《2020屆高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 層級(jí)二 專題一 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 第2講 基本初等函數(shù)、函數(shù)與方程教學(xué)案》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020屆高考數(shù)學(xué)大二輪復(fù)習(xí) 層級(jí)二 專題一 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 第2講 基本初等函數(shù)、函數(shù)與方程教學(xué)案（14頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第2講　基本初等函數(shù)、函數(shù)與方程 [考情考向·高考導(dǎo)航] 1．掌握二次函數(shù)、分段函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象性質(zhì)． 2．以基本初等函數(shù)為依托，考查函數(shù)與方程的關(guān)系、函數(shù)零點(diǎn)存在性定理． 3．能利用函數(shù)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題． [真題體驗(yàn)] 1．(2018·全國(guó)Ⅰ卷)已知函數(shù)f(x)＝log2(x2＋a)．若f(3)＝1，則a＝________. 解析：∵f(x)＝log2(x2＋a)．且f(3)＝1，∴f(3)＝log2(9＋a)＝1，∴9＋a＝2，∴a＝－7. 答案：－7 2．(全國(guó)Ⅲ卷)已知函數(shù)f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零點(diǎn)，則a

2、＝(　　) A．－　　　　　　　　 B. C. D．1 解析：C　[x2－2x＝－a(ex－1＋e－x＋1)，設(shè)g(x)＝ex－1＋e－x＋1，g′(x)＝ex－1－e－x＋1＝ex－1－＝，當(dāng)g′(x)＝0時(shí)，x＝1，當(dāng)x＜1時(shí)，g′(x)＜0函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)x＞1時(shí)，g′(x)＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)取得最小值g(1)＝2，設(shè)h(x)＝x2－2x，當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)取得最小值－1，若－a＞0，函數(shù)h(x)，和ag(x)沒(méi)有交點(diǎn)，當(dāng)－a＜0時(shí)，－ag(1)＝h(1)時(shí)，此時(shí)函數(shù)h(x)和ag(x)有一個(gè)交點(diǎn)，即－a×2＝－1?a＝，故選C.] 3．(2019·全國(guó)Ⅰ卷)已

3、知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，則(　　) A．a(chǎn)＜b＜c B．a(chǎn)＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a 解析：B　[∵a＝log20.2＜log21＝0，b＝20.2＞20＝1， 0＜c＝0.20.3＜0.20＝1，∴b＞c＞a.選B.] 4．(2018·全國(guó)Ⅰ卷)已知函數(shù)f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是(　　) A．[－1,0) B．[0，＋∞) C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞) 解析：C　[令g(x)＝f(x)＋x＋a＝0，則f(x)＝－x－a， 要使g(x)存在2個(gè)零點(diǎn)，則需y＝f(x)

4、與y＝－x－a有兩個(gè)交點(diǎn)，畫(huà)出函數(shù)f(x)和y＝－x－a的圖象如圖所示，則需－a≤1，∴a≥－1.] [主干整合] 1．指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的七個(gè)運(yùn)算公式 (1)am·an＝am＋n； (2)(am)n＝amn； (3)loga(MN)＝logaM＋logaN； (4)loga＝logaM－logaN； (5)logaMn＝nlogaM； (6)alogaN＝N； (7)logaN＝(注：a，b＞0且a，b≠1，M＞0，N＞0)． 2．指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì) 指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞0，a≠1)的圖象和性質(zhì)，分0＜a＜1，a＞

5、1兩種情況，當(dāng)a＞1時(shí)，兩函數(shù)在定義域內(nèi)都為增函數(shù)，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，兩函數(shù)在定義域內(nèi)都為減函數(shù)． 3．函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題 (1)函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)＝g(x)的根，即函數(shù)y＝f(x)的圖象與函數(shù)y＝g(x)的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)． (2)確定函數(shù)零點(diǎn)的常用方法：①直接解方程法；②利用零點(diǎn)存在性定理；③數(shù)形結(jié)合，利用兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)求解． 4．應(yīng)用函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的一般程序 ???. 熱點(diǎn)一　基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì) [例1]　(1)(2019·濟(jì)南三模)若函數(shù)y＝a|x|(a＞0，且a≠1)的值域?yàn)閧y|y≥1}，則函數(shù)y＝loga|x|的圖象

6、大致是(　　) [解析]　B　[由于y＝a|x|的值域?yàn)閧y|y≥1}， ∴a＞1，則y＝logax在(0，＋∞)上是增函數(shù)， 又函數(shù)y＝loga|x|的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱． 因此y＝loga|x|的圖象應(yīng)大致為選項(xiàng)B.] (2)(2019·鄭州三模)已知a(a＋1)≠0，若函數(shù)f(x)＝log2(ax－1)在(－3，－2)上為減函數(shù)，且函數(shù)g(x)＝在R上有最大值，則a的取值范圍為(　　) A.　　　　　 B. C. D.∪ [解析]　A　[∵f(x)＝log2(ax－1)在(－3，－2)上為減函數(shù)， ∴∴a≤－，∵a(a＋1)≠0， ∴|a|∈∪(1，＋∞)．當(dāng)x≤

7、時(shí)，g(x)＝4x∈(0,2]， 又g(x)＝在R上有最大值，則當(dāng)x＞時(shí)，log|a|x≤2，且|a|∈，∴l(xiāng)og|a|≤2，∴|a|2≤，則|a|≤，又a≤－，∴－≤a≤－.] (3)(2019·天津卷)已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，則a，b，c的大小關(guān)系為(　　) A．a(chǎn)＜c＜b B．a(chǎn)＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b [解析]　A　[利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性時(shí)要根據(jù)底數(shù)與1的大小區(qū)別對(duì)待． a＝log52＜log5＜， b＝log0.50.2＞log0.50.25＝2， 0．51＜0.50.2＜0.50，故＜c＜1， 所

8、以a＜c＜b.故選A.] 基本初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用技巧 (1)對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性都取決于其底數(shù)的取值，當(dāng)?shù)讛?shù)a的值不確定時(shí)，要注意分a＞1和0＜a＜1兩種情況討論：當(dāng)a＞1時(shí)，兩函數(shù)在定義域內(nèi)都為增函數(shù)；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，兩函數(shù)在定義域內(nèi)都為減函數(shù)． (2)由指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)與其他函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)，其性質(zhì)的研究往往通過(guò)換元法轉(zhuǎn)化為兩個(gè)基本初等函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，然后根據(jù)復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)與相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)之間的關(guān)系進(jìn)行判斷． (1) (2020·銀川模擬)若函數(shù)y＝logax(a＞0，且a≠1)的圖象如圖所示，則下列函數(shù)圖象正確的是(　　) 解析：B　[∵函數(shù)

9、y＝logax過(guò)點(diǎn)(3,1)， ∴1＝loga3，解得a＝3， 由于y＝3－x不可能過(guò)點(diǎn)(1,3)，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤； 由于y＝x3過(guò)定點(diǎn)(1,1)，故選項(xiàng)B正確； 由于y＝(－x)3＝－x3不可能過(guò)點(diǎn)(1,1)，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；由于y＝log3(－x)不可能過(guò)點(diǎn)(－3，－1)，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選B.] (2)(2019·全國(guó)Ⅲ卷)設(shè)f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且在(0，＋∞)單調(diào)遞減，則(　　) A．f＞f＞f B．f＞f＞f C．f＞f＞f D．f＞f＞f 解析：C　[本題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸及分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．∵f(x)是R的偶函數(shù)，∴f

10、＝f(log34)． ∴l(xiāng)og34＞1＝20＞2－＞2－，又f(x)在(0，＋∞)單調(diào)遞減，f(log34)＜f＜f， ∴f＞f＞f，故選C.] 熱點(diǎn)二　函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根 　　　確定函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)或其存在區(qū)間 [例2－1]　(1)(2019·南昌調(diào)研)函數(shù)f(x)＝2x|log0.5x|－1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為(　　) A．1　　　　　　　　　　　 B．2 C．3 D．4 [解析]　B　[(1)函數(shù)f(x)＝2x|log0.5x|－1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為函數(shù)y＝|log0.5x|與y＝圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)y＝|log0.5x|與y＝的圖象，易知有2個(gè)交點(diǎn)．] (

11、2)(2020·蘭州模擬)方程ln(x＋1)－＝0(x＞0)的根存在的大致區(qū)間是(　　) A．(0,1) B．(1,2) C．(2，e) D．(3,4) [解析]　B　[設(shè)f(x)＝ln(x＋1)－， 易f(1)＝ln(1＋1)－2＝ln 2－2＜0， 而f(2)＝ln 3－1＞0， 所以函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在區(qū)間為(1,2)． 所以B選項(xiàng)正確．] 判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法 (1)直接求零點(diǎn)：令f(x)＝0，則方程解的個(gè)數(shù)即為零點(diǎn)的個(gè)數(shù)． (2)利用零點(diǎn)存在性定理：利用該定理還必須結(jié)合函數(shù)的圖象和性質(zhì)(如單調(diào)性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn)． (3)數(shù)形結(jié)合法：對(duì)于給定

12、的函數(shù)不能直接求解或畫(huà)出圖形，常會(huì)通過(guò)分解轉(zhuǎn)化為兩個(gè)能畫(huà)出的函數(shù)圖象交點(diǎn)問(wèn)題． 根據(jù)零點(diǎn)情況求參數(shù)范圍 [例2－2]　(1)(2020·四川涼山診斷)已知函數(shù)f(x)＝(a∈R)，若函數(shù)f(x)在R上有兩個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是(　　) A．(0,1] B．[1，＋∞) C．(0,1)∪(1,2) D．(－∞，1) [解析]　A　[∵函數(shù)f(x)＝(a∈R)在R上有兩個(gè)零點(diǎn)，且x＝是函數(shù)f(x)的一個(gè)零點(diǎn)， ∴方程2x－a＝0在(－∞，0]上有一個(gè)解， 再根據(jù)當(dāng)x∈(－∞，0]時(shí)，0＜2x≤20＝1，可得0＜a≤1.故選A.] (2)(2019·山東濟(jì)南三模)已知偶函數(shù)f(

13、x)滿足f(x－1)＝，且當(dāng)x∈[－1,0]時(shí)，f(x)＝x2，若在區(qū)間[－1,3]內(nèi)，函數(shù)g(x)＝f(x)－loga(x＋2)有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． [解析]　 ∵偶函數(shù)f(x)滿足f(x－1)＝， 且當(dāng)x∈[－1,0]時(shí)，f(x)＝x2， ∴f(x－2)＝f(x－1－1)＝＝f(x)， ∴函數(shù)f(x)的周期為2，在區(qū)間[－1,3]內(nèi)函數(shù)g(x)＝f(x)－loga(x＋2)有3個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)f(x)的圖象與y＝loga(x＋2)的圖象在區(qū)間[－1,3]內(nèi)有3個(gè)交點(diǎn)． 當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)圖象無(wú)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可得a＞1且解得3＜a＜5. [答

14、案]　(3,5) 利用函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)值或取值范圍的方法 (1)利用零點(diǎn)存在的判定定理構(gòu)建不等式求解． (2)分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域(最值)問(wèn)題求解． (3)轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象的位置關(guān)系問(wèn)題，從而構(gòu)建不等式求解． (1)(2019·武昌二模)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，f(x)＝2 018x＋log2 018x，則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)_______． 解析： 在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y＝2 018x和y＝－log2 018x的圖象如圖所示，可知函數(shù)f(x)＝2 018x＋log2 018x在x∈(0，＋∞)上存在一個(gè)

15、零點(diǎn)，又f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，∴f(x)在x∈(－∞，0)上只有一個(gè)零點(diǎn)，又f(0)＝0， ∴函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是3. 答案：3 (2)(2020·張家界模擬)已知函數(shù)f(x)＝若關(guān)于x的方程f(x)－k＝0有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________________． 解析：畫(huà)出函數(shù)f(x)＝的圖象如圖所示，結(jié)合圖象可以看出當(dāng)0≤k＜1或k＞2時(shí)符合題設(shè)． 答案：[0,1)∪(2，＋∞) 熱點(diǎn)三　函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用 數(shù)學(xué) 建模 素養(yǎng) 數(shù)學(xué)建?！瘮?shù)建模在實(shí)際問(wèn)題中的妙用 解函數(shù)的模型的實(shí)際應(yīng)用題，首先應(yīng)考慮該題考查的是何種函數(shù)，然后根據(jù)題意列出函

16、數(shù)關(guān)系式(注意定義域)，并進(jìn)行相關(guān)求解，最后結(jié)合實(shí)際意義作答． ―→―→―→ [例3]　(1)(2020·涼山診斷)某電腦公司在甲、乙兩地各有一個(gè)分公司，甲分公司現(xiàn)有某型號(hào)電腦6臺(tái)，乙分公司現(xiàn)有同一型號(hào)的電腦12臺(tái)．現(xiàn)A地某單位向該公司購(gòu)買該型號(hào)的電腦10臺(tái)，B地某單位向該公司購(gòu)買該型號(hào)的電腦8臺(tái)．已知從甲地運(yùn)往A、B兩地每臺(tái)電腦的運(yùn)費(fèi)分別是40元和30元．從乙地運(yùn)往A、B兩地每臺(tái)電腦的運(yùn)費(fèi)分別是80元和50元．若總運(yùn)費(fèi)不超過(guò)1 000元，則調(diào)運(yùn)方案的種數(shù)為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 [解析]　C　[(1)設(shè)總運(yùn)費(fèi)為y元，甲地調(diào)運(yùn)x臺(tái)電腦至B地，則剩下(6－x)臺(tái)電

17、腦調(diào)運(yùn)至A地；乙地應(yīng)調(diào)運(yùn)(8－x)臺(tái)電腦至B地，調(diào)運(yùn)12－(8－x)＝(x＋4)臺(tái)電腦(0≤x≤6，x∈N)至A地．則總運(yùn)費(fèi)y＝30x＋40(6－x)＋50(8－x)＋80(x＋4)＝20x＋960，∴y＝20x＋960(0≤x≤6，x∈N)．若y≤1 000，則20x＋960≤1 000，得x≤2.又0≤x≤6，x∈N.∴0≤x≤2，x∈N.∴x＝0,1,2，即有3種調(diào)運(yùn)方案．] (2)(2020·湖南名校聯(lián)考)某工廠產(chǎn)生的廢氣經(jīng)過(guò)過(guò)濾后排放，過(guò)濾過(guò)程中廢氣的污染物數(shù)量P(毫克/升)與時(shí)間t(小時(shí))的關(guān)系為P＝P0e－kt.如果在前5小時(shí)消除了10%的污染物，那么污染物減少19%需要花費(fèi)的

18、時(shí)間為_(kāi)_______小時(shí)． [解析]　前5小時(shí)污染物消除了10%，此時(shí)污染物剩下90%，即t＝5時(shí)，P＝0.9P0，則(e－k)5＝0.9，∴e－k＝＝0.9，∴P＝P0e－kt＝P0t.當(dāng)污染物減少19%時(shí)，污染物剩下81%，此時(shí)P＝0.81P0，代入得0.81＝t，解得t＝10，即需要花費(fèi)10小時(shí)． [答案]　10 解決函數(shù)實(shí)際應(yīng)用題的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn) (1)認(rèn)真讀題，縝密審題，準(zhǔn)確理解題意，明確問(wèn)題的實(shí)際背景，然后進(jìn)行科學(xué)的抽象概括，將實(shí)際問(wèn)題歸納為相應(yīng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題． (2)要合理選取參數(shù)變量，設(shè)定變量之后，就要尋找它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，選用恰當(dāng)?shù)拇鷶?shù)式表示問(wèn)題中的關(guān)系，建立相應(yīng)的

19、函數(shù)模型，最終求解數(shù)學(xué)模型使實(shí)際問(wèn)題獲解． (2019·北京卷)在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來(lái)描述．兩顆星的星等與亮度滿足m2－m1＝lg，其中星等為mk的星的亮度為Ek(k＝1,2)．已知太陽(yáng)的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，則太陽(yáng)與天狼星的亮度的比值為(　　) A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．10－10.1 解析：A　[考查考生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)、信息處理能力、閱讀理解能力以及指數(shù)對(duì)數(shù)運(yùn)算． 兩顆星的星等與亮度滿足m2－m1＝lg， 令m2＝－1.45，m1＝－26.7， lg＝(m2－m1)＝(－1.45＋26.7)＝10

20、.1， ＝1010.1，故選A.] 限時(shí)40分鐘　滿分80分 一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分) 1．(2019·云南檢測(cè))設(shè)a＝60.7，b＝log70.6，c＝log0.60.7，則a，b，c的大小關(guān)系為(　　) A．c＞b＞a　　　　　　　　 B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．a(chǎn)＞c＞b 解析：D　[因?yàn)閍＝60.7＞1，b＝log70.6＜0,0＜c＝log0.60.7＜1，所以a＞c＞b.] 2．(北京卷)根據(jù)有關(guān)資料，圍棋狀態(tài)空間復(fù)雜度的上限M約為3361，而可觀測(cè)宇宙中普通物質(zhì)的原子總數(shù)N約為1080.則下列各數(shù)中與最接近的是(　　)

21、(參考數(shù)據(jù)：lg 3≈0.48) A．1033 B．1053 C．1073 D．1093 解析：D　[設(shè)＝x＝，兩邊取對(duì)數(shù)，lg x＝lg＝lg3361－lg1080＝361×lg 3－80＝93.28，所以x＝1093.28，即最接近1093，故選D.] 3．(2020·安徽皖中名校聯(lián)考)若a＜b＜c，則函數(shù)f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的兩個(gè)零點(diǎn)分別位于區(qū)間(　　) A．(a，b)和(b，c) B．(－∞，a)和(a，b) C．(b，c)和(c，＋∞) D．(－∞，a)和(c，＋∞) 解析：A　[由題意可得f(a)＞0，f(

22、b)＜0，f(c)＞0，則由零點(diǎn)存在性定理可知，選A.] 4．(2019·鐵人中學(xué)期中)函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝f(x)，且當(dāng)－1≤x≤1時(shí)，f(x)＝|x|.若y＝f(x)的圖象與g(x)＝logax(a＞0且a≠1)的圖象有且僅有四個(gè)交點(diǎn)，則a的取值集合為(　　) A．{4,5} B．{4,6} C．{5} D．{6} 解析：C　[函數(shù)f(x＋2)＝f(x)，則函數(shù)f(x)是周期為2的周期函數(shù)，畫(huà)出函數(shù)f(x)的圖象(圖略)，數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)g(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(5,1)時(shí)，f(x)的圖象與g(x)＝logax的圖象僅有四個(gè)交點(diǎn)，則g(5)＝loga5＝1，得a＝5.故選C

23、.] 5．(2020·廣西三校)函數(shù)f(x)＝x2lg的圖象(　　) A．關(guān)于x軸對(duì)稱 B．關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 C．關(guān)于直線y＝x對(duì)稱 D．關(guān)于y軸對(duì)稱 解析：B　[因?yàn)閒(x)＝x2lg，所以其定義域?yàn)?－∞，－2)∪(2，＋∞)，所以f(－x)＝x2lg＝－x2lg＝－f(x)，所以函數(shù)為奇函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．] 6．某商店已按每件80元的成本購(gòu)進(jìn)某商品1 000件，根據(jù)市場(chǎng)預(yù)測(cè)，銷售價(jià)為每件100元時(shí)可全部售完，定價(jià)每次提高1元時(shí)銷售量就減少5件，若要獲得最大利潤(rùn)，銷售價(jià)應(yīng)定為每件(　　) A．100元 B．110元 C．150元 D．190元 解析：D　

24、[設(shè)售價(jià)提高x元，利潤(rùn)為y元，則依題意得y＝(1 000－5x)×(20＋x)＝－5x2＋900x＋20 000＝－5(x－90)2＋60 500.故當(dāng)x＝90時(shí)，ymax＝60 500，此時(shí)售價(jià)為每件190元．] 7．(2020·深圳模擬)已知函數(shù)f(x)＝ln x－2[x]＋3，其中[x]表示不大于x的最大整數(shù)(如[1.6]＝1，[－2.1]＝－3)，則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：B　[設(shè)g(x)＝ln x，h(x)＝2[x]－3，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h(x)＝－3，作出圖象， 兩個(gè)函數(shù)圖象有一個(gè)交點(diǎn)，即f(x)有一個(gè)零點(diǎn)； 當(dāng)2

25、≤x＜3時(shí)，h(x)＝1，ln 2≤g(x)＜ln 3. 此時(shí)兩函數(shù)圖象有一個(gè)交點(diǎn)，即f(x)有一個(gè)零點(diǎn)， 當(dāng)x≥3以后，兩函數(shù)圖象無(wú)交點(diǎn)， 綜上，共有兩個(gè)零點(diǎn)．] 8．(2020·貴陽(yáng)模擬)某地方政府為鼓勵(lì)全民創(chuàng)業(yè)，擬對(duì)本地產(chǎn)值在50萬(wàn)元到500萬(wàn)元的新增小微企業(yè)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，獎(jiǎng)勵(lì)方案遵循以下原則：獎(jiǎng)金y(單位：萬(wàn)元)隨年產(chǎn)值x(單位：萬(wàn)元)的增加而增加，且獎(jiǎng)金不低于7萬(wàn)元，同時(shí)獎(jiǎng)金不超過(guò)年產(chǎn)值的15%.若采用函數(shù)f(x)＝作為獎(jiǎng)勵(lì)函數(shù)模型，則最小的正整數(shù)a的值為(　　) A．310 B．315 C．320 D．325 解析：B　[對(duì)于函數(shù)模型f(x)＝＝15－，a為正整數(shù)，函

26、數(shù)在[50,500]上單調(diào)遞增，f(x)min＝f(50)≥7，得a≤344，要使f(x)≤0.15x對(duì)x∈[50,500]恒成立，即a≥－0.15x2＋13.8x對(duì)x∈[50,500]恒成立，所以a≥315.綜上，最小的正整數(shù)a的值為315.] 9．(山東卷)已知當(dāng)x∈[0,1]時(shí)，函數(shù)y＝(mx－1)2 的圖象與y＝＋m的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)m的取值范圍是(　　) A．(0,1]∪[2，＋∞) B．(0,1]∪[3，＋∞) C．(0，]∪[2，＋∞) D．(0，]∪[3，＋∞) 解析：B　[當(dāng)0＜m≤1時(shí)，≥1，y＝(mx－1)2單調(diào)遞減，且y＝(mx－1)2∈[(m

27、－1)2,1]，y＝＋m單調(diào)遞增，且y＝＋m∈[m,1＋m]，此時(shí)有且僅有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)m＞1時(shí)，0＜＜1，y＝(mx－1)2在上單調(diào)遞增，所以要有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，需(m－1)2≥1＋m?m≥3，選B.] 10．(2020·長(zhǎng)春模擬)已知函數(shù)f(x)＝函數(shù)g(x)＝f(x)－2x恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．[－1,1) B．[0,2] C．[－2,2) D．[－1,2) 解析：D　[∵f(x)＝ ∴g(x)＝f(x)－2x＝ 而方程－x＋2＝0的解為2，方程x2＋3x＋2＝0的解為－1，－2；若函數(shù)g(x)＝f(x)－2x恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則解得－1≤

28、a＜2，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[－1,2)．故選D.] 11．(2019·長(zhǎng)春質(zhì)量監(jiān)測(cè))已知函數(shù)f(x)＝與g(x)＝1－sin πx，則函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)在區(qū)間[－2,6]上的所有零點(diǎn)的和為(　　) A．4 B．8 C．12 D．16 解析：D　[令F(x)＝f(x)－g(x)＝0，得f(x)＝g(x)，在同一平面直角坐標(biāo)系中分別畫(huà)出函數(shù)f(x)＝1＋與g(x)＝1－sin πx的圖象，如圖所示．f(x)，g(x)的圖象都關(guān)于點(diǎn)(2,1)對(duì)稱，結(jié)合圖象可知f(x)與g(x)的圖象在[－2,6]上共有8個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即F(x)＝f(x)－g(x)的零點(diǎn)，且這些交點(diǎn)關(guān)

29、于直線x＝2成對(duì)出現(xiàn)，由對(duì)稱性可得所有零點(diǎn)之和為4×2×2＝16，故選D.] 12．(2020·煙臺(tái)模擬)已知函數(shù)y＝f(x－1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱，且當(dāng)x∈(－∞，0)時(shí)，f(x)＋xf′(x)＜0成立(其中f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù))，若a＝30.3·f(30.3)，b＝(logπ3)·f(logπ3)，c＝·f，則a，b，c的大小關(guān)系是(　　) A．a(chǎn)＞b＞c B．c＞a＞b C．c＞b＞a D．a(chǎn)＞c＞b 解析：B　[因?yàn)楫?dāng)x∈(－∞，0)時(shí)不等式f(x)＋xf′(x)＜0成立，即[xf(x)]′＜0， 所以g(x)＝xf(x)在(－∞，0)上是減函數(shù)．

30、又因?yàn)楹瘮?shù)y＝f(x－1)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱， 所以函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,0)對(duì)稱， 所以函數(shù)y＝f(x)是定義在R上的奇函數(shù)， 所以g(x)＝xf(x)是定義在R上的偶函數(shù)， 所以g(x)＝xf(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)． 又因?yàn)?0.3＞1＞logπ3＞0＞log3＝－2， 2＝－log3＞30.3＞1＞logπ3＞0， 所以f＞30.3·f(30.3)＞(logπ3)·f(logπ3)，即f＞30.3·f(30.3)＞(logπ3)·f(logπ3)，即c＞a＞b，故選B.] 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分) 13．(2020·

31、福建三明模擬)物體在常溫下的溫度變化可以用牛頓冷卻定律來(lái)描述：設(shè)物體的初始溫度是T0，經(jīng)過(guò)一定時(shí)間t(單位：分)后的溫度是T，則T－Ta＝(T0－Ta)·，其中Ta稱為環(huán)境溫度，h稱為半衰期．現(xiàn)有一杯用88 ℃熱水沖的速溶咖啡，放在24 ℃的房間中，如果咖啡降到40 ℃需要20分鐘，那么此杯咖啡從40 ℃降溫到32 ℃時(shí)，還需要________分鐘． 解析：由已知可得Ta＝24，T0＝88，T＝40，則40－24＝(88－24)×，解得h＝10.當(dāng)咖啡從40 ℃降溫到32 ℃時(shí)，可得32－24＝(40－24)×，解得t＝10.故還需要10分鐘． 答案：10 14．(2020·湖南省四校聯(lián)

32、考)已知函數(shù)f(x)＝lg x＋x－9在區(qū)間(n，n＋1)(n∈Z)上存在零點(diǎn)，則n＝________. 解析：易知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，且f(x)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，由零點(diǎn)存在性定理知，若函數(shù)f(x)在區(qū)間(n，n＋1)(n∈Z)上存在零點(diǎn)，則有又f(4)＝lg 4＋6－9＝lg 4－3＜0，f(5)＝lg 5＋－9＝lg 5－＜0，f(6)＝lg 6＋9－9＝lg 6＞0，所以函數(shù)f(x)在(5,6)上存在零點(diǎn)，所以n＝5. 答案：5 15．(2018·浙江卷)已知λ∈R，函數(shù)f(x)＝當(dāng)λ＝2時(shí)，不等式f(x)<0的解集是________．若函數(shù)f(x)恰有2個(gè)零點(diǎn)

33、，則λ的取值范圍是________． 解析：∵λ＝2， ∴f(x)＝ 當(dāng)x≥2時(shí)，x－4＜0得2≤x＜4. 當(dāng)x＜2時(shí)，x2－4x＋3＜0，解得1＜x＜2. 綜上不等式的解集為1＜x＜4. 當(dāng)y＝x2－4x＋3有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)，λ＞4. 當(dāng)y＝x2－4x＋3有1個(gè)零點(diǎn)時(shí)，y＝x－4有1個(gè)零點(diǎn)，1＜λ≤3. ∴1＜λ≤3或λ＞4. 答案：(1,4)；(1,3]∪(4，＋∞) 16．(2019·合肥調(diào)研)已知f(x)＝(其中a＜0，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，若g(x)＝f[f(x)]在R上有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則a的取值范圍是____________． 解析： 令t＝f(x)，所以g(x)＝f(t)，g(x)＝f[f(x)]在R上要有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則f(t)＝0必有兩解，所以－2≤a＜0，所以f(x)的大致圖象如圖所示，又f(x)的零點(diǎn)為x1＝0，x2＝－2，所以y＝f(t)必有兩個(gè)零點(diǎn)，t1＝－2和t2＝0，而x≤a時(shí)，f(x)min＝a2－4，所以要使y＝f(t)的兩個(gè)零點(diǎn)都存在，則a2－4≤－2，否則t1＝－2這個(gè)零點(diǎn)就不存在，故a2≤2，所以－≤a＜0. 答案：[－，0) - 14 -