《2019年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第4章 平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 第1節(jié) 平面向量的概念及線性運(yùn)算學(xué)案 文 北師大版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第4章 平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 第1節(jié) 平面向量的概念及線性運(yùn)算學(xué)案 文 北師大版（6頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第一節(jié)　平面向量的概念及線性運(yùn)算 [考綱傳真]　1.了解向量的實(shí)際背景，理解平面向量的概念和兩個(gè)向量相等的含義，理解向量的幾何表示.2.掌握向量加法、減法的運(yùn)算，理解其幾何意義.3.掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義，理解兩個(gè)向量共線的含義.4.了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義． (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第57頁) [基礎(chǔ)知識(shí)填充] 1．向量的有關(guān)概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度(或模)． (2)零向量：長(zhǎng)度為0的向量，其方向是任意的． (3)單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量． (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又

2、叫共線向量．規(guī)定：0與任一向量平行． (5)相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量． 2．向量的線性運(yùn)算 向量 運(yùn)算 定義 法則 (或幾何意義) 運(yùn)算律 加法 求兩個(gè)向量和的運(yùn)算 三角形法則 平行四邊形法則 (1)交換律： a＋b＝b＋a； (2)結(jié)合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 減法 求a與b的相反向量－b的和的運(yùn)算叫做a與b的差 三角形法則 a－b＝a＋(－b) 數(shù)乘 求實(shí)數(shù)λ與向量a的積的運(yùn)算 (1)|λa|＝|λ||a|； (2)當(dāng)λ>0時(shí)，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ<

3、0時(shí)，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0 λ(μa)＝λμa； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 3. 共線向量定理 向量a(a≠0)與b共線的充要條件是存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b＝λA． [知識(shí)拓展] 1．一般地，首尾順次相接的多個(gè)向量的和等于從第一個(gè)向量起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量終點(diǎn)的向量，即＋＋＋…＋＝，特別地，一個(gè)封閉圖形，首尾連接而成的向量和為零向量． 2．若P為線段AB的中點(diǎn)，O為平面內(nèi)任一點(diǎn)，則＝(＋)． 3.＝x＋y(x，y為實(shí)數(shù))，若點(diǎn)A，B，C共線，則x＋y＝1. 4．△ABC中，＋＋＝0?點(diǎn)P為△ABC的重心． [基本能力

4、自測(cè)] 1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)向量與有向線段是一樣的，因此可以用有向線段來表示向量．(　　) (2)若a∥b，b∥c，則a∥C．(　　) (3)a∥b是a＝λb(λ∈R)的充要條件．(　　) (4)△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，則＝(＋)．(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．(2015·全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，＝3，則(　　) A．＝－＋ B．＝－ C．＝＋ D．＝－ A　[＝＋＝＋＝＋(－)＝－＝－＋.故選A．] 3．(2018·長(zhǎng)春模擬)設(shè)點(diǎn)P是△

5、ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且＋＝2，則＋＝________. 0　[因?yàn)椋?，由平行四邊形法則知，點(diǎn)P為AC的中點(diǎn)，故＋＝0.] 4．(教材改編)已知?ABCD的對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)O，且＝a，＝b，則＝________，＝________(用a，b表示)． b－a?。璦－b　[如圖，＝＝－＝b－a， ＝－＝－－＝－a－B．] 5．已知a與b是兩個(gè)不共線向量，且向量a＋λb與－(b－3a)共線，則λ＝________. －　[由已知得a＋λb＝－k(b－3a)， ∴得] (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第58頁) 平面向量的有關(guān)概念 　給出下列六個(gè)命題：

6、①若|a|＝|b|，則a＝b或a＝－b； ②若＝，則ABCD為平行四邊形； ③若a與b同向，且|a|>|b|，則a>b； ④λ，μ為實(shí)數(shù)，若λa＝μb，則a與b共線； ⑤λa＝0(λ為實(shí)數(shù))，則λ必為零； ⑥a，b為非零向量，a＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥B． 其中假命題的序號(hào)為________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：00090124】 ①②③④⑤⑥　[①不正確．|a|＝|b|.但a，b的方向不確定，故a，b不一定是相等或相反向量； ②不正確．因?yàn)椋?，A，B，C，D可能在同一直線上，所以ABCD不一定是四邊形． ③不正確．兩向量不能比較大?。? ④不正確．當(dāng)

7、λ＝μ＝0時(shí)，a與b可以為任意向量，滿足λa＝μb，但a與b不一定共線． ⑤不正確．當(dāng)λ＝1，a＝0時(shí)，λa＝0. ⑥不正確．對(duì)于非零向量a，b，a＝b的充要條件是|a|＝|b|且a，b同向．] [規(guī)律方法]　1.(1)易忽視零向量這一特殊向量，誤認(rèn)為④是正確的；(2)充分利用反例進(jìn)行否定是對(duì)向量的有關(guān)概念題進(jìn)行判定的行之有效的方法. 2．(1)相等向量具有傳遞性，非零向量平行也具有傳遞性．(2)共線向量(平行向量)和相等向量均與向量的起點(diǎn)無關(guān)． 3．若a為非零向量，則是與a同向的單位向量，－是與a反向的單位向量． [變式訓(xùn)練1]　設(shè)a0為單位向量，①若a為平面內(nèi)

8、的某個(gè)向量，則a＝|a|a0；②若a與a0平行，則a＝|a|a0；③若a與a0平行且|a|＝1，則a＝a0.上述命題中，假命題的個(gè)數(shù)是 (　　) A．0　　　　 B．1　　　　 C．2　　　　 D．3 D　[向量是既有大小又有方向的量，a與|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命題；若a與a0平行，則a與a0的方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向時(shí)a＝－|a|a0，故②③也是假命題．綜上所述，假命題的個(gè)數(shù)是3.] 平面向量的線性運(yùn)算 　(1)(2018·開封模擬)設(shè)D，E，F(xiàn)分別為△ABC的三邊BC，CA，AB的中點(diǎn)，則＋＝(　　) A． B．

9、 C． D． (2)(2018·廣州模擬)在梯形ABCD中，AD∥BC，已知AD＝4，BC＝6，若＝m＋n(m，n∈R)，則＝(　　) A．－3 B．－ C． D．3 (1)C　(2)A　[(1)如圖，＋＝＋＋＋ ＝＋＝(＋) ＝·2＝. (2)如圖，過D作DE∥AB，＝m＋n＝＋＝－＋， 所以n＝－，m＝1，所以＝－3.故選A．] [規(guī)律方法]　向量的線性運(yùn)算的求解方法 (1)進(jìn)行向量運(yùn)算時(shí)，要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，選用從同一頂點(diǎn)出發(fā)的基本向量或首尾相接的向量，運(yùn)用向量加、減法運(yùn)算及數(shù)乘運(yùn)算來求解． (2)除了充分利用相等

10、向量、相反向量和線段的比例關(guān)系外，有時(shí)還需要利用三角形中位線、相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例等平面幾何的性質(zhì)，把未知向量轉(zhuǎn)化為與已知向量有直接關(guān)系的向量來求解． [變式訓(xùn)練2]　(1)設(shè)M為平行四邊形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，O為平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則＋＋＋等于(　　) A． B．2 C．3 D．4 (2)(2018·北京模擬)在△ABC中，點(diǎn)M，N滿足＝2，＝.若＝x＋y，則x＝________；y＝________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：00090125】 (1)D　(2)?。(1)因?yàn)镸是AC和BD的中點(diǎn)，由平行四邊形法則，得＋＝2，＋＝2，所以＋＋＋＝4.故選D．

11、 (2)由題中條件得，＝＋＝＋＝＋(－)＝－＝x＋y，所以x＝，y＝－.] 共線向量定理的應(yīng)用 　設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線， (1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求證：A，B，D三點(diǎn)共線； (2)試確定實(shí)數(shù)k，使ka＋b和a＋kb共線． [解]　(1)證明：∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)， ∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b) ＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5. ∴，共線，又∵它們有公共點(diǎn)B， ∴A，B，D三點(diǎn)共線． (2)∵ka＋b和a＋kb共線， ∴存在實(shí)數(shù)λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)， 即ka＋b＝λa＋

12、λkb，∴(k－λ)a＝(λk－1)B． ∵a，b是兩個(gè)不共線的非零向量， ∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0，∴k＝±1. [規(guī)律方法]　共線向量定理的應(yīng)用 (1)證明向量共線：對(duì)于向量a，b，若存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λb，則a與b共線． (2)證明三點(diǎn)共線：若存在實(shí)數(shù)λ，使＝λ，則A，B，C三點(diǎn)共線． (3)求參數(shù)的值：利用共線向量定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值． 易錯(cuò)警示：證明三點(diǎn)共線時(shí)，需說明共線的兩向量有公共點(diǎn)． [變式訓(xùn)練3]　(1)已知向量＝a＋3b，＝5a＋3b，＝－3a＋3b，則(　　) A．A，B，C三點(diǎn)共線 B．A，B，D三點(diǎn)共線 C．A，C，D三點(diǎn)共線 D．B，C，D三點(diǎn)共線 (2)(2015·全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)向量a，b不平行，向量λa＋b與a＋2b平行，則實(shí)數(shù)λ＝________. (1)B　(2)　[(1)∵＝＋＝2a＋6b＝2(a＋3b)＝2，∴，共線，又有公共點(diǎn)B， ∴A，B，D三點(diǎn)共線．故選B． (2)∵λa＋b與a＋2b平行，∴λa＋b＝t(a＋2b)， 即λa＋b＝ta＋2tb，∴解得] 6