《2019年高考數(shù)學 考綱解讀與熱點難點突破 專題21 坐標系與參數(shù)方程教學案 理（含解析）》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2019年高考數(shù)學 考綱解讀與熱點難點突破 專題21 坐標系與參數(shù)方程教學案 理（含解析）（9頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、坐標系與參數(shù)方程 【2019年高考考綱解讀】 高考主要考查平面直角坐標系中的伸縮變換、直線和圓的極坐標方程、參數(shù)方程與普通方程的互化、常見曲線的參數(shù)方程及參數(shù)方程的簡單應用．以極坐標、參數(shù)方程與普通方程的互化為主要考查形式，同時考查直線與曲線的位置關系等解析幾何知識． 【重點、難點剖析】 1．直角坐標與極坐標的互化 把直角坐標系的原點作為極點，x軸正半軸作為極軸，且在兩坐標系中取相同的長度單位．設M是平面內的任意一點，它的直角坐標、極坐標分別為(x，y)和(ρ，θ)，則 2．直線的極坐標方程 若直線過點M(ρ0，θ0)，且極軸到此直線的角為α，則它的方程為：ρsin(θ－α)

2、＝ρ0sin(θ0－α)． 幾個特殊位置的直線的極坐標方程 (1)直線過極點：θ＝α； (2)直線過點M(a,0)(a>0)且垂直于極軸：ρcos θ＝a； (3)直線過M且平行于極軸：ρsin θ＝b. 3．圓的極坐標方程 若圓心為M(ρ0，θ0)，半徑為r的圓方程為： ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ0－r2＝0. 幾個特殊位置的圓的極坐標方程 (1)當圓心位于極點，半徑為r：ρ＝r； (2)當圓心位于M(r,0)，半徑為r：ρ＝2rcos θ； (3)當圓心位于M，半徑為r：ρ＝2rsin θ. (4)圓心在點M(x0，y0)，半徑為r的圓的參數(shù)方程為(θ為參

3、數(shù)，0≤θ≤2π)．圓心在點A(ρ0，θ0)，半徑為r的圓的方程為r2＝ρ2＋ρ0－2ρρ0cos(θ－θ0)． 4．直線的參數(shù)方程 經過點P0(x0，y0)，傾斜角為α的直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù))． 設P是直線上的任一點，則t表示有向線段的數(shù)量． 5．圓的參數(shù)方程 圓心在點M(x0，y0)，半徑為r的圓的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)，0≤θ≤2π)． 6．圓錐曲線的參數(shù)方程 (1)橢圓＋＝1的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))． (2)雙曲線－＝1的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))． (3)拋物線y2＝2px(p>0)的參數(shù)方程為(t為參數(shù)). 【題型示例】 題型一　極坐標方程和參數(shù)方程 【例1

4、】(2018·全國Ⅰ)在直角坐標系xOy中，曲線C1的方程為y＝k|x|＋2.以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為ρ2＋2ρcos θ－3＝0. (1)求C2的直角坐標方程； (2)若C1與C2有且僅有三個公共點，求C1的方程． 【解析】(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，得C2的直角坐標方程為(x＋1)2＋y2＝4. (2)由(1)知C2是圓心為A(－1,0)，半徑為2的圓． 由題設知，C1是過點B(0,2)且關于y軸對稱的兩條射線．記y軸右側的射線為l1，y軸左側的射線為l2. 由于點B在圓C2的外部，故C1與C2有且僅有三個公共點等價

5、于l1與C2只有一個公共點且l2與C2有兩個公共點，或l2與C2只有一個公共點且l1與C2有兩個公共點． 當l1與C2只有一個公共點時，點A到l1所在直線的距離為2，所以＝2，故k＝－或k＝0. 經檢驗，當k＝0時，l1與C2沒有公共點； 當k＝－時，l1與C2只有一個公共點，l2與C2有兩個公共點，滿足題意． 當l2與C2只有一個公共點時，點A到l2所在直線的距離為2，所以＝2，故k＝0或k＝. 經檢驗，當k＝0時，l1與C2沒有公共點； 當k＝時，l2與C2沒有公共點． 綜上，所求C1的方程為y＝－|x|＋2. 【變式探究】．(2017·全國Ⅱ)在直角坐標系xOy中，以坐標

6、原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C1的極坐標方程為ρcos θ＝4. (1)M為曲線C1上的動點，點P在線段OM上，且滿足|OM|·|OP|＝16，求點P的軌跡C2的直角坐標方程； (2)設點A的極坐標為，點B在曲線C2上，求△OAB面積的最大值． 【解析】　(1)設點P的極坐標為(ρ，θ)(ρ>0)，點M的極坐標為(ρ1，θ)(ρ1>0)，由題設知， |OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝. 由|OM|·|OP|＝16，得C2的極坐標方程ρ＝4cos θ(ρ>0)． 所以C2的直角坐標方程為(x－2)2＋y2＝4(x≠0)． 【變式探究】在直角坐標系xOy中，曲線C

7、1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，a>0)．以坐標原點O為極點，以x軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線C1上一點A的極坐標為，曲線C2的極坐標方程為ρ＝cos θ. (1)求曲線C1的極坐標方程； (2)設點M，N在C1上，點P在C2上(異于極點)，若O，M，P，N四點依次在同一條直線l上，且|MP|，|OP|，|PN|成等比數(shù)列，求 l的極坐標方程． 解　(1)曲線C1的直角坐標方程為(x－a)2＋y2＝3， 化簡得x2＋y2－2ax＋a2－3＝0. 又x2＋y2＝ρ2，x＝ρcos θ， 所以ρ2－2aρcos θ＋a2－3＝0. 代入點，得a2－a－2＝0， 解得a＝2或a＝－1

8、(舍去)． 所以曲線C1的極坐標方程為ρ2－4ρcos θ＋1＝0. (2)由題意知，設直線l的極坐標方程為θ＝α(ρ∈R)， 設點M，N，P， 則ρ1<ρ3<ρ2. 聯(lián)立得ρ2－4ρcos α＋1＝0， 所以ρ1＋ρ2＝4cos α，ρ1ρ2＝1. 聯(lián)立得ρ3＝cos α. 因為|MP|，|OP|，|PN|成等比數(shù)列， 所以ρ＝(ρ3－ρ1)(ρ2－ρ3)，即2ρ＝(ρ1＋ρ2)ρ3－ρ1ρ2. 所以2cos2α＝4cos2α－1，解得cos α＝(舍負)． 經檢驗，滿足O，M，P，N四點依次在同一條直線上， 所以l的極坐標方程為θ＝±(ρ∈R)． 【變式探究】將

9、圓x2＋y2＝1上每一點的橫坐標保持不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，得曲線C. (1)寫出C的參數(shù)方程； (2)設直線l：2x＋y－2＝0與C的交點為P1，P2，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求過線段P1P2的中點且與l垂直的直線的極坐標方程． 【命題意圖】本題主要考查參數(shù)方程與普通方程、極坐標方程與普通方程間的轉化．結合方程的轉化和應用考查考生的應用意識和轉化思想． 【思路方法】(1)先列方程，再進一步轉化為參數(shù)方程． (2)解出交點，再求得直線方程，最后轉化為極坐標方程． (2)由解得或 不妨設P1(1,0)，P2(0,2)，則線段P1P2的中點坐標為，所求

10、直線斜率為k＝， 于是所求直線方程為y－1＝， 化為極坐標方程并整理，得 2ρcos θ－4ρsin θ＝－3， 即ρ＝. 【感悟提升】若極坐標系的極點與直角坐標系的原點重合，極軸與x軸正半軸重合，兩坐標系的長度單位相同，則極坐標方程與直角坐標方程可以互化．求解與極坐標方程有關的問題時，可以轉化為熟悉的直角坐標方程求解．若最終結果要求用極坐標表示，則需將直角坐標轉化為極坐標． 題型二　參數(shù)方程與普通方程的互化 【例2】(2018·全國Ⅲ)在平面直角坐標系xOy中，⊙O的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))，過點(0，－)且傾斜角為α的直線l與⊙O交于A，B兩點． (1)求α的取值范圍； (

11、2)求AB中點P的軌跡的參數(shù)方程． 【解析】　(1)⊙O的直角坐標方程為x2＋y2＝1. 當α＝時，l與⊙O交于兩點． 當α≠時，記tan α＝k，則l的方程為y＝kx－.l與⊙O交于兩點當且僅當<1，解得k<－1或k>1，即α∈或α∈. 綜上，α的取值范圍是. (2)l的參數(shù)方程為 . 設A，B，P對應的參數(shù)分別為tA，tB，tP， 則tP＝，且tA，tB滿足t2－2tsin α＋1＝0. 于是tA＋tB＝2sin α，tP＝sin α. 又點P的坐標(x，y)滿足 所以點P的軌跡的參數(shù)方程是. 【感悟提升】(1)將參數(shù)方程化為普通方程，需要根據(jù)參數(shù)方程的結構特征，選

12、取適當?shù)南麉⒎椒ǎＲ姷南麉⒎椒ㄓ写胂麉⒎ā⒓訙p消參法、平方消參法等． (2)將參數(shù)方程化為普通方程時，要注意兩種方程的等價性，不要增解、漏解，若x，y有范圍限制，要標出x，y的取值范圍． 【變式探究】 【2017·江蘇】[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]（本小題滿分10分） 在平面坐標系中中,已知直線的參考方程為(為參數(shù)),曲線的參數(shù)方程為( 為參數(shù)).設為曲線上的動點，求點到直線的距離的最小值. 【答案】 【解析】直線的普通方程為. 因為點在曲線上，設， 從而點到直線的的距離， 當時， . 因此當點的坐標為時，曲線上點到直線的距離取到最小值. 【考點】參數(shù)方程化普通

13、方程 【變式探究】在直角坐標系xy中,曲線C1的參數(shù)方程為（t為參數(shù),a＞0）． 在以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸的極坐標系中,曲線C2：ρ=. （I）說明C1是哪一種曲線,并將C1的方程化為極坐標方程； （II）直線C3的極坐標方程為,其中滿足tan=2,若曲線C1與C2的公共點都在C3上,求a． 【答案】（I）圓,（II）1 【解析】解：（Ⅰ）消去參數(shù)得到的普通方程. 是以為圓心，為半徑的圓. 將代入的普通方程中，得到的極坐標方程為 . （Ⅱ）曲線的公共點的極坐標滿足方程組 若，由方程組得，由已知， 可得，從而，解得（舍去），. 時，極點也為的公共點，在上

14、.所以. 【變式探究】在直角坐標系xOy中，直線C1：x＝－2，圓C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系． (1)求C1，C2的極坐標方程； 解析　直線l的直角坐標方程為y＝x＋2，由ρ2cos 2θ＝4得ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4，直角坐標方程為x2－y2＝4，把y＝x＋2代入雙曲線方程解得x＝－2，因此交點為(－2，0)，其極坐標為(2，π)． 答案　(2，π) 【變式探究】(2014·福建)已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，圓C的參數(shù)方程為 (θ為參數(shù))． (1)求直線l和圓C的普通方程； (2)若直線l與圓C

15、有公共點，求實數(shù)a的取值范圍． 【命題意圖】本小題主要考查直線與圓的參數(shù)方程等基礎知識，意在考查考生的運算求解能力及化歸與轉化思想． 【解題思路】(1)消去參數(shù)，即可求出直線l與圓C的普通方程． (2)求出圓心的坐標，利用圓心到直線l的距離不大于半徑，得到關于參數(shù)a的不等式，即可求出參數(shù)a的取值范圍． 【解析】(1)直線l的普通方程為2x－y－2a＝0， 圓C的普通方程為x2＋y2＝16. (2)因為直線l與圓C有公共點， 故圓C的圓心到直線l的距離d＝≤4， 解得－2≤a≤2. 【感悟提升】 1．將參數(shù)方程化為普通方程的過程就是消去參數(shù)的過程，常用的消參方法有代入消參、加

16、減消參和三角恒等式消參等，往往需要對參數(shù)方程進行變形，為消去參數(shù)創(chuàng)造條件． 2．在與直線、圓、橢圓有關的題目中，參數(shù)方程的使用會使問題的解決事半功倍，尤其是求取值范圍和最值問題，可將參數(shù)方程代入相關曲線的普通方程中，根據(jù)參數(shù)的取值條件求解． 【變式探究】(2015·福建，21(2))在平面直角坐標系xOy中，圓C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．在極坐標系(與平面直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸非負半軸為極軸)中，直線l的方程為ρsin＝m(m∈R)． ①求圓C的普通方程及直線l的直角坐標方程； ②設圓心C到直線l的距離等于2，求m的值． 【舉一反三】(2015

17、·湖南，16Ⅱ)已知直線l： (t為參數(shù))，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ＝2cos θ. (1)將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程； (2)設點M的直角坐標為(5，)，直線l與曲線C的交點為A，B，求|MA|·|MB|的值． 解　(1)ρ＝2cos θ等價于ρ2＝2ρcos θ.① 將ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x代入①即得曲線C的直角坐標方程為x2＋y2－2x＝0.② (2)將代入②式，得t2＋5t＋18＝0. 設這個方程的兩個實根分別為t1，t2，則由參數(shù)t的幾何意義即知， |MA|·|MB|＝|t1t2|＝18. 9