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2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第七章 不等式 第2節(jié) 基本不等式及其應(yīng)用學(xué)案 北師大版

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1、 第2節(jié) 基本不等式及其應(yīng)用 最新考綱 1.了解基本不等式的證明過程;2.會(huì)用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最大(小)值問題. 知 識(shí) 梳 理 1.基本不等式:≤ (1)基本不等式成立的條件:a≥0,b≥0. (2)等號(hào)成立的條件:當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào). (3)其中稱為正數(shù)a,b的算術(shù)平均數(shù),稱為正數(shù)a,b的幾何平均數(shù). 2.兩個(gè)重要的不等式 (1)a2+b2≥2ab(a,b∈R),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào). (2)ab≤(a,b∈R),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào). 3.利用基本不等式求最值 已知x≥0,y≥0,則 (1)如果積xy是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y(tǒng)時(shí),x+y有最小值

2、是2(簡(jiǎn)記:積定和最小). (2)如果和x+y是定值s,那么當(dāng)且僅當(dāng)x=y(tǒng)時(shí),xy有最大值是(簡(jiǎn)記:和定積最大). [常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒] 1.+≥2(a,b同號(hào)),當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào). 2.ab≤≤. 3.≤≤≤(a>0,b>0). 4.連續(xù)使用基本不等式求最值要求每次等號(hào)成立的條件一致. 診 斷 自 測(cè) 1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”) (1)兩個(gè)不等式a2+b2≥2ab與≥成立的條件是相同的.(  ) (2)函數(shù)y=x+的最小值是2.(  ) (3)函數(shù)f(x)=sin x+的最小值為4.(  ) (4)x>0且y>0是+≥2的充要條件.(  ) 解

3、析 (1)不等式a2+b2≥2ab成立的條件是a,b∈R; 不等式≥成立的條件是a≥0,b≥0. (2)函數(shù)y=x+值域是(-∞,-2]∪[2,+∞),沒有最小值. (3)函數(shù)f(x)=sin x+的最小值為-5. (4)x>0且y>0是+≥2的充分不必要條件. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)× 2.設(shè)x>0,y>0,且x+y=18,則xy的最大值為(  ) A.80 B.77 C.81 D.82 解析 xy≤=81,當(dāng)且僅當(dāng)x=y(tǒng)=9時(shí)取等號(hào). 答案 C 3.若函數(shù)f(x)=x+(x>2)在x=a處取最小值,則a等于(  ) A.1+ B.1

4、+ C.3 D.4 解析 當(dāng)x>2時(shí),x-2>0,f(x)=(x-2)++2≥2+2=4,當(dāng)且僅當(dāng)x-2=(x>2),即x=3時(shí)取等號(hào),即當(dāng)f(x)取得最小值時(shí),即a=3. 答案 C 4.(2017·山東卷)若直線+=1(a>0,b>0)過點(diǎn)(1,2),則2a+b的最小值為________. 解析 由題設(shè)可得+=1,∵a>0,b>0, ∴2a+b=(2a+b)=2+++2≥4+2=8. 故2a+b的最小值為8. 答案 8 5.(教材習(xí)題改編)一段長(zhǎng)為30 m的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形菜園,墻長(zhǎng)18 m,則這個(gè)矩形的長(zhǎng)為______m,寬為________m時(shí)菜園面積最

5、大. 解析 設(shè)矩形的長(zhǎng)為x m,寬為y m.則x+2y=30,所以S=xy=x·(2y)≤=,當(dāng)且僅當(dāng)x=2y,即x=15,y=時(shí)取等號(hào). 答案 15  考點(diǎn)一 配湊法求最值 【例1】 (1)若x<,則f(x)=4x-2+的最大值為________; (2)函數(shù)y=的最大值為________. 解析 (1)因?yàn)閤<,所以5-4x>0, 則f(x)=4x-2+=-+3≤ -2+3=-2+3=1. 當(dāng)且僅當(dāng)5-4x=,即x=1時(shí),等號(hào)成立. 故f(x)=4x-2+的最大值為1. (2)令t=≥0,則x=t2+1, 所以y==. 當(dāng)t=0,即x=1時(shí),y=0; 當(dāng)t>

6、0,即x>1時(shí),y=, 因?yàn)閠+≥2=4(當(dāng)且僅當(dāng)t=2時(shí)取等號(hào)), 所以y=≤, 即y的最大值為(當(dāng)t=2,即x=5時(shí)y取得最大值). 答案 (1)1 (2) 規(guī)律方法 1.應(yīng)用基本不等式解題一定要注意應(yīng)用的前提:“一正”“二定”“三相等”.所謂“一正”是指正數(shù),“二定”是指應(yīng)用基本不等式求最值時(shí),和或積為定值,“三相等”是指滿足等號(hào)成立的條件. 2.在利用基本不等式求最值時(shí),要根據(jù)式子的特征靈活變形,配湊出積、和為常數(shù)的形式,然后再利用基本不等式. 【訓(xùn)練1】 (1)(2018·西安月考)若對(duì)任意x≥1,不等式x+-1≥a恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________. (2

7、)函數(shù)y=(x>1)的最小值為________. 解析 (1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x+-1在[1,+∞)上單調(diào)遞增,所以函數(shù)g(x)=x+1+-2在[0,+∞)上單調(diào)遞增,所以函數(shù)g(x)在[1,+∞)的最小值為g(1)=,因此對(duì)任意x≥1不等式x+-1≥a恒成立,所以a≤g(x)最小值=,故實(shí)數(shù)a的取值范圍是. (2)y== = =(x-1)++2≥2+2. 當(dāng)且僅當(dāng)x-1=,即x=+1時(shí),等號(hào)成立. 答案 (1) (2)2+2 考點(diǎn)二 常數(shù)代換或消元法求最值(易錯(cuò)警示) 【例2】 (1)(一題多解)若正數(shù)x,y滿足x+3y=5xy,則3x+4y的最小值為________;

8、(2)(一題多解)已知x>0,y>0,x+3y+xy=9,則x+3y的最小值為________. 解析 (1)法一 由x+3y=5xy可得+=1, ∴3x+4y=(3x+4y) =+++≥+=5(當(dāng)且僅當(dāng)=,即x=1,y=時(shí),等號(hào)成立), ∴3x+4y的最小值是5. 法二 由x+3y=5xy,得x=, ∵x>0,y>0,∴y>, ∴3x+4y=+4y=+4y=+·+4 ≥+2=5, 當(dāng)且僅當(dāng)y=時(shí)等號(hào)成立,∴(3x+4y)min=5. (2)由已知得x=. 法一 (消元法) 因?yàn)閤>0,y>0,所以0<y<3, 所以x+3y=+3y =+3(y+1)-6≥2-6=6

9、, 當(dāng)且僅當(dāng)=3(y+1), 即y=1,x=3時(shí),(x+3y)min=6. 法二 ∵x>0,y>0, 9-(x+3y)=xy=x·(3y)≤·, 當(dāng)且僅當(dāng)x=3y時(shí)等號(hào)成立. 設(shè)x+3y=t>0,則t2+12t-108≥0, ∴(t-6)(t+18)≥0,又∵t>0,∴t≥6. 故當(dāng)x=3,y=1時(shí),(x+3y)min=6. 答案 (1)5 (2)6 規(guī)律方法 條件最值的求解通常有三種方法:一是消元法,即根據(jù)條件建立兩個(gè)量之間的函數(shù)關(guān)系,然后代入代數(shù)式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解;二是將條件靈活變形,利用常數(shù)代換的方法構(gòu)造和或積為常數(shù)的式子,然后利用基本不等式求解最值;三是對(duì)條件使

10、用基本不等式,建立所求目標(biāo)函數(shù)的不等式求解. 易錯(cuò)警示 (1)利用基本不等式求最值,一定要注意應(yīng)用條件;(2)盡量避免多次使用基本不等式,若必須多次使用,一定要保證等號(hào)成立的條件一致. 【訓(xùn)練2】 (1)已知x,y均為正實(shí)數(shù),且+=,則x+y的最小值為(  ) A.24 B.32 C.20 D.28 (2)(2018·石家莊質(zhì)檢)已知直線l:ax+by-ab=0(a>0,b>0)經(jīng)過點(diǎn)(2,3),則a+b的最小值為________. 解析 (1)∵x,y均為正實(shí)數(shù),且+=, 則x+y=(x+2+y+2)-4 =6(x+2+y+2)-4 =6-4 ≥6×-4=20,

11、 當(dāng)且僅當(dāng)x=y(tǒng)=10時(shí)取等號(hào). ∴x+y的最小值為20. 故選C. (2)因?yàn)橹本€l經(jīng)過點(diǎn)(2,3),所以2a+3b-ab=0,所以b=>0,所以a-3>0,所以a+b=a+=a-3++5≥5+2=5+2,當(dāng)且僅當(dāng)a-3=,即a=3+,b=2+時(shí)等號(hào)成立. 答案 (1)C (2)5+2 考點(diǎn)三 基本不等式在實(shí)際問題中的應(yīng)用 【例3】 運(yùn)貨卡車以每小時(shí)x千米的速度勻速行駛130千米,按交通法規(guī)限制50≤x≤100(單位:千米/時(shí)).假設(shè)汽油的價(jià)格是每升2元,而汽車每小時(shí)耗油升,司機(jī)的工資是每小時(shí)14元. (1)求這次行車總費(fèi)用y關(guān)于x的表達(dá)式; (2)當(dāng)x為何值時(shí),這次行車的

12、總費(fèi)用最低,并求出最低費(fèi)用的值. 解 (1)設(shè)所用時(shí)間為t=(h), y=×2×+14×,x∈[50,100]. 所以,這次行車總費(fèi)用y關(guān)于x的表達(dá)式是y=+x,x∈[50,100] (或y=+x,x∈[50,100]). (2)y=+x≥26, 當(dāng)且僅當(dāng)=x, 即x=18時(shí)等號(hào)成立. 故當(dāng)x=18千米/時(shí),這次行車的總費(fèi)用最低,最低費(fèi)用的值為26元. 規(guī)律方法 1.設(shè)變量時(shí)一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù). 2.根據(jù)實(shí)際問題抽象出函數(shù)的解析式后,只需利用基本不等式求得函數(shù)的最值. 3.在求函數(shù)的最值時(shí),一定要在定義域(使實(shí)際問題有意義的自變量的取值范圍)求解.

13、 【訓(xùn)練3】 2016年11月3日20點(diǎn)43分我國(guó)長(zhǎng)征五號(hào)運(yùn)載火箭在海南文昌發(fā)射中心成功發(fā)射,它被公認(rèn)為我國(guó)已從航天大國(guó)向航天強(qiáng)國(guó)邁進(jìn)的重要標(biāo)志.長(zhǎng)征五號(hào)運(yùn)載火箭的設(shè)計(jì)生產(chǎn)采用了很多新技術(shù)新材料,甲工廠承擔(dān)了某種材料的生產(chǎn),并以x千克/時(shí)的速度勻速生產(chǎn)(為保證質(zhì)量要求1≤x≤10),每小時(shí)可消耗A材料kx2+9千克,已知每小時(shí)生產(chǎn)1千克該產(chǎn)品時(shí),消耗A材料10千克. (1)設(shè)生產(chǎn)m千克該產(chǎn)品,消耗A材料y千克,試把y表示為x的函數(shù). (2)要使生產(chǎn)1 000千克該產(chǎn)品消耗的A材料最少,工廠應(yīng)選取何種生產(chǎn)速度?并求消耗的A材料最少為多少? 解 (1)由題意,得k+9=10,即k=1,生產(chǎn)m

14、千克該產(chǎn)品需要的時(shí)間是, 所以y=(kx2+9)=m,x∈[1,10]. (2)由(1)知,生產(chǎn)1 000千克該產(chǎn)品消耗的A材料為y=1 000≥1 000×2=6 000, 當(dāng)且僅當(dāng)x=,即x=3時(shí),等號(hào)成立,且3∈[1,10]. 故工廠應(yīng)選取3千克/時(shí)的生產(chǎn)速度,消耗的A材料最少,最少為6 000千克. 基礎(chǔ)鞏固題組 (建議用時(shí):30分鐘) 一、選擇題 1.下列不等式一定成立的是(  ) A.lg>lg x(x>0) B.sin x+≥2(x≠kπ,k∈Z) C.x2+1≥2|x|(x∈R) D.<1(x∈R) 解析 當(dāng)x>0時(shí),x2+≥2·x·=x,所以lg

15、≥lg x(x>0),故選項(xiàng)A不正確;運(yùn)用基本不等式時(shí)需保證“一正”“二定”“三相等”,當(dāng)x≠kπ,k∈Z時(shí),sin x的正負(fù)不定,故選項(xiàng)B不正確;顯然選項(xiàng)C正確;當(dāng)x=0時(shí),有=1,選項(xiàng)D不正確. 答案 C 2.若2x+2y=1,則x+y的取值范圍是(  ) A.[0,2] B.[-2,0] C.[-2,+∞) D.(-∞,-2] 解析 2≤2x+2y=1,所以2x+y≤,所以x+y≤-2. 答案 D 3.(2018·平頂山一模)若對(duì)于任意的x>0,不等式≤a恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(  ) A. B. C. D. 解析 由x>0,得=≤=,當(dāng)

16、且僅當(dāng)x=1時(shí),等號(hào)成立,則a≥. 答案 A 4.若a>0,b>0,且a+b=4,則下列不等式恒成立的是(  ) A.≤ B.+≤1 C.≥2 D.a2+b2≥8 解析 4=a+b≥2(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立),即≤2,ab≤4,≥,選項(xiàng)A,C不成立;+==≥1,選項(xiàng)B不成立;a2+b2=(a+b)2-2ab=16-2ab≥8,選項(xiàng)D成立. 答案 D 5.若a,b都是正數(shù),則·的最小值為(  ) A.7 B.8 C.9 D.10 解析 ∵a,b都是正數(shù),∴=5++≥5+2=9,當(dāng)且僅當(dāng)b=2a>0時(shí)取等號(hào). 答案 C 6.若正數(shù)x,y滿足4x2

17、+9y2+3xy=30,則xy的最大值是(  ) A. B. C.2 D. 解析 由x>0,y>0,得4x2+9y2+3xy≥2·(2x)·(3y)+3xy(當(dāng)且僅當(dāng)2x=3y時(shí)等號(hào)成立),∴12xy+3xy≤30,即xy≤2,∴xy的最大值為2. 答案 C 7.已知x>0,y>0且4xy-x-2y=4,則xy的最小值為(  ) A. B.2 C. D.2 解析 ∵x>0,y>0,x+2y≥2, ∴4xy-(x+2y)≤4xy-2, ∴4≤4xy-2, 則(-2)(+1)≥0, ∴≥2,∴xy≥2. 答案 D 8.(2018·鄭州質(zhì)檢)已知a,b

18、∈(0,+∞),且a+b++=5,則a+b的取值范圍是(  ) A.[1,4] B.[2,+∞) C.(2,4) D.(4,+∞) 解析 因?yàn)閍+b++=(a+b)=5,又a,b∈(0,+∞),所以a+b=≤,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立,即(a+b)2-5(a+b)+4≤0,解得1≤a+b≤4. 答案 A 二、填空題 9.正數(shù)a,b滿足ab=a+b+3,則ab的取值范圍是________. 解析 ∵a,b是正數(shù),∴ab=a+b+3≥2+3, 解得≥3,即ab≥9. 答案 [9,+∞) 10.(2017·天津卷)若a,b∈R,ab>0,則的最小值為________

19、. 解析 ∵a,b∈R,ab>0, ∴≥=4ab+≥2=4, 當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取得等號(hào). 答案 4 11.已知函數(shù)f(x)=(a∈R),若對(duì)于任意的x∈N+,f(x)≥3恒成立,則a的取值范圍是________. 解析 對(duì)任意x∈N+,f(x)≥3, 即 ≥3恒成立,即a≥-+3. 設(shè)g(x)=x+,x∈N+,則g(x)=x+≥4, 當(dāng)x=2時(shí)等號(hào)成立,又g(2)=6,g(3)=,g(4)=6. ∵g(2)>g(3),∴g(x)min=.∴-+3≤-, ∴a≥-,故a的取值范圍是. 答案  12.(2018·成都診斷)某工廠需要建造一個(gè)倉(cāng)庫(kù),根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研分析,運(yùn)費(fèi)與工廠和

20、倉(cāng)庫(kù)之間的距離成正比,倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)與工廠和倉(cāng)庫(kù)之間的距離成反比,當(dāng)工廠和倉(cāng)庫(kù)之間的距離為4千米時(shí),運(yùn)費(fèi)為20萬元,倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)為5萬元,當(dāng)工廠和倉(cāng)庫(kù)之間的距離為________千米時(shí),運(yùn)費(fèi)與倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)之和最小,最小為________萬元. 解析 設(shè)工廠和倉(cāng)庫(kù)之間的距離為x千米,運(yùn)費(fèi)為y1萬元,倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)為y2萬元,則y1=k1x(k1≠0),y2=(k2≠0), ∵工廠和倉(cāng)庫(kù)之間的距離為4千米時(shí),運(yùn)費(fèi)為20萬元,倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用為5萬元, ∴k1=5,k2=20,∴運(yùn)費(fèi)與倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)之和為萬元, ∵5x+≥2=20,當(dāng)且僅當(dāng)5x=,即x=2時(shí),運(yùn)費(fèi)與倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)之和最小,為20萬元. 答案 2 20 能力提升題組 (建

21、議用時(shí):15分鐘) 13.(2018·西安模擬)若△ABC的內(nèi)角滿足sin A+sin B=2sin C,則cos C的最小值是(  ) A. B. C. D. 解析 由正弦定理,得a+b=2c. 所以cos C===≥=. 當(dāng)且僅當(dāng)3a2=2b2,即a=b時(shí),等號(hào)成立. 所以cos C的最小值為. 答案 A 14.(2018·安徽江南十校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}滿足an+1+an=(n+1)·cos(n≥2,n∈N+),Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若S2 017+m=1 010,且a1·m>0,則+的最小值為(  ) A.2 B. C.2 D.2+

22、 解析 由an+1+an=(n+1)·cos(n≥2,n∈N+)得,a3+a2=-3,a4+a3=0,a5+a4=5,a6+a5=0,a7+a6=-7,a8+a7=0,a9+a8=9,a10+a9=0,…, ∴a2+a3+a4+a5=a6+a7+a8+a9=… =a2 014+a2 015+a2 016+a2 017=2, ∴S2 017=504(a2+a3+a4+a5)+a1=1 008+a1, 又S2 017+m=1 010, ∴a1+m=2,∴+=(a1+m)· =≥2,即+的最小值為2. 答案 A 15.(2018·南昌調(diào)研)設(shè)x,y滿足約束條件若目標(biāo)函數(shù)z=abx+y

23、(a>0,b>0)的最大值為35,則a+b的最小值為________. 解析 可行域如圖所示,當(dāng)直線abx+y=z(a>0,b>0)過點(diǎn)B(2,3)時(shí),z取最大值2ab+3. 于是有2ab+3=35,ab=16. 所以a+b≥2=8,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=4時(shí)等號(hào)成立, 所以(a+b)min=8. 答案 8 16.正數(shù)a,b滿足+=1,若不等式a+b≥-x2+4x+18-m對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________. 解析 因?yàn)閍>0,b>0,+=1,所以a+b=(a+b)·=10++≥10+2=16.由題意,得16≥-x2+4x+18-m,即x2-4x-2≥-m對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立,又x2-4x-2=(x-2)2-6的最小值為-6, 所以-6≥-m,即m≥6. 答案 [6,+∞) 12

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