形，并用圖形中所揭示的規(guī)律與趨勢來指導(dǎo)我們的生活與工作． 【知識導(dǎo)學(xué)】 知識點(diǎn)一　增函數(shù)與減函數(shù)的定義

2、 一般地，設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镈，且I?D： (1)如果對任意x1，x2∈I，當(dāng)x1>x2時，都有f(x1)>f(x2)，則稱y＝f(x)在I上是增函數(shù)(也稱在I上單調(diào)遞增)． (2)如果對任意x1，x2∈I，當(dāng)x1>x2時，都有f(x1)

3、對任意x∈D，都有f(x)≤f(x0)，則稱f(x)的最大值為f(x0)，而x0稱為f(x)的最大值點(diǎn)；如果對任意x∈D，都有f(x)≥f(x0)，則稱f(x)的最小值為f(x0)，而x0稱為f(x)的最小值點(diǎn)．最大值和最小值統(tǒng)稱為最值，最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)統(tǒng)稱為最值點(diǎn)． 【新知拓展】 1．當(dāng)函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)的兩個區(qū)間A，B上都是增(減)函數(shù)時，不能說f(x)在A∪B上是增(減)函數(shù)，如f(x)＝在(－∞，0)上是減函數(shù)，在(0，＋∞)上是減函數(shù)，不能說f(x)＝在定義域(－∞，0)∪(0，＋∞)上是減函數(shù)，事實(shí)上，取x1＝－1<1＝x2，有f(－1)＝－1<1＝f(1)，不符合減函

4、數(shù)的定義． 2．函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在某個區(qū)間上的性質(zhì) (1)這個區(qū)間可以是整個定義域． 例如，y＝x在整個定義域(－∞，＋∞)上是增函數(shù)，y＝－x在整個定義域(－∞，＋∞)上是減函數(shù)． (2)這個區(qū)間也可以是定義域的真子集． 例如，y＝x2在定義域(－∞，＋∞)上不具有單調(diào)性，但在(－∞，0]上是減函數(shù)，在[0，＋∞)上是增函數(shù)． (3)有的函數(shù)不具有單調(diào)性． 例如，函數(shù)y＝它的定義域?yàn)镽，但不具有單調(diào)性；y＝x＋1，x∈Z，它的定義域不是區(qū)間，也不能說它在定義域上具有單調(diào)性． 3．區(qū)間端點(diǎn)的寫法 對于單獨(dú)的一點(diǎn)，因?yàn)樗暮瘮?shù)值是唯一確定的常數(shù)，沒有增減變化，所以不存在單調(diào)性

5、問題，因此在寫單調(diào)區(qū)間時，可以包括端點(diǎn)，也可以不包括端點(diǎn)，但對于某些無意義的點(diǎn)，單調(diào)區(qū)間就一定不包括這些點(diǎn)． 例如，y＝x2的單調(diào)遞增區(qū)間是[0，＋∞)，也可以記為(0，＋∞)，但函數(shù)y＝在(0，＋∞)上是減函數(shù)，就不能寫成y＝在[0，＋∞)上為減函數(shù)． 4．對最大(小)值定義的理解 (1)最值首先是一個函數(shù)值，即存在一個自變量x0，使f(x0)等于最值，如f(x)＝－x2(x∈R)的最大值為0，有f(0)＝0. (2)對于定義域內(nèi)的任意元素x，都有f(x)≤f(x0)(或f(x)≥f(x0))，“任意”兩字不可省． (3)使函數(shù)f(x)取得最大(小)值的自變量的值有時可能不止一個．

6、 (4)函數(shù)f(x)在其定義域(某個區(qū)間)內(nèi)的最大值的幾何意義是其圖像上最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)；最小值的幾何意義是其圖像上最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)． 1．判一判(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)所有函數(shù)在定義域上都具有單調(diào)性．(　　) (2)定義在(a，b)上的函數(shù)f(x)，若存在x1，x2∈(a，b)，使得x1

7、)任何函數(shù)都有最大值或最小值．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)× 2．做一做(請把正確的答案寫在橫線上) (1)已知函數(shù)f(x)＝x的圖像如圖1所示，①從左至右圖像是上升的還是下降的：________. ②在區(qū)間________上，隨著x的增大，f(x)的值________，在此區(qū)間上函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù)：________. (2)已知函數(shù)f(x)＝－2x＋1的圖像如圖2所示，①從左至右圖像是上升的還是下降的：________. ②在區(qū)間________上，隨著x的增大，f(x)的值________，在此區(qū)間上函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù)：________

8、. (3)函數(shù)y＝－x2的單調(diào)遞增區(qū)間為________，單調(diào)遞減區(qū)間為________． (4)函數(shù)f(x)＝x2在[0,1]上的最大值是________． 答案　(1)①上升的?、?－∞，＋∞)　增大　增函數(shù) (2)①下降的?、?－∞，＋∞)　減小　減函數(shù) (3)(－∞，0]　[0，＋∞)　(4)1 題型一 函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明 例1　用函數(shù)單調(diào)性的定義證明： (1)函數(shù)f(x)＝－2x2＋3x＋3在上是增函數(shù)； (2)函數(shù)f(x)＝在(－3，＋∞)上是減函數(shù)． [證明]　(1)設(shè)x1，x2是上的任意兩個實(shí)數(shù)，且x10，f(x2)－f(

9、x1)＝(－2x＋3x2＋3)－(－2x＋3x1＋3)＝2x－2x＋3x2－3x1＝2(x1＋x2)(x1－x2)－3(x1－x2)＝[2(x1＋x2)－3]·(x1－x2)．因?yàn)閤1f(x1)， 所以函數(shù)f(x)＝－2x2＋3x＋3在上是增函數(shù)． (2)設(shè)x1，x2是(－3，＋∞)上的任意兩個實(shí)數(shù)，且x10， f(x2)－f(x1)＝－＝. 因?yàn)閤2－x1>0，所以－(x2－x1)<0， 由x1，x2∈

10、(－3，＋∞)，得x1>－3，x2>－3， 即x1＋3>0，x2＋3>0，所以f(x2)0， f(x2)－f(x1)＝－＝. 因?yàn)閤2－x1>0，所以－(x2－x1)<0， 由x1，x2∈(－∞，－3)，得x1<－3，x2<－3， 即x1＋3<0，x2＋3<0，所以f(x2)

11、睛 函數(shù)單調(diào)性的判斷 判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性通常有定義法和圖像法兩種．而證明單調(diào)性一般要用定義法，其一般步驟為： (1)設(shè)元：設(shè)x1，x2為區(qū)間上的任意兩個變量，且x10， f(x2)－f(x1)＝－ ＝＝. ∵x1

12、>0，x1＋2>0，x2＋2>0，∴f(x2)>f(x1)， ∴函數(shù)f(x)＝在區(qū)間(0，＋∞)上是增函數(shù). 題型二 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 例2　畫出函數(shù)y＝－x2＋2|x|＋3的圖像，并指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間． [解]　當(dāng)x≥0時， y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4， 當(dāng)x<0時， y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4， 即y＝ 作出函數(shù)的圖像如下圖所示： 所以函數(shù)在(－∞，－1)和[0,1)上是增函數(shù)， 在[－1,0)和[1，＋∞)上是減函數(shù)． 金版點(diǎn)睛 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 (1)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的常用方法有： ①轉(zhuǎn)化為已學(xué)的函數(shù)(如一次函數(shù)，二次函數(shù)等

13、)利用其單調(diào)性來判斷；②圖像法；③定義法． (2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時應(yīng)首先明確函數(shù)的定義域，必須在函數(shù)的定義域內(nèi)進(jìn)行． 　作出函數(shù)f(x)＝的圖像，并指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間． 解　函數(shù)f(x)＝的圖像如圖所示． 由圖像可知，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，1]和(1,2]；單調(diào)遞增區(qū)間為(2，＋∞). 題型三 利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小 例3　已知函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù)，試比較f(a2－a＋1)與f的大?。? [解]　∵a2－a＋1＝2＋≥， ∴與a2－a＋1都是區(qū)間(0，＋∞)上的值． 又f(x)在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù)， ∴f≥f(a2－

14、a＋1)． 金版點(diǎn)睛 利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小 利用函數(shù)的單調(diào)性可以比較函數(shù)值或自變量的大小．在解決比較函數(shù)值的問題時，要注意將對應(yīng)的自變量轉(zhuǎn)化到同一個單調(diào)區(qū)間上． 　若函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，＋∞)上是減函數(shù)，則下列關(guān)系式一定成立的是(　　) A．f(a)>f(2a) B．f(a2)2a，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(－∞，＋∞)上為減函數(shù)，所以f(a)

15、)>f(a)，故B不正確．當(dāng)a＝0時，a2＋a＝a＝0，所以f(a2＋a)＝f(a)，故C不正確．因?yàn)閍2＋1>a2，函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)上為減函數(shù)，所以f(a2＋1)

16、 利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式的實(shí)質(zhì)是單調(diào)性的逆用，如果f(x1)g(1－2t)，求t的取值范圍． 解　∵函數(shù)g(x)在R上為增函數(shù)，且g(t)>g(1－2t)， ∴t>1－2t.∴t>，即t的取值范圍為. 題型五 利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍 例5　已知函數(shù)f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在區(qū)間(－∞，4]上是遞減的，

17、求實(shí)數(shù)a的取值范圍． [解]　f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2＝[x＋(a－1)]2－(a－1)2＋2， ∴此二次函數(shù)圖像的對稱軸為x＝1－a. ∴f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(－∞，1－a]． ∵f(x)在(－∞，4]上是減函數(shù)， ∴對稱軸x＝1－a必須在直線x＝4的右側(cè)或與其重合． ∴1－a≥4，解得a≤－3. 金版點(diǎn)睛 利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍 已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的方法是：視參數(shù)為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖像或單調(diào)性的定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較求參數(shù)． 　若函數(shù)f(x)＝4x2＋mx＋5－m在[－2，＋∞)上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取

18、值范圍為________． 答案　[16，＋∞) 解析　由題意可知，二次函數(shù)圖像的對稱軸是直線x＝－，若函數(shù)f(x)在[－2，＋∞)上是增函數(shù)，則需滿足－≤－2，即m≥16. 題型六 利用函數(shù)的單調(diào)性求最大(小)值 例6　求函數(shù)f(x)＝－在區(qū)間[2,6]上的最大值和最小值． [解]　任取x1，x2∈[2,6]，且x10. 于是<0，即f(x1)－f(x2)<0，所以f(x1)

19、[2,6]的左、右端點(diǎn)處分別取得最小值和最大值， 即f(x)max＝f(6)＝－，f(x)min＝f(2)＝－. 金版點(diǎn)睛 利用函數(shù)的單調(diào)性求最值 (1)利用函數(shù)的單調(diào)性求最值是求函數(shù)最值的常用方法，特別是當(dāng)函數(shù)的圖像不易作出時，單調(diào)性幾乎成為首選方法． (2)注意對問題中求最值的區(qū)間與函數(shù)的單調(diào)區(qū)間之間的關(guān)系進(jìn)行辨析；注意對問題中求最值的區(qū)間的端點(diǎn)值的取舍． 　求函數(shù)f(x)＝在區(qū)間[1,2]上的最大值和最小值． 解　任取x1，x2，使1≤x1

20、x1＋x2)＜12，又10， 故f(x1)－f(x2)>0. 所以函數(shù)f(x)＝在區(qū)間[1,2]上為減函數(shù)， 所以f(x)max＝f(1)＝－，f(x)min＝f(2)＝－4. 1．函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?a，b)，且對其內(nèi)任意實(shí)數(shù)x1，x2均有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0，則函數(shù)f(x)在(a，b)上是(　　) A．增函數(shù) B．減函數(shù) C．不增不減函數(shù) D．既增又減函數(shù) 答案　B 解析　∵(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0? 或 即當(dāng)x1f(x2)或當(dāng)x1>x2時， f(x1

21、)

22、,3]上為減函數(shù)，所以函數(shù)y＝在[2,3]上的最小值為ymin＝＝.故選B. 4．若二次函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋m在(－∞，2]上是減函數(shù)，則a的取值范圍是________． 答案　[2，＋∞) 解析　題中二次函數(shù)圖像的對稱軸為x＝a，由二次函數(shù)的圖像，知函數(shù)在(－∞，a]上單調(diào)遞減，∴a≥2. 5．用單調(diào)性的定義證明：函數(shù)f(x)＝x＋在[1，＋∞)上是增函數(shù)． 證明　設(shè)x1，x2∈[1，＋∞)，且x11,1－>0. ∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)